2022-2023学年上海市延安中学高二（下）期末数学试卷（含解析）

2022-2023学年上海市延安中学高二（下）期末数学试卷
一、单选题（本大题共4小题，共12.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 已知是一个随机变量，则“是常数随机变量”是“”的( )
A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件
C. 充要条件 D. 既非充分也非必要条件
2. 下列求导计算正确的是( )
A. B.
C. D.
3. 测量甲、乙两组各名学生的身高单位：，所得数据用茎叶图表示如图，则下列结论中正确的是( )
A. 两组学生身高的极差不相等
B. 甲组学生身高的平均值比乙组学生身高的平均值大
C. 甲组学生身高的中位数比乙组学生身高的中位数大
D. 甲组学生身高在以上的人数较多
4. 二项式的展开式中，系数最大的项是( )
A. 第项 B. 第项
C. 第项 D. 第项和第项
二、填空题（本大题共12小题，共36.0分）
5. 乘积的展开式中共有______ 项
6. 已知，则 ______ ．
7. 某高中的三个年级共有学生人，其中高一人，高二人，高三人，该校现在要了解学生对校本课程的看法，准备从全校学生中抽取人进行访谈，若采取分层抽样，且按年级来分层，则高一年级应抽取的人数是______ ．
8. 若，则正整数 ______ ．
9. 已知正方形的中心为点，以、、、、中三个点为顶点的三角形共有______ 个
10. 将本不同的数学书和本语文书在书架上随机排成一行，则本数学书相邻的概率为 ．
11. 已知随机变量服从正态分布，且，则 ______ ．
12. 某科技兴趣小组有名男生、名女生，从中任取名同学参加创新大赛，若随机变量表示选出的女生人数，则 ______ ．
13. 从集合中随机取出个不同的数，设事件表示“选出的个数的中位数是”，事件表示“选出的个数的第百分位数是”，则 ______ ．
14. 设有两个罐子，罐中放有个白球，个黑球，罐中放有个白球，这些球的大小与质地相同现从这两个罐子中各摸个球进行交换，那么这样交换次后，黑球还在罐中的概率为______ ．
15. 已知，则 ______ ．
16. 若直线与曲线、曲线：都相切，则直线的方程为______ ．
三、解答题（本大题共5小题，共52.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. 本小题分
校为了了解学生对食堂的满意程度，随机调查了名就餐学生，根据这名学生对食堂满意度的评分，绘制出如图所示的频率分布直方图，其中样本数据分组为，，，．
求频率分布直方图中的值；
若校共有名学生，试估计全体学生中对食堂满意度不低于分的人数．
18. 本小题分
已知在的展开式中，第项为常数项．
求：的值；
展开式中的系数．
19. 本小题分
用，，，，，，这七个数字组成没有重复数字的四位数．
组成的四位数中，大于的有多少个？
能组成多少个被整除的四位数？这些数相加，所得的和是多少？
20. 本小题分
运动员甲定点罚篮的命中率为，假设每次投篮结果相互独立．
甲定点罚篮次，求他投中了两次的概率；
甲定点罚篮次，设是次罚篮投中次数与没有投中次数之差的绝对值，求随机变量的分布与期望；
甲定点罚篮次，试问甲投中多少次的可能性最大？
21. 本小题分
已知函数的定义域为，其中．
若是函数的一个驻点，求的值；
函数在区间上严格增，求的取值范围；
当时，若函数，在处取得最大值，求的取值范围．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：随机变量为常数，则方差为，但方差为，变量不一定为常数，
所以“是常数随机变量”是“”的充分不必要条件．
故选：．
随机变量为常数，则方差为，但方差为，变量不一定为常数．
本题主要考查方差的概念，属中档题．
2.【答案】
【解析】解：根据题意，依次分析选项：
对于，，A错误；
对于，，B正确；
对于，，C错误；
对于，，D错误．
故选：．
根据题意，由导数的计算公式依次分析选项，综合可得答案．
本题考查导数的计算，注意导数的计算公式，属于基础题．
3.【答案】
【解析】解：选项A，甲组学生身高的极差为，乙组学生身高的极差为，
则两组学生身高的极差不相等，A正确；
选项B，甲组学生身高的平均值为，
乙组学生身高的平均值为，
则甲组学生身高的平均值比乙组学生身高的平均值小，B错误；
选项C，甲组学生身高的中位数为，
乙组学生身高的中位数为，
甲组学生身高的中位数比乙组学生身高的中位数小，C错误；
选项D，甲组学生身高在以上的有人，
乙组学生身高在以上的有人，
甲组学生身高在以上的人数较少，D错误．
故选：．
分别根据极差，平均数和中位数的定义计算，结合选项得出答案．
本题考查茎叶图的应用，考查平均数，中位数以及极差的计算，属于基础题．
4.【答案】
【解析】解：由二项展开式的通项公式，
可知系数为，与二项式系数只有符号之差，
故先找中间项为第项和第项，
又由第项系数为，第项系数为，
故系数最大项为第项．
故选A
利用二项展开式的通项公式求出通项，据通项判断出项的系数与二项式系数只有符号之差，
据二项式系数的性质：中间项的二项式系数最大求出系数最大的项．
本题考查利用二项展开式的通项公式解决二项展开式的特定项问题、二项式系数的性质：中间项的二项式系数最大．
5.【答案】
【解析】解：根据多项式的乘法法则可知，
展开后的每一项都是由这三个式子，每一个中任取一项相乘后得到的，
而在中有种取法，在中有种取法，在中有种取法，
由分步乘法原理可得，总共有种情况．
故答案为：．
展开后的每一项都是由三个式子中任取一项相乘得到的，因而根据分步乘法原理即可得出结论．
本题考查二项式定理的应用，属于基础题．
6.【答案】
【解析】解：根据导数的定义可知，该极限即为函数在点的导数，
又，
所以原式．
故答案为：．
根据导数的定义可知，该极限即为函数在点的导数．
本题主要考查了导数的定义，属于中档题．
7.【答案】
【解析】解：由题意，从全校人中抽取人访谈，按照年级分层，则高一年级应该抽人．
故答案为：．
根据分层抽样原则直接计算即可．
本题主要考查了分层抽样的定义，属于基础题．
8.【答案】
【解析】解：根据题意，若，即，
变形可得：，解可得．
故答案为：．
根据题意，由排列组合数公式对变形，解可得的值，即可得答案．
本题考查排列组合数公式，注意排列组合数公式的形式，属于基础题．
9.【答案】
【解析】解：根据题意，如图：
在、、、、中，任取个点，有种取法，
其中不能构成三角形的有和两种取法，
则以、、、、中三个点为顶点的三角形共有个．
故答案为：．
根据题意，用间接法分析：先计算“从个点中任取个取法”，排除其中“不能构成三角形”的取法，分析可得答案．
本题考查排列组合的应用，涉及
10.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了古典概型的概率公式的应用，关键是不重不漏的列出满足条件的基本事件．
首先求出所有的基本事件的种数，再从中找到本数学书相邻的种数，最后根据古典概率公式计算即可．
【解答】
解：本不同的数学书和本语文书在书架上随机排成一行，所有的基本事件有共有种结果，
其中本数学书相邻的有数学，数学，语文，数学，数学，语文，
语文，数学，数学，语文，数学，数学共种，
故本数学书相邻的概率．
故答案为：．

11.【答案】
【解析】解：随机变量服从正态分布，且，
．
故答案为：．
根据已知条件，结合正态分布的对称性，即可求解．
本题主要考查正态分布的对称性，属于基础题．
12.【答案】
【解析】解：由题意，从名男生、名女生中任选名同学参加活动，选出女生的人数可能为，，，，
，，，，
．
故答案为：．
由题意选出女生的人数可能为，，，，计算出各自对应的概率，代入期望公式即可求解．
本题考查了离散型随机变量的期望计算，属于中档题．
13.【答案】
【解析】解：从集合中随机取出个不同的数，
设事件表示“选出的个数的中位数是”，则个数比小，个数比大，共种选择，
事件表示“选出的个数的第百分位数是”，即第二个数是，则个数比小，个数比大，
事件表示“选出的个数的中位数是且选出的个数的第百分位数是“，
即第二个数是，第三个数是，个数比小，个数比大，共种选择，
则．
故答案为：．
计算对应事件的情况数，再根据条件概率公式，计算即可．
本题考查概率的应用，属于基础题．
14.【答案】
【解析】解：分两种情况，若第一次交换时从罐中拿到黑球，则第二次交换时从罐中也拿到黑球，其概率为，
若第一次交换时从罐中拿到的是白球，则第二次交换时，从罐中拿到的仍然是白球，其概率为，
故这样交换次后，黑球还在罐中的概率为．
故答案为：．
分两种情况，利用独立事件乘法公式计算，再相加即可．
本题主要考查了独立事件的概率乘法公式，属于基础题．
15.【答案】
【解析】解：等式两边同时取导数，
则，
令得，．
故答案为：．
等式两边求导数，令进行求解即可．
本题主要考查二项式定理的应用，利用导数法和赋值法进行求解是解决本题的关键，是基础题．
16.【答案】或
【解析】解：设直线与曲线相切于点，
由，得，则直线的方程为，即，
设直线与曲线的切点为，
由，得，则直线的方程为，即，
所以，
解得或，
所直线的方程为或．
故答案为：或．
设直线与曲线相切于点，直线与曲线的切点为，由此写出直线的方程，利用对应系数相等列方程组求出和的值，即可求出直线的方程．
本题考查了导数的几何意义与应用问题，也考查了方程思想以及运算求解能力，是中档题．
17.【答案】解：由题意可知：，
解得；
样本中对食堂满意度不低于分的频率为，
用样本估计总体，所以估计全体学生中对食堂满意度不低于分的人数为人．
【解析】根据频率分布直方图中各个小矩形的面积之和为，可求出的值；
先计算出样本中对食堂满意度不低于分的频率，用样本估计总体，即可求解．
本题主要考查了频率分布直方图的应用，属于基础题．
18.【答案】解：由的展开式通项为，
由在的展开式中，第项为常数项．
即，时，，
故．
由得：
令，
解得：，
即展开式中的系数为，
【解析】由二项式定理及展开式通项公式得：在的展开式中，第项为常数项．即，时，，即，
由展开式通项公式得：的系数为，得解．
本题考查了二项式定理及展开式通项公式，属中档题．
19.【答案】解：根据题意，要求四位数大于，
其千位数字可以为、或，有种情况，
百、十、个位任意排列，有种情况，
则大于的四位数有个；
根据题意，能被整除的四位数其后面两位数字为或，
若后面两位数字为，有种情况，
若后面两位数字为，有种情况，
则有个被整除的四位数；
其和为．
【解析】根据题意分千位数字可以为、或，有种情况，从而可解．
据题意，能被整除的四位数其后面两位数字为或，从而可解．
本题考查排列组合的应用，涉及分步、分类计数原理的应用，属于基础题．
20.【答案】解：他投中了两次的概率；
由题意，的取值为，．
，，
随机变量的分布列为：


；
甲定点罚篮次，甲投中的次数最大可能为．
【解析】由独立重复事件的概率公式可求他投中了两次的概率；
随机变量的可能取值为，，求出相应的概率，可得分布列，根据数学期望公式解之即可；
由概率的意义可求解．
本题考查离散型随机变量的分布列的求法，考查数学期望的计算，属中档题．
21.【答案】解：，．
是的一个极值点，，解得．
当时，在区间上是增函数，符合题意；
当时，，
令得：，
当时，对任意，，符合题意；
当时，当时，，，符合题意，
综上所述，，即的取值范围是．
，，，
，
令，即，显然有，
设方程的两个根为，，
由式得．
当时，为极小值，
所以在上的最大值只能为或，
当时，由于在上是单调递减函数所以最大值为，
所以在上的最大值只能为或，
又已知在处取得最大值，
所以，即，解得，
又因为，所以．
【解析】由是函数的一个极值点，知，代入导函数即可；
要求函数在区间上是增函数，则要求导函数在区间大于零即可，另外要注意对的讨论；
要求函数，，在处取得最大值，即求函数的极值并将之与函数端点值，进行比较大小，得出在函数上的最大值只能为或，再根据条件在处取得最大值，得到即可．
本题考查了利用导数研究函数的单调性，极值与最值，考查分类讨论的思想与运算求解能力，属于中档题．
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