2022-2023学年上海市黄浦区八年级（下）期末数学试卷（含解析）

2022-2023学年上海市黄浦区八年级（下）期末数学试卷
一、选择题（本大题共6小题，共18.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 一次函数的图象不经过的象限是( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
2. 下列方程中，有实数根的方程是( )
A. B. C. D.
3. 下列函数中，对于任意实数，，当时，满足的是( )
A. B. C. D.
4. 下列说法错误的是( )
A. 必然事件发生的概率为 B. 不可能事件发生的概率为
C. 随机事件发生的概率介于和之间 D. 不确定事件发生的概率为
5. 在 中，与相交于点，要使四边形是矩形，还需添加一个条件，这个条件可以是( )
A. B.
C. D.
6. 已知向量、满足，则( )
A. B. C. D. 以上都有可能
二、填空题（本大题共12小题，共24.0分）
7. 已知直线经过点，并且与直线平行，那么 ______ ．
8. 方程的根是______．
9. 关于的方程的解 ______ ．
10. 已知关于的方程，如果设，那么原方程化为关于的方程是______．
11. 方程的解为______．
12. 布袋里有个红球和个白球，它们除了颜色外其他都相同，从布袋里随机摸出一个球恰好为白球的概率是______ ．
13. 如果多边形的每个外角都是，那么这个多边形的边数是______ ．
14. 如果一个梯形的中位线的长是，高是，那么它的面积等于______ ．
15. 某厂去年月份的产值为万元，月份下降到万元，求这两个月平均每月产值降低的百分率．如果设平均每月产值降低的百分率是，那么列出的方程是______．
16. 如图，在矩形纸片中，，，将矩形纸片折叠，使点与点重合，那么的周长是______ ．
17. 如图，点为正方形内一点，，，联结，那么______度．
18. 如图，在边长为的正方形中，点、分别是边、的中点，是边上的一点．联结、，将沿着直线翻折，若点恰好与线段上的点重合，则的长等于______．
三、计算题（本大题共2小题，共12.0分）
19. 解方程：
20. 解方程：．
四、解答题（本大题共6小题，共46.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
21. 本小题分
如图，在平行四边形中，点、分别在边和上，，且点是的中点，联结，、．
写出图中与相等的向量：______ ；
如果，，请用，分别表示： ______ ； ______ ；
求作：请在原图上求作，不要求写作法，但要写出结论
22. 本小题分
某书店两次从图书批发市场购进某种图书，每次都用元其中第二次购进这种书每本的批发价比第一次每本的批发价降低了元，且比第一次购进的书多了本，求第一次购书时每本的批发价．
23. 本小题分
庆华社区有一块空地需要绿化，某绿化组承担了此项任务，绿化组工作一段时间后，提高了工作效率．该绿化组完成的绿化面积单位：与工作时间单位：之间的函数关系如图所示．
求提高效率后，关于的函数关系式；
该绿化组提高工作效率后每小时完成的绿化面积比提高工作效率前每小时完成的绿化面积多多少？
24. 本小题分
已知：如图，在平行四边形中，点、分别是、的中点，点、分别在边、上，且．
求证：≌；
若，求证：四边形是矩形．
25. 本小题分
如图，平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于点，．
求的面积；
点是轴上的点，在坐标平面内是否存在点，使以、、、为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
26. 本小题分
在矩形中，，对角线、相交于点，过点作分别交射线与射线于点和点，联结、．
如图，求证：四边形是菱形；
当点、分别在边和上时，如果设，菱形的面积是，求关于的函数关系式，并写出的取值范围；
如果是等腰三角形，直接写出的长度．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：一次函数，，，
该函数图象经过第一、二、四象限，不经过第三象限，
故选：．
根据一次函数的性质，可以得到函数经过哪几个象限，不经过哪个象限，从而可以解答本题．
本题考查一次函数的性质，解答本题的关键是明确一次函数的性质，由一次函数的解析式，可以得到经过哪几个象限，不经过哪个象限．
2.【答案】
【解析】解：方程变形得，故选项A有实数根；
B.方程变形得，在实数范围内偶次方不能为负，故选项B无实数根；
C.方程变形得，在实数范围内偶次方根不能为负，故选项C无实数根；
D.方程，解得，当时，，所以分式方程无解．故选项D无实数根．
故选：．
解各选项的方程，根据方程的解的情况得结论．
本题考查了无理方程、分式方程、高次方程等知识点，掌握无理方程、分式方程、高次方程的解法是解决本题的关键．
3.【答案】
【解析】解：在中，随的增大而减小，对于任意实数，，当时，满足，故选项A正确，
在中，随的增大而增大，对于任意实数，，当时，满足，故选项B错误，
在中，随的增大而增大，对于任意实数，，当时，满足，故选项C错误，
在中，在每个象限内，随的增大而增大，当时，满足，故选项D错误，
故选：．
根据各个选项中的函数解析式可以判断是否符合题意，从而可以解答本题．
本题考查反比例函数图象上点的坐标特征、一次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确一次函数和反比例函数的性质．
4.【答案】
【解析】解：、、C正确，不符合题意；
D、不确定事件发生的概率为大于且小于，故说法错误，符合题意．
故选D．
不确定事件就是随机事件，即可能发生也可能不发生的事件，发生的概率大于并且小于．
本题考查了概率的意义，概率的意义反映的只是这一事件发生的可能性的大小，概率取值范围：，其中必然发生的事件的概率；不可能发生事件的概率；随机事件，发生的概率大于并且小于事件发生的可能性越大，概率越接近与，事件发生的可能性越小，概率越接近于．
5.【答案】
【解析】解：添加，
理由是：四边形是平行四边形，
，，
，
，
为矩形，
故选：．
根据对角线相等的平行四边形是矩形得出即可．
本题考查矩形的判定、平行四边形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考基础题．
6.【答案】
【解析】解：若向量、满足，
可得：，或，或，
故选：．
利用单位向量的定义和性质直接判断即可．
此题考查平面向量问题，解题时要认真审题，注意单位向量、零向量、共线向量的定义和的性质的合理运用．
7.【答案】
【解析】解：直线与直线平行，
，
把代入得：
，
解得：．
故答案为：．
根据两直线平行的问题得到，然后把代入可计算出的值．
本题考查了两条直线相交或平行问题：两条直线的交点坐标，就是由这两条直线相对应的一次函数表达式所组成的二元一次方程组的解；若两条直线是平行的关系，那么他们的自变量系数相同，即值相同．
8.【答案】
【解析】解：，
，
，
方程的根是，
故答案为．
方程的左边因式分解可得，由此即可解决问题．
本题考查高次方程的解，解题的关键是学会应用因式分解法解方程，把高次方程转化为一次方程，属于中考常考题型．
9.【答案】
【解析】解：，
，
，
，
，
故答案为：．
移项，合并同类项，系数化为后即可求解．
本题考查解一元一次方程，熟练掌握一元一次方程的解法是解题的关键．
10.【答案】
【解析】解：由，可得
原方程化为
故答案为：
先根据得到，再代入原方程进行换元即可．
本题主要考查了换元法解分式方程，换元的实质是转化，将复杂问题简单化．常用的是整体换元法，是在已知或者未知中，某个代数式几次出现，用一个字母来代替它可以简化问题，有时候要通过变形才能换元．
11.【答案】
【解析】解：方程，
两边平方、整理得，，
解得，，，
经检验为增根，舍去，
方程的解为．
故答案为．
根据无理方程的解法，首先，两边平方解出的值，然后验根，解答即可．
本题考查了无理方程的解法，用乘方法来解无理方程，往往会产生增根，应注意验根．
12.【答案】
【解析】解：一个布袋里装有个红球和个白球，
摸出一个球恰好为白球的概率是：．
故答案为：．
根据概率公式，求摸到白球的概率，即用白球的个数除以小球总个数即可得出得到白球的概率．
此题主要考查了概率公式的应用，由已知求出小球总个数再利用概率公式求出是解决问题的关键．
13.【答案】
【解析】解：多边形的边数是：，
故答案为：．
根据多边形的外角和是度即可求得外角的个数，即多边形的边数．
本题主要考查了多边形的外角和定理，理解多边形外角和中外角的个数与正多边形的边数之间的关系，是解题关键．
14.【答案】
【解析】解：梯形的中位线长为，高为，
它的面积．
故答案为：．
利用梯形的面积等于对角线与高的乘积列式进行计算即可得解．
本题考查了梯形的中位线，梯形的面积可以有两种求法，梯形的面积中位线高，梯形的面积上底下底高．
15.【答案】
【解析】解：设平均每月产值降低的百分率是，则月份的产值为万元，月份的产值为万元，
根据题意，得．
故答案为．
设平均每月产值降低的百分率是，那么月份的产值为万元，月份的产值为万元，然后根据月份的产值为万元即可列出方程．
本题考查由实际问题抽象出一元二次方程求平均变化率的方法．若设变化前的量为，变化后的量为，平均变化率为，则经过两次变化后的数量关系为得到月份的产值的等量关系是解决本题的关键．
16.【答案】
【解析】解：由翻转变换的性质可知，，
则的周长，
故答案为：．
根据翻转变换的性质得到，根据三角形的周长公式计算即可．
本题考查的是翻转变换的性质，翻转变换是一种对称变换，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．
17.【答案】
【解析】解：四边形为正方形，
，．
，，
，
，
，
．
故答案为：．
根据正方形的性质可得出、，由、利用等腰三角形的性质及三角形内角和定理可求出的度数，由可求出的度数，由等腰三角形的性质结合三角形内角和定理可求出的度数，再由可求出的度数．
本题考查了正方形的性质、等腰三角形的性质以及三角形内角和定理，根据等腰三角形的性质结合三角形内角和定理求出的度数是解题的关键．
18.【答案】
【解析】解：，，，
：：，
，，
．
故答案为：．
由折叠的性质知，利用直角三角形中的：：，可求得，，从而求出．
本题主要考查了折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．
19.【答案】解：去分母得：，
整理得：，即，
解得：或，
经检验是增根，故舍去，是原方程的根．
所以原方程的根是．
【解析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到的值，经检验即可得到分式方程的解．
此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．
20.【答案】解：，
或
解得或．
【解析】首先把原来的方程组化成二元一次方程组，然后应用加减法，求出方程组的解是多少即可．
此题主要考查了高次方程的求解方法，要熟练掌握，注意解高次方程一般要降次，即把它转化成二次方程或一次方程．
21.【答案】 ， ．
【解析】解：
四边形是平行四边形，
，，
，
四边形是平行四边形，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，，
图中与相等的向量为．
故答案为：；
，
，
．
故答案为：，；
如图即为所求．
证明四边形是平行四边形可得结论；
利用三角形法则求解；
利用三角形法则作出图形．
本题考查作图复杂作图，平面向量等知识，解题的关键是掌握三角形法则，属于中考常考题型．
22.【答案】解：设第一次购书时每本的批发价为元．分
根据题意得，分
化简方程得，分
解得，分
经检验，，都是方程的根，但不合题意，舍去．分
答：第一次购书时每本的批发价为元．分
【解析】本题首先依题意可知等量关系为第一次购书的本数第二次购书的本数，根据等量关系列出方程，最后求出结果检验并作答．
本题主要考查分式方程的应用，解题的关键是熟练掌握列分式方程解应用题的一般步骤，即根据题意找出等量关系列出方程解出分式方程检验作答．注意：分式方程的解必须检验．
23.【答案】解：设直线的解析式为，则
，
解得．
故直线的解析式为，
直线的解析式为，
当时，，
答：该绿化组提高工作效率后每小时完成的绿化面积比提高工作效率前每小时完成的绿化面积多．
【解析】考查了一次函数的应用和函数的图象，关键是根据待定系数法求出该绿化组提高工作效率后的函数解析式，同时考查了工作效率工作总量工作时间的知识点．
根据待定系数法可求直线的解析式，
根据函数上点的坐标特征得出当时，的值，再根据工作效率工作总量工作时间，列出算式求出该绿化组提高工作效率前每小时完成的绿化面积，再用提高效率前后每小时绿化的面积相减即得答案．
24.【答案】证明：四边形是平行四边形，
，，，
点、分别是、的中点，
，，
，
，
，
即
在与中，
，
≌；
证明：四边形是平行四边形，
，，，
点、分别是、的中点，
，，
，
，
，
即，
≌；
，
由知≌，
，，
四边形是平行四边形，
，
，
，
四边形是矩形．
【解析】根据平行四边形的性质得到，，根据线段中点的定义得到，，根据全等三角形的判定定理即可得到结论；
根据平行四边形的性质得到，，，求得，，得到，求得，根据全等三角形的性质得到，，，根据矩形的判定定理即可得到结论．
本题考查了菱形的判定，全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质定理是解题的关键．
25.【答案】解：对于直线，
令得到，令，得到，
，
，，
．
存在．
当是菱形的边时，如图所示，
在菱形中，，所以点的坐标为，
在菱形中，，所以点的坐标为，
在菱形中，，所以点的坐标为，
当为菱形的对角线时，如图所示的菱形，
设菱形的边长为，则在中，，即，解得，
所以
综上可得，平面内满足条件的点的坐标为：，，，
【解析】本题考查了一次函数综合题，涉及的知识点有：解一元二次方程，两点之间的距离公式，三角形面积的计算，函数思想，分类思想的运用，菱形的性质，综合性较强，有一定的难度．
利用待定系数法求出、两点坐标即可解决问题；
当是菱形的边时，分三种情形讨论求解；当为菱形的对角线时，如图所示的菱形，构建方程即可解决问题；
26.【答案】证明：如图中，
四边形是矩形，
，，
，
在和中，
，
≌，
，
，
四边形是平行四边形，
四边形是菱形．
由题意可知：，，
，
，
，
，
，
，
，
．
即．
如图中，当点在线段上时，，则≌，
，
在中，．
如图中，当的在线段的延长线上时，，
，，
≌，
，
，，
≌，
，
垂直平分线段，
，
，
是等边三角形，
，
综上所述，满足条件的的值为或．
【解析】由≌，推出，由，推出四边形是平行四边形即可解决问题．
由，求出即可解决问题；
分两种情形分别讨论求解即可；
本题考查四边形综合题、矩形的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形，学会转化的思想思考问题，属于中考压轴题．
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