整式的加减（一）——合并同类项（提高）
撰稿：孙景艳 审稿：赵炜
【学习目标】
1．掌握同类项及合并同类项的概念，并能熟练进行合并；
2. 掌握同类项的有关应用；
3. 体会整体思想即换元的思想的应用．
【要点梳理】
【高清课堂：整式加减（一）合并同类项 同类项】
要点一、同类项
定义：所含字母相同，并且相同字母的指数也分别相等的项叫做同类项．几个常数项也是同类项．
要点诠释：
(1)判断几个项是否是同类项有两个条件：①所含字母相同；②相同字母的指数分别相等，同时具备这两个条件的项是同类项，缺一不可．
(2)同类项与系数无关，与字母的排列顺序无关．
(3)一个项的同类项有无数个，其本身也是它的同类项．
要点二、合并同类项
1. 概念：把多项式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项．
2．法则：合并同类项后，所得项的系数是合并前各同类项的系数的和，且字母部分不变．
要点诠释：合并同类项的根据是乘法的分配律逆用，运用时应注意：
(1)不是同类项的不能合并，无同类项的项不能遗漏,在每步运算中照抄；
(2)系数相加(减)，字母部分不变，不能把字母的指数也相加(减).
【典型例题】
类型一、同类项的概念
1． 判别下列各题中的两个项是不是同类项：
(1)-4a2b3与5b3a2；(2)与；(3)-8和0；(4)-6a2b3c与8ca2．
【答案与解析】 (1)-4a2b3与5b3a2是同类项；(2)不是同类项；(3)-8和0都是常数，是同类项；(4)-6a2c与8ca2是同类项．
【总结升华】辨别同类项要把准“两相同，两无关”，“两相同”是指：①所含字母相同；②相同字母的指数相同；“两无关”是指：①与系数及系数的指数无关；②与字母的排列顺序无关．此外注意常数项都是同类项.
2．是同类项，求出m, n的值.
【答案与解析】因为 是同类项，
所以 ， 解得：
所以
【总结升华】概念的灵活运用.
举一反三：
【变式】若单项式与是同类项，则m+n＝________．
【答案】6
类型二、合并同类项
【高清课堂：整式加减（一）合并同类项 例2】
3．合并同类项：
；；
;
（注：将“”或“”看作整体）
【思路点拨】同类项中，所含“字母”，可以表示字母，也可以表示多项式，如（4）．
【答案与解析】
（1）（2） （3）原式=
（4）【总结升华】无同类项的项不能遗漏,在每步运算中照抄.
举一反三：
【变式1】化简：（1） （2） (a-2b)2+(2b-a)-2(2b-a)2+4(a-2b)
【答案】原式
（2） (a-2b)2+(2b-a)-2(2b-a)2+4(a-2b)
=(a-2b)2-2(a-2b)2+4(a-2b)-(a-2b)
=(1-2)(a-2b)2+(4-1)(a-2b)
=-(a-2b)2+3(a-2b).
4.（2010烟台）若与的和是单项式，则=
【思路点拨】两个单项式的和仍是单项式，这说明与是同类项．
【答案】4
【解析】与的和是单项式，可得：与是同类项，所以：
解得：，所以
【总结升华】要善于利用题目中的隐含条件．
举一反三：
【变式】若与可以合并，则 ， ．
【答案】
类型三、化简求值
5. 化简求值：
（1）当时，求多项式的值．
（2）若，求多项式的值．
【答案与解析】（1）先合并同类项，再代入求值：
原式=
=
将代入，得：
（2）把当作一个整体，先化简再求值：
原式=
由可得：
两式相加可得：，所以有
代入可得：原式=
【总结升华】此类先化简后求值的题通常的步骤为：先合并同类项，再代入数值求出整式的值．
举一反三：
【高清课堂：整式的运算（一）—合并同类项 例4】
【变式】.
【答案】
类型四、综合应用
6. 若多项式-2+8x+(b-1)x2+ax3与多项式2x3-7x2-2(c+1)x+3d+7恒等，求ab-cd.【答案与解析】
法一：由已知
ax3+(b-1)x2+8x-2≡2x3-7x2-2(c+1)x+(3d+7)
∴ 解得：
∴ab-cd=2×(-6)-(-5)×(-3)=-12-15=-27.
法二：说明：此题的另一个解法为：由已知
(a-2)x3+(b+6)x2+[2(c+1)+8]x-(3d+9)≡0. 因为无论x取何值时，此多项式的值恒为零.所以它的各项系数皆为零，即从而解得
解得：
【总结升华】若等式两边恒等，则说明等号两边对应项系数相等；若某式恒为0，则说明各项系数均为0；若某式不含某项，则说明该项的系数为0．
举一反三：
【变式1】若关于x的多项式-2x2+mx+nx2+5x-1的值与x的值无关，求(x-m)2+n的最小值.
【答案】 -2x2+mx+nx2+5x-1=nx2-2x2+mx+5x-1=(n-2)x2+(m+5)x-1
∵ 此多项式的值与x的值无关，
∴ 解得:
当n=2且m=-5时， (x-m)2+n=[x-(-5)]2+2≥0+2=2.
∵(x-m)2≥0，
∴当且仅当x=m=-5时，(x-m)2=0，使(x-m)2+n有最小值为2.
【变式2】若关于的多项式：，化简后是四次三项式，求m+n的值．
【答案】分别计算出各项的次数，找出该多项式的最高此项：
因为的次数是，的次数为，的次数为，的次数为，
又因为是三项式 ,所以前四项必有两项为同类项，显然是同类项，且合并后为0，
所以有 ，．整式的加减（一）——合并同类项（基础）
撰稿：孙景艳 审稿：赵炜
【学习目标】
1．掌握同类项及合并同类项的概念，并能熟练进行合并；
2. 掌握同类项的有关应用；
3. 体会整体思想即换元的思想的应用．
【要点梳理】
【高清课堂：整式加减（一）合并同类项 同类项】
要点一、同类项
定义：所含字母相同，并且相同字母的指数也分别相等的项叫做同类项．几个常数项也是同类项．
要点诠释：
(1)判断几个项是否是同类项有两个条件：①所含字母相同；②相同字母的指数分别相等，同时具备这两个条件的项是同类项，缺一不可．
(2)同类项与系数无关，与字母的排列顺序无关．
(3)一个项的同类项有无数个，其本身也是它的同类项．
要点二、合并同类项
1. 概念：把多项式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项．
2．法则：合并同类项后，所得项的系数是合并前各同类项的系数的和，且字母部分不变．
要点诠释：合并同类项的根据是乘法的分配律逆用，运用时应注意：
(1)不是同类项的不能合并，无同类项的项不能遗漏,在每步运算中照抄．
(2)系数相加(减)，字母部分不变，不能把字母的指数也相加(减)．
【典型例题】
类型一、同类项的概念
1．指出下列各题中的两项是不是同类项，不是同类项的说明理由．
（1）与； （2）与； （3）与； （4）与
【答案与解析】本题应用同类项的概念与识别进行判断：
（1）（4）是同类项；（2）不是同类项，因为与所含字母的指数不相等；
（3）不是同类项，因为与所含字母不相同．
【总结升华】辨别同类项要把准“两相同，两无关”，“两相同”是指：①所含字母相同；②相同字母的指数相同；“两无关”是指：①与系数及系数的指数无关；②与字母的排列顺序无关．
举一反三：
【变式】下列每组数中，是同类项的是( ) ．
①2x2y3与x3y2 ②-x2yz与-x2y ③10mn与 ④(-a)5与(-3)5
⑤-3x2y与0.5yx2 ⑥-125与
A．①②③ B．①③④⑥ C．③⑤⑥ D．只有⑥
【答案】C
2．已知与是同类项，那么的值为__________，的值为_________．
【答案】1， 2
【解析】根据同类项的定义可得：，解得：．
【总结升华】概念的灵活运用.
举一反三：
【高清课堂：整式加减（一）合并同类项 例1】
【变式】例1、已知 和 是同类项，试求 的值．
【答案】
类型二、合并同类项
3．合并下列各式中的同类项：
(1)-2x2-8y2+4y2-5x2-5x+5x-6xy
(2)3x2y-4xy2-3+5x2y+2xy2+5
【答案与解析】
(1)-2x2-8y2+4y2-5x2-5x+5x-6xy
＝(-2-5)x2+(-8+4)y2+(-5+5)x-6xy＝-7x2-4y2-6xy
(2)3x2y-4xy2-3+5x2y+2xy2+5
＝(3+5)x2y+(-4+2)xy2+(-3+5)＝8x2y-2xy2+2
【总结升华】(1)所有的常数项都是同类项，合并时把它们结合在一起，运用有理数的运算法则进行合并；(2)在进行合并同类项时，可按照如下步骤进行：第一步：准确地找出多项式中的同类项(开始阶段可以用不同的符号标注),没有同类项的项每步照抄；第二步：利用分配律，把同类项的系数加在一起(用括号括起)，字母和字母的指数保持不变；第三步：写出合并后的结果．
4．已知，求m+n-p的值．
【思路点拨】两个单项式的和一般情形下为多项式．而条件给出的结果中仍是单项式，这就意味着与是同类项．因此，可以利用同类项的定义解题．
【答案与解析】解：依题意，得3+m＝4，n+1＝5，2-p＝-7
解这三个方程得：m＝1，n＝4，p＝9，
∴ m+n-p＝1+4-9＝-4．
【总结升华】要善于利用题目中的隐含条件．
举一反三：
【变式】若与的和是单项式，则 ， ．
【答案】4，2 ．
类型三、化简求值
5. 当时，分别求出下列各式的值．
（1）；
（2）
【答案与解析】（1）把当作一个整体，先化简再求值：
又
所以，原式=
（2）先合并同类项，再代入求值．
解：
当p＝2，q＝1时，原式=．
【总结升华】此类先化简后求值的题通常的步骤为：先合并同类项，再代入数值求出整式的值．
举一反三：
【变式】先化简，再求值：
(1)，其中；
(2)，其中，．
【答案】解本题的关键是先合并同类项再将值代入
(1)原式，当时，原式＝．
(2)原式，当，时，原式＝．
类型四、“无关”与“不含”型问题
6.李华老师给学生出了一道题：当x＝0.16，y＝-0.2时，求6x3-2x3y-4x3+2x3y-2x3+15的值．题目出完后，小明说：“老师给的条件x＝0.16，y＝-0.2是多余的”．王光说：“不给这两个条件，就不能求出结果，所以不是多余的．”你认为他们谁说的有道理 为什么
【思路点拨】要判断谁说的有道理，可以先合并同类项，如果最后的结果是个常数，则小明说得有道理，否则，王光说得有道理．
【答案与解析】
解：
＝(6-4-2)x3+(-2+2)x3y+15
＝15
通过合并可知，合并后的结果为常数，与x、y的值无关，所以小明说得有道理．
【总结升华】本题初看似乎无从下手，可试着将整式化简，再观察结果，就会给人一种柳暗花明的快感．【巩固练习】
一、选择题
1．判断下列各组是同类项的有 ( ) ．
(1)0.2x2y和0.2xy2；(2)4abc和4ac；(3)-130和15；(4)-5m3n2和4n2m3
A．1组 B．2组 C．3组 D．4组
2．下列运算正确的是( )．
A．2x2+3x 2＝5x4
B．2x2-3x2＝-x2
C．6a3+4a4＝10a7
D．8ab2-8ba2＝0
3．下列各式中，与x2y是同类项的是( )．
A．xy2 B．2xy C．-x2y D．3x2y2
4．在下列各组单项式中，不是同类项的是( )．
A．和 B．-3和100 C．和 D．和
5．如果xy≠0，，那么a的值为( )．
A．0 B．3 C．-3 D．
6. 买一个足球需要元，买一个篮球需要元，则买4个足球、7个篮球共需要（ ）元．
A． B． C． D．
7.（2011 宁夏）计算a2+3a2的结果是（ ）．
A．3a2 B．4a2 C．3a4 D．4a4
二、填空题
1．写出的一个同类项 ．
2. 已知多项式合并后的结果为零，则的关系为： ．
3．若与是同类项，则．
4. 合并同类项，得 ．
5.在中没有同类项的项是 ．
6.；．
7.观察下列算式：
；；；；；……
若字母表示自然数，请把你观察到的规律用含的式子表示出来： ．
三、解答题
1. (2010·湖南株洲)在2x2y，2xy2，3x2y，-xy，四个代数式中，找出两个同类项，并合并这两个同类项．
2.化简下列各式：
（1）
（2）
（3）
（4）
．
【答案与解析】
一、选择题
1. 【答案】B
【解析】 (1)0.2x2y和0.2xy2，所含字母虽然相同，但相同字母的指数不同，因此不是同类项．(2)4abc和4ac所含字母不同．(3)-130和15都是常数，是同类项．(4)-5m3n2和4n2m3所含字母相同，且相同字母的指数也相同，是同类项．
2．【答案】B
【解析】．
3．【答案】C
【解析】根据同类项的定义来判断．
4．【答案】C
【解析】和中相同的字母的次数不相同．
5．【答案】D
【解析】与互为相反数，故．
6. 【答案】A
7. 【答案】B
【解析】a2+3a2=4a2．故选B．
二、填空题：
1. 【答案】（答案不唯一）
【解析】只要字母部分为“”，系数可以是除0以外的任意有理数．
2．【答案】
【解析】均为的系数，要使合并后为0，则同类项的系数和应为0 ．
3．【答案】1，3
4．【答案】
【解析】原式=．
5．【答案】
【解析】此多项式共有五项，分别是：，显然没有同类项的项为．
6．【答案】
7．【答案】
【解析】．
三、解答题
1. 【解析】先根据同类项的定义，判断出同类项，然后再依据合并同类项的法则进行合并．
解：在四个代数式中．2x2y与3x2y是一对同类项，且有2x2y+3x2y＝5x2y．
2．【解析】（1）原式==
（2）原式==
（3）原式==
（4）原式==
3. 【解析】
因为不含项，所以此项的系数应为0，即有：，解得：
∴【巩固练习】
一、选择题
1．若单项式与单项式的和是，则m、n的关系是( )．
A．m＝n B．m＝2n C．m＝3n D．不能确定
2．代数式的值( )．
A．与x，y都无关 B．只与x有关 C．只与y有关 D．与x、y都有关
3． 三角形的一边长等于m+n，另一边比第一边长m-3，第三边长等于2n-m，这个三角形的周长等于( )．
A．m+3n-3 B．2m+4n-3 C．n-n-3 D．2，n+4n+3
4. 若为自然数，多项式的次数应为 （ ）．
A． B． C．中较大数 D．
5. 已知关于的多项式合并后的结果为零，则下列关于说法正确的是 （ ）．
A．同号 B．均为0 C．异号 D．互为相反数
6. (2010·常德)如图所示，是一个正方体纸盒的平面展开图，其中的五个正方形内都有一个单项式，当折成正方体后，“ ”所表示的单项式与对面正方形上的单项式是同类项，则“ ”所代表的单项式可能是( )．
A．6 B．d C．c D．e
7．若A是一个七次多项式，B也是一个七次多项式，则A+B一定是( )．
A．十四次多项式 B．七次多项式
C．不高于七次的多项式或单项式 D．六次多项式
二、填空题
1. （1）；（2）；（3）
2. 找出多项式中的同类项 、 、 。
3. 已知与是同类项，则，；它们的和等于 。
4．当k＝________时，代数式中不含xy项．
5．（2011 广东汕头）按下面程序计算：输入x=3，则输出的答案是 ．
6．把正整数依次排成以下数阵：
2， 4 ， 7，… …
5， 8，… …
6， 9， … …
10， … …
如果规定横为行，纵为列，如8是排在2行3列，则第10行第5列排的数是____________
三、解答题
1．如果和是同类项，求多项式．
2．先化简，再求值．
(1)，其中x＝-2，；
(2)．其中a＝1，b＝-2．
3．试说明多项式的值与字母x的取值无关．
4．要使关于的多项式不含三次项，求的值．
【答案与解析】
一、选择题
1．【答案】C
【解析】由同类项的定义可知，，得．
2．【答案】B
【解析】合并同类项后的结果为，故它的值只与有关．
3．【答案】B
【解析】 另一边长为，周长为．
4．【答案】C
【解析】是常数项，次数为0，不是该多项式的最高次项．
5．【答案】D
【解析】，所以应有即互为相反数．
6．【答案】D
【解析】题中“ ”所表示的单项式与“5e”是同类项，故“ ”所代表的单项式可能是e，故选D．
7．【答案】C
二、填空题
1. 【答案】
2. 【答案】
3. 【答案】；
【解析】．
4. 【答案】
【解析】合并同类项得：．由题意得．故．
5. 【答案】12
【解析】根据输入程序，列出代数式，再代入x的值输入计算即可．
由表列代数式：（x3﹣x）÷2
∵x=3，∴原式=（27﹣3）÷2=24÷2=12．
6. 【答案】101
【解析】第10行的第一个数是：1+2+3+…+10=55，第10行的第5个数是：55+10+11+12+13=101．
三、解答题
1．【解析】∵ 和是同类项
∴ ，且
∴
∴ 原式
2．【解析】（1）原式．当，时，原式＝1；
（2）原式，当，时，原式＝5．
3．【解析】 ，
因化简后的结果中不含字母的项，
故此多项式的值与字母的取值无关．
4．【解析】原式=
要使原式不含三次项，则三次项的系数都应为0，所以有：
，即有：
所以．
