2022-2023学年江苏省南通市如皋市高二（下）调研数学试卷（二）（含解析）

2022-2023学年江苏省南通市如皋市高二（下）调研数学试卷（二）
一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 已知集合，，若，则实数的值可能为( )
A. B. C. D.
2. 已知幂函数，下列能成为“是上奇函数”充分条件的是( )
A. ， B. ，
C. ， D. ，
3. 函数的零点个数为( )
A. B. C. D.
4. 云计算是一种全新的网络应用概念，其核心概念是以互联网为中心，在网站上提供快速且安全的云计算服务与数据存储近年来，我国云计算市场规模持续增长某科技公司云计算市场规模与年份代码的关系可以用模型拟合，设，年至年数据统计表如下：
年份 年 年 年 年 年
年份代码
云计算市场规模
若根据上表得到回归方程，则该科技公司年云计算市场规模约为( )
A. B. C. D.
5. 若，，，则下列关系正确的是( )
A. B. C. D.
6. 已知函数，存在最小值，则实数的取值范围为( )
A. B. C. D.
7. 已知当时，根据以上信息，若对任意，有，则( )
A. B. C. D.
8. 已知函数，，其中为自然对数的底数若存在实数，使得，则实数的取值范围为( )
A. B. C. D.
二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）
9. 若函数的单调递增区间为，则可能是( )
A. B.
C. D.
10. 某同学在高二年级所有检测中语文和数学成绩均服从正态分布，记语文成绩为，数学成绩为，且，，则下列结论正确的是( )
A. B.
C. D.
11. 若展开式中二项式系数和为，下列结论正确的是( )
A. B. 展开式中第项为
C. 展开式中常数项为 D. 展开式中各项系数之和为
12. 在长方体中，，，为棱上任意一点，则下列结论正确的是( )
A. 长方体表面积的最大值为
B. 长方体外接球表面积的最小值为
C. 到平面的距离的最大值为
D. 三棱锥体积的最大值为
三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13. 已知，则的值为______ ．
14. 如图，直三棱柱所有棱长均为，为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为______ ．
15. 某同学连续两天在学校信息图文中心楼和楼进行拓展阅读，第一天等可能地从信息图文中心楼和楼中选择一层楼进行阅读如果第一天去楼的条件下第二天还在楼阅读的概率为；第一天去楼的条件下第二天去楼阅读的概率为，该同学第二天去楼阅读的概率为______ ．
16. 已知定义在上的函数满足，且为偶函数，则 ______ ．
四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. 本小题分
已知函数，且．
判断函数的奇偶性，并说明理由；
若，当时，求的值域．
18. 本小题分
如图，三棱锥中，平面，线段的中点为，，且．
证明：平面；
若，，求二面角的余弦值．
19. 本小题分
一盒子中放有个大小相同的小球，其中个红球，个白球现从中抽取两次，一次抽取两个球，若第一次抽出后不放回．
求第一次抽到两个红球的条件下，第二次抽到两个白球的概率；
若一次抽出的两个球同色即中奖，求中奖次数的概率分布和数学期望．
20. 本小题分
已知函数，其中．
当时，求函数的极小值；
若在处的切线与图像也相切，求实数的值．
21. 本小题分
直播带货业务是当前行业电商的主要业务构成之一某公司通过抖音，快手，淘宝等直播平台与网红，明星等进行带货合作，甲公司和乙公司所售商品存在竞争关系，两公司在某购物平台上同时开启直播带货促销活动．
现对某时段岁年龄段名用户观看直播后选择甲公司和乙公司所售商品选购情况进行调查，统计数据如下表：
用户年龄段 选购甲公司 选购乙公司 合计
岁
岁
合计
请完成上述列联表，并判断是否有的把握认为选择哪家直播间购物与用户年有关？
五一期间，甲公司购物平台直播间进行“抢购”活动，假设直播间每人下单的概率均为，直播间每人下单成功与否互不影响若从直播间随机抽取人，记人中恰有人下单成功的概率为，求的最大值，并求出取得最大值时的值．
参考公式：，其中．
临界值表：
22. 本小题分
已知函数，其中为自然对数的底数．
讨论函数的单调性，并说明理由；
当时，恒成立，求实数的取值范围．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：，，且，
，
的值可能为：．
故选：．
可求出集合，，根据即可求出的取值范围，然后即可得出的可能值．
本题考查了集合的描述法和列举法的定义，交集的定义及运算，考查了计算能力，属于基础题．
2.【答案】
【解析】解：对于，，定义域为，所以不是上的奇函数，故A错误；
对于，，定义域为，所以不是上的奇函数，故B错误；
对于，，定义域为，且，故为偶函数，故C错误；
对于，，定义域为，且，故为奇函数，故D正确．
故选：．
根据函数奇偶性的性质判断即可．
本题主要考查了函数奇偶性的判断，属于基础题．
3.【答案】
【解析】解：令，则，
作出函数与函数的图象如下图所示，
由图象可知，函数与函数的图象有个交点，
即函数的零点个数为个．
故选：．
判断函数与函数的图象交点个数即可得出答案．
本题考查函数零点与方程根的关系，考查数形结合思想，属于基础题．
4.【答案】
【解析】解：由题意可得，
将代入回归方程可得，
所以，关于的回归方程为，
当时，，此时，．
故选：．
求出的值，代入回归方程求出的值，可得出关于的回归方程，然后在回归方程中令可得出的值，即可求得的值，即可得解．
本题考查了回归方程的计算，属于中档题．
5.【答案】
【解析】解：，，
，即．
故选：．
根据指数函数的单调性得出，然后根据对数的运算性质和对数函数的单调性得出，然后即可得出，，的大小关系．
本题考查了指数函数和对数函数的单调性，对数的运算性质，考查了计算能力，属于基础题．
6.【答案】
【解析】解：，，
由，得，
时，；时，；时，，
的增区间是，，减区间是，
的极小值为．
时，
，，
，
，
，
，
，
，
解得，，
，，
即实数的取值范围是．
故选：．
由导数性质得的增区间是，，减区间是，从而得的极小值为，由此利用函数性质列不等式，即可求解的范围．
本题主要考查利用导数研究函数的最值，考查运算求解能力，属中档题．
7.【答案】
【解析】解：由题意可知，，
同理可得，，
对任意，有，
．
故选：．
根据已知条件，依次求出，的展开式，再结合对应的系数，即可求解．
本题考查二项式定理的应用，属于中档题．
8.【答案】
【解析】解：存在实数，使得，即，
令，，
，
函数在上单调递增，
，即的最小值，
令，，
，
函数在上单调递减，在上单调递增，
时，函数取得极小值即最小值，
，
，即．
故选：．
存在实数，使得，即，构造函数，，研究其单调性，再通过分离参数即可得出结论．
本题考查了利用导数研究函数的单调性与极值、构造法、等价转化方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．
9.【答案】
【解析】解：对于：，则，，
的单调递增区间为，故A错误；
对于：，则函数定义域为，，
由得，由得，由得或，
在和上单调递减，在上单调递增，故B正确；
对于：，则函数定义域为，，
由得，由得或，由得或，
在和上单调递增，故C错误；
对于：，，则，
由得，由得，由得，
在上单调递减，在上单调递增，故D正确．
故选：．
利用导数与单调性的关系，逐一分析选项，即可得出答案．
本题考查利用导数研究函数的单调性，考查转化思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
10.【答案】
【解析】解：，，，，，，
，A正确；
，B错误；
，C正确；
，D正确．
故选：．
根据正态分布的对称性求解即可．
本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，考查正态分布中两个量和的应用，考查曲线的对称性，属于基础题．
11.【答案】
【解析】解：因为二项式展开式中二项式系数和为，所以，解得，故A正确；
所以二项式为，则二项式展开式的通项为，
展开式中第项为，故B错误；
令，解得，故展开式中常数项为，故C错误；
采用赋值法，令，则展开式中各项系数之和为，故D正确．
故选：．
由二项式系数和求得，即可判断，写出项式展开式的通项，代值即可判断，根据赋值法即可判断．
本题考查二项式定理的应用，属于基础题．
12.【答案】
【解析】解：对于，该长方体的表面积为
，
当时，的最大值为，故A正确．当长方体为正方体时，，故错误；
对于，如图，设，则，
所以，
当时，的最小值为，即长方体外接球的直径为，
所以外接球表面积的最小值为，故正确；
对于，设点到平面的距离为即为点到平面的距离为，如图，
由，
可得，
所以由可知，，其中，当且仅当，即时等号成立，
，当且仅当，即时等号成立，
所以，当且仅当，即时，等号成立，故C正确；
对于，，故D正确．
故答案为：．
直接利用柱体和球体的位置关系，几何体的等体积关系的转换，几何体的表面积公式，几何体的体积公式的应用判定、、、的结论．
本题考查的知识要点：柱体和球体的位置关系，几何体的等体积关系的转换，几何体的表面积公式，主要考查学生的运算能力、空间想象能力和数学思维能力，属于中档题．
13.【答案】
【解析】解：因为，
两边平方得，即，
则．
故答案为：．
由已知先求出，然后结合对数的运算性质即可求解．
本题主要考查了对数的运算性质的应用，属于基础题．
14.【答案】
【解析】解：以点为坐标原点，过点且与直线平行的直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴，
建立如图所示的空间直角坐标系，
则，
所以，
则，
所以异面直线与所成角的余弦值为．
故答案为：．
建立空间直角坐标系，利用向量法求解即可．
本题考查利用空间向量求解异面直线所成角，考查运算求解能力，属于基础题．
15.【答案】
【解析】解：设事件为“第一天取楼”，事件为“第一天去楼”，事件为第天去楼，
则，，，，
，
则该同学第二天去楼阅读的概率为．
故答案为：．
利用条件概率公式和全概率公式求得第天去楼的概率，再利用对立事件的性质求解即可．
本题考查条件概率，考查学生的计算能力，是基础题．
16.【答案】
【解析】解：因为，令，得，解得；
又因为为偶函数，所以，即，
所以，令，得；
由，得，所以，所以，
所以，所以函数的一个周期为，
所以．
故答案为：．
根据为偶函数，得到，即，，再结合，得到，求出函数的一个周期，即可求解．
本题主要考查了函数的奇偶性及周期性在函数求值中的应用问题，是中档题．
17.【答案】解：为奇函数，证明如下：
因为，
所以，
所以的定义域为，
因为，
所以为奇函数；
因为，
所以，
所以，
所以，
因为，
所以，所以．
所以的值域为．
【解析】根据函数奇偶性的定义判断；
由可求出，所以，再结合对数函数的性质求解即可．
本题主要考查了函数的奇偶性的判断，考查了对数函数的性质，属于中档题．
18.【答案】解：建立空间直角坐标系如图：
因为，，线段的中点为，
所以，，，，，
所以，，，，．
设平面的一个法向量为，则解得．
令，则，所以．
同理，平面的一个法向量为，
平面的一个法向量为．
因为，所以，所以平面．
设二面角的平面角为，则为锐角．
，
所以二面角的余弦值．
法．
证明：证明：在中，，线段的中点为，
所以．
因为平面，平面，
所以．
因为平面，平面，，
所以平面．
在中，过点作，垂足为，连接，
因为平面，平面，
所以．
因为，平面，平面，，
所以平面．
因为平面，
所以．
因为，平面，平面，，
所以平面，所以，，
所以为二面角的平面角．
在中，，，
所以，．
同理，在中，，
所以．
所以二面角的余弦值．
【解析】利用线面垂直的判定定理或者建立坐标系利用向量法进行证明．
根据二面角的定义找出二面角的平面角，或建立坐标系求出平面的法向量，利用向量法进行求解．
本题主要考查线面垂直的判定以及二面角的求解，根据线面垂直的判定定理，或建立坐标系求出平面的法向量，利用向量法进行求解证明是解决本题的关键，是中档题．
19.【答案】解：不妨设“取到两个红球”为事件，“取到两个白球”为事件，
则，，
根据条件概率公式可知，，
所以第一次抽到两个红球的条件下，第二次抽到两个白球的概率为．
的可能值为，，．
，
，
．
所以的概率分布为：
所以．
【解析】记“取到两个红球”为事件，“取到两个白球”为事件，根据条件概率公式计算即可；
根据题意可知，的可能值为，，，计算对应概率，写出分布列和期望即可．
本题考查离散型随机变量的应用，属于中档题．
20.【答案】解：当时，，，
所以，令，
解得，
列表如下：
极小值
所以函数的极小值为．
，
，
，，
在处的切线方程为，
与图像相切，
有两个相等的实根，
，解得或，
实数的值为，．
【解析】代入的值，求出函数的导数，根据函数的单调性求出函数的极小值即可；
表示出切线方程，问题转化为有两个相等的实根，结合二次函数的性质，求出的值即可．
本题考查了函数的单调性，极值问题，考查导数的应用以及函数和方程，考查转化思想，是中档题．
21.【答案】解：根据题目所给数据得到如下的列联表：
用户年龄段 选购甲公司 选购乙公司 合计
岁
岁
合计
，
所以有的把握认为选择哪家直播间购物与用户年龄有关．
由题意得，人中恰有人下单成功的概率为，
，
令，
解得，
列表如下：
极大值
所以当时，取得极大值，即最大值．
【解析】根据题目所给的数据填写列联表，计算，对照题目中的表格，得出统计结论；
求得，利用导数求得的最大值即可．
本题考查独立性检验，考查导数的应用，是中档题．
22.【答案】解：已知，函数定义域为，
可得，
当时，，单调递减，
当时，
当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
综上：当时，在上单调递减，
当时，在上单调递减，
在上单调递增；
若当时，恒成立，
即恒成立，
不妨设，函数定义域为，
可得，
不妨设，函数定义域为，
可得，
当时，，
所以在上单调递增，
此时，
所以函数在上单调递增，
则，符合题意；
当时，，
所以在上单调递增，
此时，
若，
此时，使得，
所以当时，，
则函数在上单调递减，
可得，都有，不符合题意；
若，
此时恒成立，单调递减，
可得，都有，不符合题意；
当时，，
所以在上单调递减，
此时，
所以函数在上单调递减，
则，不符合题意，
综上，实数的取值范围为．
【解析】由题意，对函数进行求导，分别对和这两种情况进行分析，利用导数的几何意义即可得到函数的单调性；
将问题转化成恒成立，构造函数，对函数进行求导，构造函数，对进行求导，分别对，和这三种情况进行分析，利用导数的几何意义得到函数的单调性和极值，进而即可求解．
本题考查利用导数研究函数的单调性以及不等式恒成立问题，考查了逻辑推理、分类讨论、转化思想和运算能力．
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