2022-2023学年浙江省金华市十校高二（下）期末数学试卷（含解析）

2022-2023学年浙江省金华市十校高二（下）期末数学试卷
一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 设集合，则( )
A. B.
C. D.
2. “”是“复数为纯虚数”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
3. 设，则，，的大小关系为( )
A. B. C. D.
4. 一个正六棱锥，其侧面和底面的夹角大小为，则该正六棱锥的高和底面边长之比为( )
A. ： B. ： C. ： D. ：
5. 函数的图象向左平移个单位得到函数的图象，若函数是偶函数，则( )
A. B. C. D.
6. 兰溪杨梅从月日起开始陆续上市，据调查统计，得到杨梅销售价格单位：元千克与上市时间单位：天的数据如下表所示：
时间单位：天
销售价格单位：元千克
根据上表数据，从下列函数模型中选取一个描述杨梅销售价格与上市时间的变化关系：，，，利用你选取的函数模型，在以下四个日期中，杨梅销售价格最低的日期为( )
A. 月日 B. 月日 C. 月日 D. 月日
7. 已知定义在上的三个函数，，，其中为偶函数，，是奇函数，且在上单调递增，在上单调递增，在上单调递减，则( )
A. 是奇函数，且在上单调递增
B. 是偶函数，且在上单调递减
C. 是奇函数，且在上单调递减
D. 是偶函数，且在上单调递增
8. 正方体的棱长为，，，分别为棱，，的中点，则该正方体的外接球被平面所截的圆的面积是( )
A. B. C. D.
二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）
9. 已知平面向量的夹角为，且满足，则( )
A. B.
C. D. 在上的投影向量的模为
10. 已知函数，则( )
A. 是的极值点 B. 是的最小值
C. 最多有个零点 D. 最少有个零点
11. 三棱锥中，平面，且，，，
，分别为垂足，为中点，则( )
A. 平面平面
B. 平面平面
C. 平面平面
D. 平面平面
12. 金华某地新开了一条夜市街，每晚平均客流量为万人，每晚最多能接纳的客流量为万人，主办公司决定通过微信公众号和其他进行广告宣传提高营销效果通过调研，公司发现另一处同等规模的夜市投入的广告费与每晚增加的客流量存在如下关系：
万元
千人
参考数据：
附：一元线性回归模型参数的最小二乘估计公式：
现用曲线：拟合变量与的相关关系，并利用一元线性回归模型求参数，的最小二乘估计精确到，依所求回归方程为预测依据，则( )
A.
B. 曲线经过点
C. 广告费每增加万元，每晚客流量平均增加人
D. 若广告费超过万元，则每晚客流量会超过夜市接纳能力
三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13. 的展开式中常数项是______ 用数字作答
14. 函数在处的切线方程是 ．
15. 现有连在一排的个房间，若把甲乙丙三人每人一间随机安排住宿，则恰好只有甲乙两人住的房间相邻的概率是______ ．
16. 已知函数若对任意的恒成立，则实数的取值范围是______ ．
四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. 本小题分
已知．
求的大小；
设函数，求在上的最大值．
18. 本小题分
海水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖法的产量对比，收获时各随机抽取了个网箱，测量各水箱水产品的产量单位：，其频率分布直方图如图所示．
求新养殖法的频率分布直方图中小矩形高度的值：
根据频率分布直方图，填写下面列联表，并根据小概率的独立性检验，分析箱产量与养殖方法是否有关．
养殖法 箱产量 合计
箱产量 箱产量
旧养殖法
新养殖法
合计
19. 本小题分
如图，四边形是由与正拼接而成，设．
当时，设，求，的值；
当时，求线段的长．
20. 本小题分
如图四棱锥，点，，，在圆上，，，顶点在底面的射影为圆心，点在线段上．
若，，当平面时，求的值；
若与不平行，四棱锥的体积为，求直线与平面所成角的正弦值．
21. 本小题分
袋子中有大小相同的个白球和个红球．
若从袋中随机有放回地摸取个球，记摸到白球的个数为，求随机变量的数学期望；
若把这个球分别放到三个盒子中，其中号盒子有个红球个白球，号盒子有个红球个白球，号盒子有个红球个白球，现抛掷两颗骰子，若点数之和除以的余数为时，从号盒子中摸取个球求摸出的个球中至少有个白球的概率．
22. 本小题分
已知函数．
若，求函数的单调区间；
若函数有两个不相等的零点，，极值点为，证明：
；
；
注：为自然对数的底数，．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：集合，
即，
．
故选：．
解不等式求出集合，结合集合的并集运算定义，可得答案．
本题考查的知识点是不等式的解法，集合的并集运算，难度不大，属于基础题．
2.【答案】
【解析】解：
依题意，
复数为纯虚数，
且，
“”是“复数为纯虚数”的必要不充分条件，
故选B．
由于复数为纯虚数，故且，即“”是“复数为纯虚数”的必要不充分条件．
本题主要考查复数的基本概念，以及必要条件、充分条件的判断，是一道比较基础的题目．
3.【答案】
【解析】解：，，
，且，
．
故选：．
根据指数函数的单调性可得出，根据对数函数的单调性可得出，然后即可得出，，的大小关系．
本题考查了指数函数和对数函数的单调性，考查了计算能力，属于基础题．
4.【答案】
【解析】解：根据题意，点为正六棱锥的顶点，点是底面中心，是底面的一条边，是的中点，连接、、，
如图：
设其底面边长为，则，易得为等边三角形，
则有，
又由其侧面和底面的夹角大小为，即，则有，变形可得，
则该正六棱锥的高和底面边长之比为：．
故选：．
根据题意，作出六棱锥的简图，设其底面边长为，由二面角的定义求出的值，计算可得答案．
本题考查棱锥的几何结构，涉及平面与平面所成的角，属于基础题．
5.【答案】
【解析】解：函数的图像向左平移个单位，得的图像，
又函数是偶函数，则有，解得，，
所以．
故选：．
根据图像平移得函数的解析式，由函数是偶函数，解出，可得．
本题主要考查了三角函数的图象和性质，属于基础题．
6.【答案】
【解析】解：由提供的数据知，描述杨梅销售价格与上市时间的变化关系函数不是常数函数，也不是单调函数，
因为函数，，，在时，均为单调函数，这与表格提供的数据不吻合，
所以选取二次函数进行描述，
将表格所提供的三组数据，，分别代入可得，
，
解得，，，
所以，
二次函数的图象对称轴为，且开口向上，
所以在对称轴处即天时函数取得最小值，由，且，
所以此时对应的日期为月日．
故选：．
由提供的数据知函数模型不是单调函数，可选取二次函数进行描述，将表格所提供的三组数据代入，即得求得函数解析式，由此求出结论．
本题考查了函数模型的选择与应用问题，也考查了利用建立数学模型解决实际应用问题，是中档题．
7.【答案】
【解析】解：为偶函数，在上单调递增，在上单调递减，
，是奇函数，在上单调递增，在上单调递减，
是奇函数，则不正确，
是偶函数，则不正确，
设，
在上单调递增，在上单调递减，
，，
即，
则，
即，则在上为增函数，故D正确．
在上单调递减，
，
若，则，即，则在上为增函数，
若，则无法判断在上的单调性，故A错误．
故选：．
根据函数奇偶性的性质判断函数和的奇偶性，利用函数单调性和不等式的性质进行判断即可．
本题主要考查函数奇偶性和单调性的判断，利用奇偶性与单调性的关系以及不等式的性质进行证明是解决本题的关键，是中档题．
8.【答案】
【解析】解：正方体的外接球直径为体对角线长，即，
取中点，连接，则中点为外接球的球心，
于是到平面的距离是到平面的距离的一半，
过作，垂足为，过作，垂足为，连接，，，，
根据题干数据，，同理，
由于且，则四边形为平行四边形，故，
显然，根据中位线性质，则，于是，
又，，平面，，则平面，
又平面，故FG，又，，，平面，
故平面，又，则，，
由，则，于是，
即到平面的距离为，于是到平面的距离是，
设正方体的外接球被平面所截的圆的半径为，
则，于是截面圆面积为．
故选：．
正方体的外接球直径即为体对角线的长，然后只需求出球心到平面的距离，即可由勾股定理确定半径．
本题考查空间几何体的外接球问题，考查截面圆的面积的求法，属中档题．
9.【答案】
【解析】解：选项A，，即A正确；
选项B，，所以，即B正确；
选项C，，即C正确；
选项D，在上的投影向量的模为，即D错误．
故选：．
选项A，由平面向量数量积的定义，得解；
选项B，计算的值，即可判断；
选项C，由，展开运算，得解；
选项D，在上的投影向量的模为，得解．
本题考查平面向量数量积的应用，熟练掌握平面向量的运算法则是解题的关键，考查运算求解能力，属于基础题．
10.【答案】
【解析】解：已知，函数定义域为，
可得，
因为，
当时，，单调递减；
当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
又，
所以是的极值点，故选项A正确；
不妨取，
因为，
所以，
此时，
因为，
所以，
即，
所以当时，，
不妨取，
因为，
所以，
此时，
因为，
所以，
则，
所以当时，，
因为函数在上为连续函数，
所以函数在至少存在一个零点，故选项D正确；
当时，，，，
此时，
当时，，单调递减，
所以存在唯一，使得，
又，
当时，，单调递增，
所以存在唯一，使得，
则当时，在上存在两个零点，
所以函数在上至少存在三个零点，故选项C错误；
当时，，
因为当时，，
所以不是函数的最小值，故选项B错误．
故选：．
由题意，对函数进行求导，利用导数得到函数的单调性和极值，进而判断选项A；结合零点存在性定理以及函数的性质即可判断选项D；分析函数在上的零点个数，判断选项C；根据以上信息得到有可能大于零，判断选项B．
本题考查利用导数研究函数的单调性和极值，考查了逻辑推理、转化思想、分类讨论和运算能力．
11.【答案】
【解析】解：对于，因为平面，平面，所以，
又，，，平面，则平面，
平面，则，又，，，平面，
则平面，又平面，则，
又，，，平面，则平面，
因为平面，所以平面平面，故A正确；
对于，因为平面，平面，所以平面平面，故B正确；
对于，若平面平面，由平面平面，平面，，
则平面，又平面，则，与与相交矛盾，故C错误；
对于，记，若平面平面，且平面平面，
过作于，连接，则平面，而平面，则，
平面，平面，则，
，为的中点，则，
又，，平面，则平面，
而平面，则，
又，，，平面，则平面，即平面，
又平面，则平面与平面重合，矛盾，故D错误．
故选：．
证明平面，平面，平面，结合面面垂直的判定定理可判断；由平面，结合面面垂直的判定定理可判断；若平面平面，则可得与相交矛盾，从而可判断；可证明平面，平面，则平面与平面重合，矛盾，从而可判断．
本题考查线面垂直，面面垂直的判定定理和性质，属于中档题．
12.【答案】
【解析】解：由题意，，
，，
，故A错误；
，
令，得，故B正确；
由上式可知，每增加，应该平均增加，故C错误；
若，，
而每晚最多能接纳的客流量为万人，故D正确．
故选：．
根据题目中的数据，得出，的最小二乘估计，求出回归方程，逐个选项判断即可．
本题考查了求回归方程，考查最小二乘法，是中档题．
13.【答案】
【解析】解：由二项展开式的通项公式，
当，即时，展开式是常数项，
常数项为：．
故答案为：．
利用二项展开式的通项公式求得第项，令的指数为，然后求出常数项．
本题考查二项展开式的通项公式是解决二项展开式的特定项问题的工具．考查计算能力．
14.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，关键是熟记基本初等函数的导函数，是基础题．
求出原函数的导函数，得到，再求得，利用直线方程的斜截式得答案．
【解答】
解：由，得，
，又，
函数在处的切线方程是．
故答案为：．

15.【答案】
【解析】解：甲乙丙三人每人一间随机安排共有种安排方法，
其中恰好只有甲乙两人住的房间相邻的方法有种，
恰好只有甲乙两人住的房间相邻的概率为：
．
故答案为：．
利用捆绑法及排列数公式，结合古典概率公式能求出恰好只有甲乙两人住的房间相邻的概率．
本题考查概率的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
16.【答案】或
【解析】解：当时，，，故在上单调递增，
当时，，在上单调递减，
令，则当时，；当时，，
则题意转化为，时，恒成立．
令，，则，
当时，，单调递减；
当时，，单调递增，故，则．
当时，，恒成立．
当时，，恒成立．
当且时，恒成立．
只需考虑且，时，，即恒成立，
当时，，单调递增，
则由恒成立，得，解得，
当时，，单调递增，
则由恒成立，得，矛盾，
综上，实数的取值范围是或．
令，则题意转化为，时，恒成立，根据与的取值范围分类讨论，列出不等式求解．
本题考查了利用导数研究函数的单调性，不等式恒成立问题，考查了转化思想和分类讨论思想，属中档题．
17.【答案】解：因为，即，
则，
因为，所以，
所以，
即，
又，
所以，
则；
，
，
所以，
当时，的最大值为．
【解析】由三角恒等变换可得，由，可得，即可得答案；
化简得，结合正弦函数的性质求解即可．
本题考查了三角恒等变换及正弦函数的性质，属于基础题．
18.【答案】解：由频率分布直方图知：，
解得；
列联表如下：
养殖法 箱产量 合计
箱产量 箱产量
旧养殖法
新养殖法
合计
零假设为：箱产量与养殖方法独立，即箱产量与养殖方法无关，
，
所以推断不成立，即箱产量与养殖方法有关，此推断犯错误的概率不大于．
【解析】利用频率分布直方图种各个小矩形的面积之和为，可求出的值；
结合中列联表计算可得，对比临界值即可得到结论．
本题主要考查了频率分布直方图的应用，考查了独立性检验的应用，属于中档题．
19.【答案】解：在中，由，
可知．
由于，且，
为正三角形，，
，，
，
，，．
在中，由余弦定理有：，
所以，
，
在中，由余弦定理：
．
．
【解析】由条件求出，再由平面向量的线性运算和平面向量基本定理可得；
在中，由余弦定理求出和，从而求出，在中，由余弦定理即可求得．
本题考查平面向量的线性运算和解三角形等知识，属于中档题．
20.【答案】解：过作交线段于，连接，
因为，平面，
所以平面，
又因为平面，，
所以平面平面，
因为平面平面，
平面平面，
所以，
又因为，
所以四边形是平行四边形，
所以，而，
所以，得，
所以．
因为，
又因为四棱锥的体积为，
所以，
所以，
，
所以，
所以，
由余弦定理可得，则，
根据正弦定理，设该四边形的外接圆半径为，则，
作直径，由圆内接四边形对角互补，则，
所以，
，
所以，重合，
所以为直径，且，
以为原点，，为，轴，过垂直于的方向为轴，
如图建立空间直角坐标系：
则，，，，
所以，，，
设平面的法向量为，
则，即，
令，则，，
所以，
设直线与平面所成角为，则，
所以直线与平面所成角的正弦值为．
【解析】过作交线段于，连接，由线面平行的判定可得平面，又平面，由面面平行的判定定理可得平面平面，再由面面平行的性质定理可得，进而可得四边形是平行四边形，进而可得答案．
由，可得，进而可得，由余弦定理可得，根据正弦定理，设该四边形的外接圆半径为，则，作直径，由圆内接四边形对角互补，则，推出，重合，以为原点，，为，轴，过垂直于的方向为轴，建立空间直角坐标系，解得平面的法向量为，则直线与平面所成角为，则，即可得出答案．
本题考查直线与平面的位置关系，线面所成角，解题关键是利用空间向量法进行计算，属于中档题．
21.【答案】解：方法：取值为，，，，每次取到白球的概率．
因为，故
方法：
所以分布列为
故
抛掷两颗骰子，记点数之和除以的余数等于为事件，
则点数之和等于，，，的分别有：
等于的，种，
等于的，，，，种，
等于的，，，种，
等于的种情况，
故；
点数之和等于，，的分别有：
等于的，，种，
等于的，，，，，种，
等于的，，种，
故；
点数之和等于，，，的分别有：
等于的种，
等于的，，，种，
等于的，，，，种，
等于的，种，
故；
所以；
法一：记摸出的个球中至少有个白球记为事件，则
由全概率公式可得：
；
法二：设事件为摸出的个球中没有白球，
则，
设事件为模出的个球中只有个白球，
则，
因此，摸出的个球中至少有个白球的概率为：
．
【解析】根据服从二项分布，直接用公式求数学期望，或者算出取不同值时的概率，再根据分布列求期望．
先用列举法得到抛掷两颗骰子，点数之和除以的余数为，，的概率均为，再分别计算三种情况下摸出的个球中至少有两个白球的概率，最后用全概率公式求解即可．
本题考查离散型随机变量的期望，全概率公式的应用，属中档题．
22.【答案】解：由，可得，
令，得，令，得．
函数的递增区间为，递减区间为．
证明：，
设，，，，，
存在唯一且，使得．
当时，；当时，，
在上单调递减，在上单调递增，是极小值点．
若，则，不满足要求，
要使函数有两个不相等的零点，，则，．
．
函数有两个不相等的零点，，
，，
，得，整理，得
下证：，不妨设，令，则．
则可化为，．
令，则，在上单调递增，
又，，，．
式可转化为，
，．
【解析】对求导，得，再由，求解；
，设，由零点存在定理得到存在唯一且，使得，然后根据函数有两个不相等的零点，，由，求解；
由，，得，整理为，不妨设，令，则，转化为，即，利用导数法证明．
本题考查了利用导数研究函数的单调性与极值，函数的零点和不等式的证明，考查了转化思想和函数思想，属难题．
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