2022-2023学年甘肃省白银市靖远二中高二（下）期末数学试卷（含解析）

2022-2023学年甘肃省白银市靖远二中高二（下）期末数学试卷
一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 设集合，，则( )
A. B. C. D.
2. 已知复数，且，其中，为实数，则( )
A. ， B. ，
C. ， D. ，
3. 坐标轴与圆：的交点个数为( )
A. B. C. D.
4. 函数的大致图象是( )
A. B.
C. D.
5. 如图中是抛物线形拱桥，当水面在时，拱顶距离水面米，水面宽度为米，则当水面宽度为米时，拱顶与水面之间的距离为( )
A. 米 B. 米 C. 米 D. 米
6. 如图，在圆锥中，是底面圆的且径，，，为的中点，为的中点，则点到平面的距离为( )
A.
B.
C.
D.
7. 某市场供应的黄瓜中，来自甲地的占，来自乙地的占，来自丙地的占，甲地、乙地供应的黄瓜的新鲜率按斤计算均为，丙地供应的黄瓜的新鲜率按斤计算是从该市场供应的黄瓜中任意购买一斤，若这斤黄瓜新鲜的概率为，则( )
A. B. C. D.
8. 已知数列满足，且，则( )
A. B. C. D.
二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）
9. 已知向量，，则下列结论正确的是( )
A. 若，则 B. 若，则
C. 的最小值为 D. 的最大值为
10. 已知定义在区间上的函数的导函数为，的图象如图所示，则( )
A. 在上单调递增
B. 曲线在处的切线的斜率为
C.
D. 有个极大值点
11. 已知等比数列的公比为，前项积为，若，则( )
A. B. C. D.
12. 某电影院的一个播放厅的座位如图所示标黑表示该座位的票已被购买，甲、乙两人打算购买两张该播放厅的票，且甲、乙不坐前两排( )
A. 若甲、乙左右相邻，则购票的情况共有种
B. 若甲、乙不在同一列，则购票的情况共有种
C. 若甲、乙前后相邻，则购票的情况共有种
D. 若甲、乙分坐于银幕中心线的两侧，且不坐同一排，则购票的情况共有种
三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13. 已知点，都在直线上，写出一个直线的方向向量： ______ ．
14. 已知，，则的取值可以是______ 写出一个即可
15. 已知，分别是椭圆：的左、右焦点，是椭圆在第一象限内的一点，若，则 ______ ．
16. 已知函数，存在两个极值点，，且，则的取值范围为______ ，的取值范围为______ ．
四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. 本小题分
已知在等差数列中，，．
求的通项公式；
求数列的前项和．
18. 本小题分
已知的内角，，的对边分别是，，，且．
求角的值；
若，求面积的最大值．
19. 本小题分
如图，在正三棱柱中，为的中点，．
若，证明：平面；
若直线与平面所成角为，求的值．
20. 本小题分
世界卫生组织建议成人每周进行至小时的中等强度运动已知社区有的居民每周运动总时间超过小时，社区有的居民每周运动总时间超过小时，社区有的居民每周运动总时间超过小时，且，，三个社区的居民人数之比为：：．
从这三个社区中随机各选取名居民，求至少有名居民每周运动总时间超过小时的概率；
从这三个社区中随机抽取名居民，求该居民每周运动总时间超过小时的概率；
假设这三个社区每名居民每周运动总时间为随机变量单位：小时，且，现从这三个社区中随机选取名居民，求该居民每周运动总时间为至小时的概率．
21. 本小题分
已知函数．
当时，求的图像在点处的切线方程；
若不等式恒成立，求的取值集合．
22. 本小题分
已知双曲线：经过点，双曲线的右焦点到其渐近线的距离为．
求双曲线的方程；
已知，为的中点，作的平行线与双曲线交于不同的两点，，直线与双曲线交于另一点，直线与双曲线交于另一点，证明：，，三点共线．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：因为集合，，
则．
故选：．
由交集的定义求解即可．
本题主要考查了集合交集运算，属于基础题．
2.【答案】
【解析】解：因为，所以，
由，得，即．
故选：．
根据复数加减法运算规则和复数相等的定义求解．
本题主要考查共轭复数的定义，属于基础题．
3.【答案】
【解析】解：圆：，即圆：，
所以圆，半径，
因为圆心到轴的距离为，且，
所以圆与轴相交，即与轴有两个交点，
因为圆心到轴的距离为，且等于半径，
所以圆与轴相切于点，即与轴有一个交点，
综上坐标轴与圆：有个交点．
故选：．
先求出圆心和半径，再分别求出圆心到两坐标轴的距离与半径比较可得结论．
本题主要考查直线与圆的位置关系，考查运算求解能力，属于中档题．
4.【答案】
【解析】解：当时，，故B，D错误；
又，当时，，当时，，
故时的图象是先下降后上升，故A错误，C正确．
故选：．
利用时，，可判断，；利用函数的导数判断时图像变化情况，可判断，．
本题主要考查函数图象的判断，属于基础题．
5.【答案】
【解析】解：以拱顶为坐标原点，建立直角坐标系，
可设拱桥所在抛物线的方程为，
又抛物线过点，则，解得，
则抛物线的方程为，当时，，
故当水面宽度为米时，拱顶与水面之间的距离为米．
故选：．
以拱顶为坐标原点，建立直角坐标系，设拱桥所在抛物线的方程为，根据抛物线过点，求出的值，即可得到抛物线方程，再令，求出的值，即可得解．
本题主要考查了抛物线的定义和性质，属于中档题．
6.【答案】
【解析】解：，为的中点，
，又，，
≌，，
，
以为坐标原点，，，所在直线为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，
则，，，
设平面的一个法向量为，
则，令，则，，
平面的一个法向量为，
点到平面的距离为．
故选：．
利用已知可证，以为坐标原点，，，所在直线为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系，求得平面的一个法向量，利用向量法可求点到平面的距离．
本题考查利用向量法求点到面的距离，属中档题．
7.【答案】
【解析】解：根据题意，用表示“买到的黄瓜来自甲地”，用表示“买到的黄瓜来自乙地”，用表示“买到的黄瓜来自丙地”，
用表示“买到的黄瓜是新鲜黄瓜”，
则，，，，，
所以，
解得．
故选：．
根据题意，用表示“买到的黄瓜来自甲地”，用表示“买到的黄瓜来自乙地”，用表示“买到的黄瓜来自丙地”，用表示“买到的黄瓜是新鲜黄瓜”，由全概率公式可得，由此可得关于的方程，解可得答案．
本题表示全概率公式，涉及条件概率的计算，属于基础题．
8.【答案】
【解析】解：，
，
，解得．
故选：．
先利用题给条件求得，列出关于的方程，求解即可得出答案．
本题考查数列的递推式，考查转化思想，考查运算能力，属于中档题．
9.【答案】
【解析】解：向量，，
时，有，解得；
时，有，解得；
，故当时，取最小值，无最大值．
故选：．
根据两向量平行和垂直的坐标表示以及模长公式，列方程得出对应的结果．
本题考查了空间向量共线和垂直的坐标应用问题，是基础题．
10.【答案】
【解析】解：根据定义在区间上的函数的导函数的图象，
对于中，当时，，且仅当时，，
所以在上单调递增，所以A正确；
对于中，当时，可得，
所以曲线在处的切线的斜率为，所以B正确；
对于中，因为在上单调递增，
所以不是函数的最大值，所以不正确；
对于中，由的图象，可得时，，单调递增；
当时，，单调递减；当时，，单调递增，
所以只有当时，函数取得极大值，所以有个极大值点，所以D正确．
故选：．
根据导函数为的图象，结合导函数与函数的关系，以及函数的极值点的概念，逐项判定，即可求解．
本题考查导数的综合应用，化归转化思想，属中档题．
11.【答案】
【解析】解：因为等比数列的公比为，，
，
则，，即，
所以，，
所以，，故A正确，B正确；
所以，
，故C正确，D错误．
故选：．
结合等比数列的通项公式及下标和性质一一分析即可．
本题主要考查了等比数列的性质的应用，属于中档题．
12.【答案】
【解析】解：若甲、乙左右相邻，若在第三排，个座位，共有种左右相邻方法，
若在第四排，左边个位置有种做法，右边个座位有种做法，共有种，
若在第五排，左边个位置有种做法，右边个座位有种做法，共有种，
若在第六排，左边个位置有种做法，右边个座位有种做法，有种，
若在第七排，左边个位置有种做法，右边个座位有种做法，共有种，
则座位共有种．再考虑甲乙顺序，有种，所以一共有种购票情况．故A正确；
甲、乙在同一列的情况共有种，则甲、乙不在同一列的情况有种．所以B正确；
若甲、乙前后相邻，先选座位：有种，再考虑甲乙顺序，有种，所以一共有种购票情况．所以不正确；
中心线左侧有个座位，右侧有个座位．甲、乙分坐于两侧，有种．
甲、乙分坐于两侧且坐同一排按每一排考虑，有种，
所以甲、乙分坐于两侧，且不坐同一排的购票情况共有种．
故选：．
甲、乙左右相邻，在第三排，在第四排，在第五排，在第六排，在第七排，求解购票情况．判断的正误；求解甲、乙在同一列的情况，然后求解甲、乙不在同一列的情况判断的正误；求解甲、乙前后相邻，购票情况．判断的正误；求解中心线左侧有个座位，右侧有个座位．求解甲、乙分坐于两侧，且不坐同一排的购票情况判断的正误．
本题考查排列组合的实际应用，考查分析问题解决问题的能力，是中档题．
13.【答案】答案不唯一．
【解析】解：根据题意，点，都在直线上，且，
故直线的一个方向向量为．
故答案为：答案不唯一．
根据题意，求出向量的坐标，由直线方向向量的定义分析可得答案．
本题考查直线的方向向量，涉及空间向量的坐标表示，属于基础题．
14.【答案】或或或
【解析】解：因为，
所以，
即，
则或，
所以或，，
因为，
所以的取值可以是或或或．
故答案为：或或或
利用二倍角公式化简已知等式可得或，可求或，，结合，即可得解．
本题考查了二倍角公式在三角函数求值中的应用，属于基础题．
15.【答案】
【解析】解：由椭圆的方程可得，，则，即 ，
设，则，因为，
由勾股定理可得：，解得或，
又是椭圆在第一象限内的一点，所以，则，即，，
所有．
故答案为：．
由椭圆的方程可得，的值，进而求出的值，由椭圆的定义及勾股定理可得，的值，进而求出的大小．
本题考查椭圆的性质的应用及勾股定理的应用，属于基础题．
16.【答案】
【解析】解：，，
，存在两个极值点，，且，
在上有个不相等的实根，
和在上有个不同的交点，
，即；
当时，函数的图像关于直线对称，
，即，
，
令，，
则，
在上单调递减，
所以，
的取值范围为．
故答案为：；．
求出函数的导数，问题转化为和在上有个不同的交点，求出的范围即可；求出的解析式，根据函数的单调性求出其取值范围即可．
本题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及转化思想，是中档题．
17.【答案】解：设的公差为，，即，解得，
又，则，解得，
又，则，
故；
由得，则，
．
【解析】设等差数列的公差为，利用等差数列的性质可得，结合题意求出，即可得出答案；
由得，则，利用裂项相消法求和，即可得出答案．
本题考查等差数列的性质和裂项相消法，考查转化思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
18.【答案】解：因为．
所以，，
整理得：，
又，
所以，
所以，
又，
所以；
由余弦定理得：，
即：，
所以，当且仅当时取等号，
所以，
即面积的最大值为．
【解析】由同角三角函数基本关系，正弦定理，三角形内角和定理，诱导公式化简已知等式可得，结合范围，可求的值．
由余弦定理，基本不等式可求，进而利用三角形面积公式可求最大值．
本题主要考查了同角三角函数基本关系，正弦定理，三角形内角和定理，诱导公式，余弦定理，基本不等式，三角形面积公式在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于中档题．
19.【答案】解：证明：取的中点，连接，，，．
由题意，得，
所以，
则．
因为，，，，平面，
所以平面，
又平面，
所以，
因为，，平面，
所以平面．
以为坐标原点，，，的方向分别为轴，轴，轴的正方向，建立空间直角坐标系，
则．
设，．
设平面的法向量为，
则，即，
取，则．
设直线与平面所成的角为，
则，
化简得，
解得或．
当时，点与点重合，此时，不符合题意．
所以，即的值为．
【解析】先证明平面，得到，再证明平面即可；
建立空间直角坐标系，利用向量法求出线面角即可得解．
本题考查线面垂直的判定定理，考查利用空间向量求解线面角，考查空间想象能力，推理论证能力和运算求解能力，考查直观想象和数学运算等核心素养，属于中档题．
20.【答案】解：设从，，三个社区中各选取的名居民的每周运动总时间超过小时分别为事件，，，
则．
设选取的名居民中至少有名居民每周运动总时间超过小时为事件，
则事件的对立事件为选取的名居民每周运动总时间都没有超过小时，
所以，
故选取的名居民中至少有名居民每周运动总时间超过小时的概率为．
设，，三个社区的居民人数分别为，，，
则社区每周运动总时间超过小时的人数为，
社区每周运动总时间超过小时的人数为，
社区每周运动总时间超过小时的人数为，
所以，
故从这个社区中随机抽取名居民且每周运动总时间超过小时的概率．
因为，所以．
因为，所以，
所以．
【解析】根据概率公式，先算出该居民是各社区且每周运动时间没有超过小时的概率，由对立事件的概率公式求解即可；
由于，，三个社区的居民人数之比为：：，设出三个社区的居民人数，计算出各社区每周运动总时间超过小时的人数，然后由频率估计概率即可；
由正态分布的性质结合条件求解即可．
本题考查离散型随机变量的应用，属于中档题．
21.【答案】解：当时，，所以，
又 ，所以，
故的图像在点处的切线方程为，即．
因为恒成立，恒成立，
令函数，则
当时，在区间恒成立，此时在区间单调递增，
又，易知，，所以，故不合题意，
当时，由，可得，即
令，则在区间上恒成立
所以在区间上单调递增，又因为，
所以存在，使得，两边同时取对数可得，
则当时，，即，
当时，，即，
所以当时，，
故要使恒成立，只需，
令，则，
由，得到，由，得到，
所以在区间上单调递增，在区间上单调递减，
，即，
所以只有唯一解，即．
综上，的取值集合为．
【解析】先求出切点，再利用导数的几何意义求出切线的斜率，即可求出结果；
通过构造函数，将问题转化成求的最小值，通过对进行分类讨论，利用导数与函数单调性间的关系，求出单调区间，进而求出结果．
本题考查导数的几何意义，考查不等式恒成立问题，解题方法是把不等式变形为，然后由导数求得的最小值，解不等式即可得参数范围．
22.【答案】解：因为双曲线的渐近线方程为，
所以双曲线的右焦点到其渐近线的距离为，
因为双曲线经过点，所以，解得，
故双曲线的方程为．
证明：因为，，为的中点，所以，，
设直线的方程为，，，，，
所以，，
直线的方程为，
直线的方程为，
联立，
可得，
所以，
又因为，所以，
则，，
同理可得，．
，
，
所以，故，，三点共线．
【解析】根据双曲线的渐近线方程和点到直线的距离公式求解；
利用韦达定理以及斜率公式证明三点共线．
本题主要考查双曲线的性质及标准方程，直线与双曲线的综合，考查运算求解能力，属于难题．
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