北师大版数学九年级上册 2.1 认识一元二次方程 第2课时教案

第2课时
整体设计
教学目标
【知识与技能】　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　探索一元二次方程的解或近似解.
【过程与方法】
通过具体实例探究一元二次方程的解.
【情感态度与价值观】
经历方程的解的探索过程,增进对方程的解的认识,培养估算意识和能力.
教学重难点
【重点】　探索一元二次方程的解或近似解.
【难点】　培养学生的估算意识和能力.
教学准备
【教师准备】　预设课堂活动中学生可能提出的问题.
【学生准备】　复习有关方程的知识.
教学过程
新课导入　　　　　　　　　　　　　　　　　
导入一:
在小学的时候,我们经常用估算的方法计算一些问题.那么,你能估算方程2x2-13x＋11＝0中x的取值范围吗
导入二:
　　[过渡语]　我们来看看上节课的第一个问题.
　　幼儿园某教室矩形地面的长为8 m,宽为5 m,现准备在地面正中间铺设一块面积为18 m2的地毯,四周未铺地毯的条形区域的宽度都相同(如右图所示),你能求出这个宽度吗
如果设所求的宽度为x m,那么列出的方程为(8-2x)(5-2x)＝18,你能估算出x大约是多少吗
新知构建
估算一元二次方程的解
1.引例
　[过渡语]　(针对导入二)你能设法估计四周未铺地毯部分的宽度x(m)吗
我们知道,x满足方程(8-2x)(5-2x)＝18.
思路一
(1)x可能小于0吗 可能大于4吗 可能大于2.5吗 说说你的理由.
分析:因为40 m2>18 m2,所以x不可能小于0,因为8-2x,5-2x都是大于0的,所以x不可能大于4,也不可能大于2.5.
(2)你能确定x的大致范围吗
分析:x的大致范围是0到2.5之间.但这只是一个大致的估计,精确度还有待于我们进一步去探讨.
(3)计算,填写下表:
x 0 0.5 1 1.5 2 2.5
(8-2x)(5-2x) 40 28 18 10 4 0
　　分析:由上表可以看出,如果宽度大于1,那么地毯的面积会小于18,不符合要求.如果宽度小于1,那么地毯的面积会大于18,也不符合要求.
(4)你知道所求宽度x(m)是多少吗 你还有其他求解方法吗 与同伴交流.
提示:通过表格的计算可以知道所求的宽度的大致范围,通过解一元一次方程等方法可以求出具体的宽度.
思路二
(1)确定大致范围.
因为40 m2>18 m2,所以x不可能小于(　　),因为8-2x,5-2x都是大于0的,所以x不可能大于(　　),综合以上,分析x的大致范围是(　　)到(　　)之间.
(2)比较精确地估算.
填写下表后思考:
x 0 0.5 1 1.5 2 2.5
(8-2x)(5-2x)
　　当x取0.5的时候,你发现了什么问题 当x取1.5的时候,你发现了什么 通过前面的发现,你怎样更精确地确定宽度的范围
2.做一做
　[过渡语]　刚刚我们解决了上一节课的第一个问题,我们再来看看上一节课的第三个问题能不能解决.(附图)
在前一节课的问题中,梯子底端滑动的距离x(m)满足方程(x＋6)2＋72＝102,即x2＋12x-15＝0.
(1)小明认为底端也滑动了1 m,他的说法正确吗 为什么
分析:若底端也滑动了1 m,此时(1＋6)2＋72<102,因此滑动的距离是大于1 m的.
(2)底端滑动的距离可能是2 m吗 可能是3 m吗 为什么
　　分析:通过计算,可以得出下表,根据表格可知,
x 0 0.5 1 1.5 2 3
x2＋12x-15 -15 -8.75 -2 5.25 13 30
如果底端滑动的距离是2 m或者3 m,那么x2＋12x-15的值都大于0,即(x＋6)2＋72>102,所以底端滑动的距离小于2 m.
　　(3)你能猜出滑动距离x(m)的大致范围吗
分析:根据前面的分析,得出x的取值范围大致是1(4)x的整数部分是几 十分位是几
分析:通过计算,得出下表:
x 1.1 1.2 1.3 1.4
x2＋12x-15 -0.59 0.84 2.29 3.76
　　根据上表思考:
当x取1.3和1.4的时候,哪个数字更接近真实值 (1.3更接近)
当x取1.2和1.3的时候,哪个数字更接近真实值 (1.2更接近)
当x取1.1的时候,与真实值是什么关系 (小于真实值)
当x取1.2的时候,与真实值是什么关系 (大于真实值)
综合上述分析,我们可以进一步确定x的取值范围是1.1所以x的整数部分是1,十分位是1.
[知识拓展]　估计一元二次方程近似解的基本思路:将一元二次方程变形为一般形式:ax2＋bx＋c＝0(a≠0),分别将x1,x2代入等式左边,当获得的值为一正、一负时,方程必定有一根x0,而且x10)而a＋b＋c>0(或<0)时,在x1到x2之间由小变大时,ax2＋bx＋c的值也将由小于0(或大于0),逐步变成大于0(或小于0),其间ax2＋bx＋c的值必有等于0的时候,此时的x的值就是原方程的根x0.
课堂小结
1.在解决某些实际问题的时候,可以根据实际情况确定出方程解的大致范围.一般采用“夹逼法”,选取的未知数数值计算的结果的绝对值越接近0,这个数值就越接近未知数的真实值.
2.采用“夹逼法”求一元二次方程近似解的一般步骤:
(1)将方程变为一元二次方程的一般形式;
(2)根据实际情况确定方程的解的大致范围;
(3)根据方程的解的大致范围,在这个范围内取一个整数值,然后把这个值代入方程左边的代数式进行验证,看是否能使方程左边代数式的值为0,如果为0,那么这个数就是方程的解;如果不为0,那么根据这个整数再找出一个使方程左边的值最接近于0但小于0的整数,这个数就是方程的解的整数部分;
(4)保留整数部分不变,小数部分可参照求整数部分的方法进行,以此类推可得出该方程更准确的近似解.
检测反馈
1.根据下表,判断方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0,a,b,c为常数)的一个解x的范围是 (　　)
x 3 3.23 3.24 3.25 3.26
ax2＋bx＋c -0.07 -0.06 -0.02 0.03 0.09
　　A.3C.3.24解析:由表中的数据可知,当x的值由3.24变化到3.25时,ax2＋bx＋c的值由-0.02变化到0.03,所以在3.24到3.25之间存在一数值,使ax2＋bx＋c的值等于0.故选C.
2.用22 cm长的铁丝,折成一个面积为15 cm2的矩形,设矩形的一边长为x cm,则x的大致范围是 (　　)
A.x>0 B.0C.1解析:对于实际问题的近似解的问题,应先根据实际问题确定其解的大致范围,再通过具体计算进行“夹逼”,逐步获得其近似解,“夹逼”思想是近似计算的重要思想.由题意可列出方程(11-x)x＝15,整理得x2-11x＋15＝0,估算此一元二次方程解的范围如下表所示:
x 0 1 2 3 4
x2-11x＋15 15 5 -3 -9 -13
　　由此可知,当x在1~2之间取某一值时,x2-11x＋15可能等于零.故选C.
3.如图所示,某大学为改善校园环境,计划在一块长80 m,宽60 m的长方形场地的中央建一个长方形网球场,网球场占地面积为3500 m2,四周为宽度相等的人行道,设人行道的宽为x m.
(1)你能根据题意列出相应的方程吗
(2)x可能小于0吗 说说你的理由;
(3)x可能大于40吗 可能大于30吗 说说你的理由;
(4)你知道人行道的宽x是多少吗 说说你的求解过程.
解:(1)由题意得,网球场的长和宽分别为(80-2x)m,(60-2x)m,则可列方程(80-2x)(60-2x)＝3500,整理得x2-70x＋325＝0.
(2)x的值不可能小于0,因为人行道的宽度不可能为负数.
(3)x的值不可能大于40,也不可能大于30,因为当x>30时,网球场的宽60-2x<0,这不符合实际,当然x更不可能大于40.
(4)由上面分析可知,x的大致范围应为0x 2 3 4 5 6 7 …
x2-70x＋325 189 124 61 0 -59 -116 …
　　显然,当x＝5时,x2-70x＋325＝0.
因此,人行道的宽度应为5 m.
板书设计
第2课时
估算一元二次方程的解
(1)引例
(2)做一做
布置作业
【必做题】
教材第35页习题2.2.