2022-2023学年贵州省贵阳市白云区兴农中学高一（下）期中数学试卷（含解析）

2022-2023学年贵州省贵阳市白云区兴农中学高一（下）期中数学试卷
一、单选题（本大题共8小题，共32.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 已知为虚数单位，复数满足，则复数的虚部为( )
A. B. C. D.
2. 设是两个单位向量，则下列结论中正确的是( )
A. B. C. D.
3. 圆锥的母线长为，底面半径为，则圆锥的侧面积为( )
A. B. C. D.
4. 复数满足，则在复平面内对应的点位于( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
5. 已知向量，则在上的投影向量为( )
A. B. C. D.
6. 已知向量、不共线，若，且、、三点共线，则关于实数、一定成立的关系式为( )
A. B. C. D.
7. 如图，在矩形中，，，点为的中点，则( )
A. B. C. D.
8. 在达州市北部的凤凰山上有一座标志性建筑凤凰楼，某同学为测量凤凰楼的高度，在凤凰楼的正北方向找到一座建筑物，高约为，在地面上点处三点共线测得建筑物顶部，凤凰楼顶部的仰角分别为和，在处测得凤凰楼顶部的仰角为，凤凰楼的高度约为( )
A. B. C. D.
二、多选题（本大题共2小题，共8.0分。在每小题有多项符合题目要求）
9. 根据下列所给条件解三角形，其中有两个解的是( )
A. ，， B. ，，
C. ，， D. ，，
10. 若直线平行于平面，则下列结论正确的是( )
A. 直线与平面无交点
B. 直线平行于平面内的所有直线
C. 平面内有无数条直线与直线平行
D. 平面内存在无数条直线与直线为异面直线
三、填空题（本大题共5小题，共20.0分）
11. 已知向量，的夹角为，且，，则 ______ ．
12. 已知，，，则 ______ ．
13. 已知向量和满足：，，，则向量与向量的夹角为______ ．
14. 若一个棱长为的正方体的八个顶点在同一个球面上，则该球的体积为______ ．
15. 如图，某几何体的形状类似胶囊，两头都是半球，中间是圆柱，其中圆柱的底面半径与半球的半径都为，若该几何体的表面积为，则其体积为______ ．
四、解答题（本大题共5小题，共40.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
16. 本小题分
已知，，
设，的夹角为，求的值；
若向量与互相垂直，求的值．
17. 本小题分
当实数取何值时，复数满足：
为实数；
为纯虚数；
在复平面内对应的点在第三象限．
18. 本小题分
在中，，，．
求边长与；
求的面积．
19. 本小题分
如图，在棱长为的正方体中，，分别是棱，的中点．
求证：平面；
求四棱锥的体积．
20. 本小题分
在中，角，，所对的边分别是，，，．
求角；
若，的面积为，求的周长．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：，
的虚部为．
故选：．
由复数除法运算可求得，由虚部定义可得结果．
本题主要考查复数的运算，属于基础题．
2.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了对单位向量的理解和应用，属于基础题．
根据单位向量的模长相等，方向不一定相同，即可判断选项中的命题是否正确．
【解答】
解：因为是单位向量，但方向不一定相同，不一定成立，、B错误；
对于，是单位向量，不一定是相反向量，不一定成立，C错误；
对于，是单位向量，，D正确．
故选D．
3.【答案】
【解析】解：根据圆锥侧面积公式可知．
故选：．
根据圆锥侧面积公式，即可计算结果．
本题考查了圆柱的侧面积计算问题，是基础题．
4.【答案】
【解析】解：由题意得，
故对应的点在第四象限．
故选：．
先结合复数的四则运算进行化简，然后结合共轭复数的定义及复数的几何意义可求．
本题主要考查了复数的四则运算，共轭复数的概念及复数的几何意义的应用，属于基础题．
5.【答案】
【解析】解：，
，，
在上的投影向量为．
故选：．
根据已知条件，结合平面向量的投影公式，即可求解．
本题主要考查平面向量的投影公式，属于基础题．
6.【答案】
【解析】解：由于，有公共点，
若、、三点共线
则与共线
即存在一个实数，使
即
消去参数得：；
反之，当时
此时存在实数使
故与共线
又由，有公共点，
、、三点共线
故A、、三点共线的充要条件是．
故选：．
先求、、三点共线的充要条件，我们要先根据已知条件、是不共线的向量，判断与满足的关系；并以此关系为已知条件，看能不能反推回来得到、、三点共线．如果两个过程都是可以的，该关系式即为所求．
判断充要条件的方法是：若为真命题且为假命题，则命题是命题的充分不必要条件；若为假命题且为真命题，则命题是命题的必要不充分条件；若为真命题且为真命题，则命题是命题的充要条件；若为假命题且为假命题，则命题是命题的既不充分也不必要条件．判断命题与命题所表示的范围，再根据“谁大谁必要，谁小谁充分”的原则，判断命题与命题的关系．
7.【答案】
【解析】解：在矩形中，，，点为的中点，
建立如图所示的平面直角坐标系，
则，，，，，
则．
故选：．
先建立平面直角坐标系，求出对应点的坐标，然后结合平面向量数量积的坐标运算求解即可．
本题考查了平面向量数量积的运算，重点考查了平面向量数量积的坐标运算，属基础题．
8.【答案】
【解析】解：在中，，，，
在中，，
由正弦定理得，
所以在等腰中，有．
故选：．
利用正弦定理求得正确答案．
本题考查解三角形，考查运算求解能力，属于基础题．
9.【答案】
【解析】解：对于：已知两角与一边，只有一个解，故A错误；
对于：由得，则角有两个解，即三角形有两个解，故B正确；
对于：由得，则角有两个解，即三角形有两个解，故C正确；
对于：由得，此时，则三角形只有一个解，故D错误．
故选：．
选项中已知两角及一边，则只有一个解；对于、、利用正弦定理判断解的个数，即可得出答案．
本题考查解三角形，考查转化思想，考查运算能力，属于中档题．
10.【答案】
【解析】解：由题意，知直线平行于平面，
对于，直线与平面无交点是正确的；
对于，直线与平面内的直线可能平行或异面，所以不正确；
对于，平面内有无数条直线与直线平行，是正确的；
对于，平面内存在无数条直线与直线成异面直线，是正确的．
故选：．
根据线面平行的定义和性质，逐项判断即可．
本题主要考查了直线与平面平行的定义和性质，同时考查了推理能力，属于基础题．
11.【答案】
【解析】解：向量，的夹角为，且，，
所以．
故答案为：．
根据给定条件，利用向量数量积的定义计算作答．
本题考查向量的数量积的运算，属基础题．
12.【答案】
【解析】解：依题意，化为：，
而，，则，解得，，
所以．
故答案为：．
利用复数相等求出实数，，再利用复数模的定义计算作答．
本题考查复数的模，属于基础题．
13.【答案】
【解析】解：设向量与向量的夹角为，，
则，
故，
故，，
故．
故答案为：．
设向量与向量的夹角为，根据得到，再利用向量的夹角公式计算得到答案．
本题主要考查了向量的数量积运算，属于基础题．
14.【答案】
【解析】解：棱长为的正方体的八个顶点在同一个球面上，
则球的直径等于正方体的体对角线长，即，，
则该球的体积．
故答案为：．
根据球的体积公式可解．
本题考查球的体积公式，属于中档题．
15.【答案】
【解析】解：依题意，几何体可视为半径为的球和底面圆半径为，高为的圆柱组合而成，
于是几何体的表面积，解得，
所以该几何体的体积．
故答案为：．
根据给定条件，求出中间圆柱的高，再利用球和圆柱的体积公式求解作答．
本题考查几何体的体积的求解，属中档题．
16.【答案】解：，，，的夹角为，
，
；
因为向量与互相垂直，
所以，
即，
因为，，
所以．
【解析】本题考查向量的数量积以及向量的夹角的求法与应用，考查计算能力，属于基础题．
利用已知条件通过向量的数量积求解即可；
利用向量垂直，数量积为，转化求解即可．
17.【答案】解：若为实数，则，
解得：或；
若为纯虚数，则，
解得：或；
若在复平面内对应的点在第三象限，
则，即，解得，解得，
故的取值范围为．
【解析】令虚部等于即可求解；
令实部等于，虚部不等于即可求解；
令实部小于，虚部小于即可求解；
本题主要考查纯虚数、实数的定义，以及复数的几何意义，属于基础题．
18.【答案】解：因为，，，
由余弦定理可得，
即，
解得或舍去，
又，
所以，
利用正弦定理得，即，
解得，
又，
所以；
由、、，
可得．
【解析】利用余弦定理求出，再由正弦定理求出，即可得解；
利用面积公式计算可得．
本题考查的知识要点：正弦定理和余弦定理的应用，三角形面积公式的应用，属于基础题．
19.【答案】解：在正方体中，连接，，如图，
由于，是正方体的对角线，则有的中点是的中点，
而是棱的中点，于是，又平面，平面，
所以平面．
在正方体中，平面，而正方体的棱长为，
所以四棱锥的体积．
【解析】连接，，证明是的中点，再利用线面平行的判定推理作答．
利用锥体的体积公式直接计算作答．
本题考查线面平行的证明，几何体的体积的求解，属中档题．
20.【答案】解：在中，，
由正弦定理得，
则，即，
整理得，
又，，则，
又，则；
由得，的面积为，则，解得，
由余弦定理得，即，
，
又，
的周长是．
【解析】根据给定条件，利用正弦定理边化角，再利用和角的正弦，即可得出答案；
利用三角形面积公式和余弦定理求出三角形周长，即可得出答案．
本题考查解三角形，考查转化思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
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