北师大版八年级数学上册第一章 勾股定理 单元复习题 (含解析)

北师大版八年级数学上册第一章勾股定理单元复习题
一、选择题
1．有一直角三角形纸片，∠C＝90°BC＝6，AC＝8，现将△ABC按如图那样折叠，使点A与点B重合，折痕为DE，则CE的长为(　　)
A． B． C． D．4
2．如图，在直角△ABC中，AB=9，BC=6，∠B=90°，将△ABC折叠，使A点与BC的中点D重合，折痕为MN，则线段AN的长为　
A．6 B．5 C．4 D．3
3．将下列长度的三根木棒首尾顺次连接，能组成直角三角形的是（　　）
A．2、3、4 B．4、5、6 C．5、11、12 D．8、15、17
4．如图，一根长为的竹竿斜靠在竖直的墙壁上，竹竿底端B离墙壁距离，则该竹竿的顶端A离地竖直高度为（　　）
A． B． C． D．
5．如图，在中，平分交AC于点D，且，F在BC上，E为AF的中点，连接DE，若，，，则AB的长为（　　）
A． B． C． D．9
6．如图，在长方形纸片ABCD中，AB＝8cm，AD＝6cm.把长方形纸片沿直线AC折叠，点B落在点E处，AE交DC于点F，则AF的长为（　　）
A． cm B． cm C．7cm D． cm
7．将直角三角形的三条边长做如下变化，得到的新三角形仍是直角三角形的是（　　）
A．同加一个相同的数 B．同减一个相同的数
C．同乘以一个相同的正整数 D．同时平方
8．在 中，的对边分别为， 下列所给数据中， 能判断是直角三角形的是（　　）
A． B．
C． D．
9．如图所示，已知△ABC中，AB＝6，AC＝9，AD⊥BC于D，M为AD上任一点，则MC2﹣MB2等于（　　）
A．9 B．35 C．45 D．无法计算
二、填空题
10．三角形的三边之比为3：4：5，周长为36，则它的面积是　 　.
11．如图，在Rt△ABC中，AC＝4，AB＝5，∠C＝90°，BD平分∠ABC交AC于点D，则BD的长是　 　.
12．下列条件：①∠C＝∠A－∠B；②∠A：∠B：∠C＝5∶2∶3；③a＝c，b＝c；④a∶b∶c＝1∶2：，则能确定△ABC是直角三角形的条件有　 　个．
13．如图，在离水面高度为8米的岸上，有人用绳子拉船靠岸，开始时绳子BC的长为17米，几分钟后船到达点D的位置，此时绳子CD的长为10米，问船向岸边移动了　 　米.
三、解答题
14．△ABC中，AB=AC，E为AC中点，F为BE上一点，且CE=CF．若△ABC的三条边长均为偶数，且BF与BE两条线段长度的乘积为20. 求△ABC的周长．
15．如图，正方形网格中的每个小方格边长均为1，的顶点在格点上，判断的形状，并说明理由．
16．如图，笔直的公路上A、B两点相距25km，C、D为两村庄，DA⊥AB于点A，CB⊥AB于点B，已知DA＝15km，CB＝10km，现在要在公路的AB段上建一个土特产品收购站E，使得C、D两村到收购站E的距离相等，则收购站E应建在离A点多远处？
四、综合题
17．如图，在中，，平分交于点D，作于点E.
（1）若，求的度数；
（2）若，，求的面积.
18．如图，的三边分别为，，，如果将沿折叠，使恰好落在边上．
（1）试判断的形状，并说明理由；
（2）求线段的长．
19．如图，某火车站内部墙面上有破损处（看作点A），现维修师傅需借助梯子完成维修工作．梯子的长度为，将其斜靠在这面墙上，测得梯子底部E离墙角N处，维修师傅爬到梯子顶部使用仪器测量，此时梯子顶部D距离墙面破损处．
（1）该火车站墙面破损处A距离地面有多高？
（2）如果维修师傅要使梯子顶部到地面的距离为4.8m．那么梯子底部需要向墙角方向移动多少米？
答案解析部分
1．【答案】B
【解析】【解答】解：在Rt△ACB中，AC=8，BC=6，
∴AB==10．
根据翻折不变性得△EDA≌△EDB
∴EA=EB
∴在Rt△BCE中，设CE=x，则BE=AE=8-x，
∴BE2=BC2+CE2，
∴（8-x）2=62+x2，
解得x=．
故答案为：B．
【分析】在Rt△ACB中，利用勾股定理算出AB，根据折叠性质得EA=EB，在Rt△BCE中，设CE=x，则BE=AE=8-x，利用勾股定理建立方程，求解可得x的值，从而得出答案.
2．【答案】B
【解析】【解答】解：设，由翻折的性质可知，则．
是BC的中点，
．
在中，由勾股定理得：，即，
解得：．
∴．
故答案为：B．
【分析】设，则，再利用勾股定理可得，最后求出x的值即可。
3．【答案】D
【解析】【解答】解：A、∵22+32=13≠52=25，∴以2、3、5为边长的三个木棍不能围成直角三角形，故此选项不符合题意；
B、∵42+52=41≠62=36，∴以4、5、6为边长的三个木棍不能围成直角三角形，故此选项不符合题意；
C、∵52+112=146≠122=144，∴以5、11、12为边长的三个木棍不能围成直角三角形，故此选项不符合题意；
D、∵82+152=289=172，∴以8、15、17为边长的三个木棍能围成直角三角形，故此选项符合题意.
故答案为：D.
【分析】根据勾股定理的逆定理，如果一个三角形的三边满足较小两边的平方和等于最大边长的平方，那么这个三角形就是直角三角形，据此一一判断得出答案.
4．【答案】C
【解析】【解答】解：由题意得：，，，
则，
即该竹竿的顶端A离地竖直高度为，
故答案为：C．
【分析】直角利用勾股定理计算即可.
5．【答案】A
【解析】【解答】解：∵BD平分交AC于点D，且，
∴，，
又，
∴，
∴，，
∵E为AF的中点，
∴，
设，则，，，
∴，
在中，，
解得，
∴，
故答案为：A.
【分析】根据角平分线的概念可得∠ABD=∠CBD，根据垂直的概念可得∠ADB=∠CDB=90°，利用ASA证明△ABD≌△CBD，得到AD=CD，AB=BC，由中点的概念可得CF=2DE，设DE=a，则AC=a、AD=CD=a、BF=DE=a，AB=BC=3a，然后在Rt△ABD中，根据勾股定理求出a的值，进而可得AB的长.
6．【答案】A
【解析】【解答】解：∵把长方形纸片沿直线AC折叠，
∴AE＝AB＝8cm，CE＝BC＝AD＝6cm，∠E＝∠B＝90°，
∵∠E＝∠D＝90°，AD＝CE，∠CFE＝∠AFD，
∴△CEF≌△ADF（AAS）
∴CF＝AF，
∵AF2＝DF2+AD2，
∴AF2＝（8﹣AF）2+36，
∴AF＝ cm.
故答案为：A.
【分析】根据矩形的性质以及折叠的性质可得AE＝AB＝8cm，CE＝BC＝AD＝6cm，∠E＝∠B＝90°，利用AAS证明△CEF≌△ADF，得到CF＝AF，然后利用勾股定理进行计算.
7．【答案】C
【解析】【解答】解：设直角三角形的三边长分别为：a，b，c（斜边），
∴，
若三边都加上（或减去）同一个m，则三边分别为，，，
此时，
∴A，B不符合题意；
若三边都乘以n（n为正整数），则三边分别为，，，
∴，
∴此时三角形还是直角三角形，故C符合题意；
若三边都平方，则三边分别为：，，，
∴，
故D不符合题意；
故答案为：C.
【分析】设直角三角形的三边长分别为：a，b，c（斜边），则a2+b2=c2，若三边都加上（或减去）同一个m，则三边分别为a±m，b±m，c±m，此时(a±m)2+(b±m)2≠(c±m)2，据此判断A、B；同理可判断CD.
8．【答案】B
【解析】【解答】解：A、∵，，∴，∴不是直角三角形，故此选项不符合题意；
B、∵，∴，∴，∴是直角三角形，故此选项符合题意；
C、∵，设，则，，∴，解得，，，，∴不是直角三角形，故此选项不符合题意；
D、∵，设，，，∴，解得，∴，，，∴不是直角三角形，故此选项不符合题意；
故答案为：B.
【分析】A、由题意分别计算a2+b2，c2的值，观察是否满足a2+b2=c2，然后根据勾股定理的逆定理可判断求解；
B、由已知的等式变形可得a2+c2=b2，根据勾股定理的逆定理可判断求解；
C、设∠C=x，结合已知可将∠A和∠B用含x的代数式表示出来，根据三角形的内角和等于180°可得关于x的方程，解之求出x的值，再计算∠A、∠B的度数即可判断求解；
D、由题意可设∠A=2x，∠B=5x，∠C=2x，根据三角形的内角和等于180°可得关于x的方程，解之求出x的值，再计算∠A、∠B、∠C的度数即可判断求解.
9．【答案】C
【解析】【解答】解：在Rt△ABD和Rt△ADC中，
BD2＝AB2﹣AD2，CD2＝AC2﹣AD2，
在Rt△BDM和Rt△CDM中，
BM2＝BD2+MD2＝AB2﹣AD2+MD2，MC2＝CD2+MD2＝AC2﹣AD2+MD2，
∴MC2﹣MB2＝（AC2﹣AD2+MD2）﹣（AB2﹣AD2+MD2）
＝AC2﹣AB2
＝45.
故答案为：C.
【分析】在Rt△ABD、Rt△ADC、Rt△BDM、Rt△CDM中，根据勾股定理可得BD2=AB2-AD2，CD2=AC2-AD2，BM2=BD2+MD2=AB2-AD2+MD2，MC2=CD2+MD2=AC2=AD2+MD2，然后作差即可.
10．【答案】54
【解析】【解答】解：设三角形的三边是3x，4x，5x，
∵（3x）2+（4x）2=（5x）2，
∴此三角形是直角三角形，
∵它的周长是36，
∴3x+4x+5x=36，
∴3x=9，4x=12，
∴三角形的面积= ×9×12=54，
故答案为：54.
【分析】根据勾股定理的逆定理得到三角形是直角三角形，然后根据三角形的面积公式即可得到结论.
11．【答案】
【解析】【解答】解：过点D作DE⊥AB于E，
∵AC＝4，AB＝5，∠C＝90°，
∴，
∵BD平分∠ABC交AC于点D，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
设，则，
∵，
∴，
∴，
解得，
在中，，
∴，
∴，
故答案为：.
【分析】过点D作DE⊥AB于E，利用勾股定理可得BC，根据角平分线的性质可得CD=DE，利用HL证明△DCB≌△DEB，得到BC=BE=3，则AE=AB-BE=2，设CD=DE=x，则AD=4-x，然后在Rt△ADE、Rt△DEB中，由勾股定理求解即可.
12．【答案】4
【解析】【解答】解：①∵∠C=∠A-∠B，∠A＋∠B＋∠C＝180°，∴∠A＝90°，故△ABC是直角三角形；
②∵∠A：∠B：∠C＝5：2：3，∠A＋∠B＋∠C＝180°，∴∠A＝90°，故△ABC是直角三角形；
③∵a= c，b= c，∴a2+b2=c2，∴∠c=90°，故△ABC是直角三角形；
④∵a：b：c＝1：2：，∴a2＋c2＝b2，∴∠B=90°，故△ABC是直角三角形.
故答案为：4.
【分析】根据三角形的内角和定理，结合已知找出最大内角的度数，根据最大内角是90°，即可判断该三角形是直角三角形，据此判断①与②；根据勾股定理的逆定理，如果一个三角形的三边满足较小两边两边的平方和等于最大边长的平方，该三角形就是直角三角形，据此判断③④.
13．【答案】9
【解析】【解答】解：在Rt△ABC中：
∵∠CAB＝90°，BC＝17米，AC＝8米，
∴AB＝＝＝15（米），
∵CD＝10（米），
∴AD＝＝6（米），
∴BD＝AB﹣AD＝15﹣6＝9（米），
答：船向岸边移动了9米，
故答案为：9.
【分析】分别在Rt△ABC、Rt△ACD中，根据勾股定理可得AB、AD的值，然后根据BD=AB-AD进行计算.
14．【答案】解：由题意可设AB=AC=2x（x为正整数），BC=2y（y为正整数），BF=m，EF=2n，
过C作CD⊥BE于D
∵CE=CF
∴ED=DF=n
∵△ABC的三条边长均为偶数
∴（2y+x）（2y-x）=20
【解析】【分析】由题意设AB=AC=2x（x为正整数），BC=2y（y为正整数），BF=m，EF=2n，过C作CD⊥BE于D，由等腰三角形的三线合一得ED=DF=n，在Rt△BDC与Rt△CDE中用勾股定理分别表示出CD2，从而建立方程并整理得4y2-x2=m（m+2n），结合BF×BE=20得m（m+2n）=20，从而得（2y+x）（2y-x）=20，根据三角形三边都是偶数可得方程组，求解即可解决问题.
15．【答案】解：是直角三角形．
理由：由勾股定理，得；
；
．
∵，，，
∴，
∴是直角三角形．
【解析】【分析】利用勾股定理求出AB，BC，AC的长，再求出AB2，BC2，AC2，由此可得到AB2+BC2=AC2，然后利用勾股定理的逆定理可证得结论.
16．【答案】解：∵使得C，D两村到E站的距离相等.
∴DE＝CE，
∵DA⊥AB于A，CB⊥AB于B，
∴∠A＝∠B＝90°，
∴AE2+AD2＝DE2，BE2+BC2＝EC2，
∴AE2+AD2＝BE2+BC2，
设AE＝xkm，则BE＝AB﹣AE＝（25﹣x）km.
∵DA＝15km，CB＝10km，
∴x2+152＝（25﹣x）2+102，
解得：x＝10，
∴AE＝10km，
∴收购站E应建在离A点10km处.
【解析】【分析】由题意可得DE＝CE，根据垂直的概念可得∠A＝∠B＝90°，由勾股定理可得AE2+AD2＝BE2+BC2，设AE＝xkm，则BE＝(25-x)km，代入求解可得x的值，据此解答.
17．【答案】（1）解：平分，
，
，
，
，
，
，
；
（2）解：平分，，，
，
，
，
，，
，，，
，
设，
，
，
，
解得，
，
的面积为：
.
【解析】【分析】（1）根据角平分线的概念可得∠BAD=∠CAD，由等腰三角形的性质可得∠CAD=∠C，则∠BAD=∠CAD=∠C，∠BAC=2∠C，由∠BAC+∠C=90°可得∠C的度数；
（2）根据角平分线的性质可得DB=DE，利用HL证明△ABD≌△AED，由全等三角形的性质可得AE=AB=3，CE=AC-AE=2，利用勾股定理可求出BC的值，设BD=DE=x，则CD=4-x，然后在Rt△CDE中，根据勾股定理求出x的值，接下来根据三角形的面积公式进行计算.
18．【答案】（1）解：是直角三角形，
理由：
∵，
∴，
是直角三角形；
（2）解：设折叠后点C与上的点E重合，
设，则，，，，
∵，
在Rt中，，
整理得：，
解得：，
即线段的长为．
【解析】【分析】（1）利用勾股定理的逆定理证明，即可得到 是直角三角形；
（2）设，则，利用勾股定理可得，求出，即可得到CD的长。
19．【答案】（1）解：根据题意，得在中，，，
由勾股定理，得．
∵，
∴．
答：该火车站墙面破损处A距离地面的高度为．
（2）解：如图，此时是梯子移动后的位置．
∵在中，，．
∴由勾股定理，得．
∴．
答：梯子底部需要向墙角方向移动．
【解析】【分析】（1）先利用勾股定理求出DN的长，再利用线段的和差求出AN的长即可；
（2）先利用勾股定理求出BN的长，再利用线段的和差求出BE的长即可。