2022-2023学年第二学期高二教学质量检测期末试卷
数学试题
本试题共4页，22题，满分150分。考试用时120分钟。
一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. 已知等差数列的公差为，前项和为；则“”是“”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
2. 已知函数，则( )
A. B. C. D.
3. 若直线与垂直，则的值为( )
A. B. C. D.
4. 中国古典乐器一般按“八音”分类，这是我国最早按乐器的制造材料来对乐器分类的方法，最早见于周礼春宫大师，分为“金、石、土、革、丝、木、匏、竹”八类，其中“金、石、木、革”为打击乐器，“土、匏、竹”为吹奏乐器，“丝”为弹拨乐器，现从“金、石、木、土、竹、丝”中任取“两音”，则这“两音”同为打击乐器的概率为( )
A. B. C. D.
5. 函数的图象如下图所示，则的解析式可能为( )
A. B. C. D.
6. 在平面直角坐标系中，圆的方程为，若直线上存在一点，使过点所作的圆的两条切线相互垂直，则实数的值不可能是( )
A. B. C. D.
7. 设表示事件发生的概率，已知，，，则( )
A. B. C. D.
8. 已知可导函数的导函数为，若对任意的，都有，且为奇函数，则不等式的解集为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本大题共4小题，每小题5分，共20分 。在每小题给出的四个选项中，有多个选项正确，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）.
9. 下列命题正确的是( )
A. 当时，当且仅当事件与相互独立时，有
B. 随机变量服从两点分布，则
C. 在残差图中，残差比较均匀的分布在以取值为的横轴为对称轴的水平带状区域内且水平带状区域宽度越窄，其模型的拟合效果越好
D. 已知由一组样本数据得到的经验回归力程为，，则这组数据中一定有
10. 已知数列满足，，则( )
A. 当为奇数时，
B. 当为偶数时，
C.
D. 数列的前项和为
11. 如图，四棱锥的底面是正方形，平面，，是线段的中点，是线段上的动点，则以下结论正确的是( )
A. 平面平面
B. 直线与平面所成角正切值的最大值为
C. 二面角余弦值的最小值为
D. 线段上不存在点，使得平面
12. 已知函数的导函数是，则下列结论正确的有( )
A. 必有一个极大值
B. 的单调递减区间为和
C. 方程有三个实数解
D. 的单调递减区间为
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分
13. 某数学兴趣小组的名学生负责讲述“宋元数学四大家”秦九韶、李冶、杨辉和朱世杰的故事，每名学生只讲一个数学家的故事，每个数学家的故事都有学生讲述，则不同的分配方案有 种
14. 展开式中含有项的系数为______．
15. 某工厂为研究某种产品的产量吨与所需某种原材料吨的相关性，在生产过程中收集了对应数据如表所示：根据表中数据，得出关于的回归直线方程为据此计算出在样本处的残差为，则表中的值为______ 注：残差是实际观察值与估计值之间的差
16. 设抛物线：的焦点为，点，过点的直线交于，两点，直线垂直轴，，则 ______ ．
四、解答题：本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
17. 本小题分设为等差数列的前项和，且，．
求数列的通项公式；
若，令，求数列的前项和．
18. 本小题分如图，边长为的正方形所在平面与正三角形所在平面互相垂直，为的中点．
Ⅰ求证：；
Ⅱ在线段上是否存在一点，使得平面平面，若存在，试指出点的位置，并证明你的结论，若不存在，请说明理由；
Ⅲ求二面角的正切值．
19. 本小题分世界卫生组织建议成人每周进行至小时的中等强度运动已知社区有的居民每周运动总时间超过小时，社区有的居民每周运动总时间超过小时，社区有的居民每周运动总时间超过小时，且，，三个社区的居民人数之比为．
从这三个社区中随机各选取名居民，求至少有名居民每周运动总时间超过小时的概率
从这三个社区中随机抽取名居民，求该居民每周运动总时间超过小时的概率
假设这三个社区每名居民每周运动总时间为随机变量单位：小时，且∽，现从这三个社区中随机选取名居民，求该居民每周运动总时间为至小时的概率．
20. 本小题分
某企业为了了解年广告费单位：万元对年销售额单位：万元的影响，统计了近年的年广告费和年销售额的数据，得到如表的表格：
年广告费
年销售额
由表中数据，可判定变量，的线性相关关系较强．
建立关于的线性回归方程；
已知该企业的年利润与，的关系为，根据的结果，年广告费约为何值时小数点后保留一位，年利润的预报值最大？
附：对于一组数据，，，，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为，；参考数据：，．
21. 本小题分已知椭圆的离心率是，其左、右焦点分别为、，过点且与直线垂直的直线交轴负半轴于．
设，求的值；
求证：；
设过椭圆右焦点且不与坐标轴垂直的直线与椭圆交于、两点，点是点关于轴的对称点，在轴上是否存在一个定点，使得、、三点共线？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由．
22. 本小题分已知函数．
求在点处的切线与坐标轴所围成的三角形的面积；
若函数有两个不同的极值点，．
求的取值范围；
证明：．2022-2023学年第二学期高二教学质量检测期末试卷
数学试题
参考答案及评分细则
选择题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案 A B D A D B C D AC BCD ABC AD
填空题
13. 14. 15. 16.
解答题
17.设等差数列的首项为，公差为，
由，，得，……………………………………….（2分）
解得，．（1分）
；………………………………………（1分）
，则．………………………………………（1分）
，………………………………………（2分）
则，………………………………………（2分）
两式作差可得：
．
． ………………………………………（1分）
18.Ⅰ证明：，为的中点．
，平面平面，平面平面，………………………………………（1分）
平面，平面，………………………………………（1分）
．（1分）
Ⅱ存在点，当为中点时，平面平面：
理由如下：
四边形是正方形，为的中点，．………………………………………（2分）
由知，平面，平面，，
又，平面，………………………………………（1分）
平面，
平面平面．（1分）
Ⅲ以坐标原点，为轴，过平行于的直线为轴，以为轴，建立空间直角坐标系，
则，，，
，，………………………………………（2分）
设平面的法向量，则，
，………………………………………（1分）
平面的法向量，
二面角的余弦值，，
二面角的正切值为． ………………………………………（1分）
19.设从，，三个社区中各选取的名居民的每周运动总时间超过小时分别为事件，，，
则，，．………………………………………（2分）
设选取的名居民中至少有名居民每周运动总时间超过小时为事件，则事件的对立事件为选取的名居民每周运动总时间都没有超过小时，
所以，………………………………………（2分）
故选取的名居民中至少有名居民每周运动总时间超过小时的概率为．
设，，三个社区的居民人数分别为，，，
则社区每周运动总时间超过小时的人数为，
社区每周运动总时间超过小时的人数为，
社区每周运动总时间超过小时的人数为，………………………………………（2分）
所以，
故从这个社区中随机抽取名居民且每周运动总时间超过小时的概率．…………………（1分）
因为∽，所以．………………………………………（1分）
因为，所以，………………………………………（2分）
所以．………………………………………（2分）
20.由表格数据，得，，，………………………………………（2分）
由公式，得，………………………………………（2分）
所以，………………………………………（1分）
故关于的线性回归方程为；………………………………………（1分）
由可得，，………………………………………（1分）
设，则，………………………………………（1分）
所以，………………………………………（2分）
故当时，取得最大值，此时，………………………………………（2分）
即年广告费约为万元时，年利润的预报值最大．
21.已知椭圆的离心率是，
所以，………………………………………（1分）
又且，
联立，解得，；………………………………………（1分）
证明：因为，
所以，，………………………………………（1分）
已知，，，
所以，………………………………………（1分）
则直线的方程为，………………………………………（1分）
令，
解得，
所以，………………………………………（1分）
此时，，
则；………………………………………（1分）
当时，由得，，
所以椭圆方程为，………………………………………（1分）
不妨设直线方程为，，，
可得，
联立，消去并整理得
，………………………………………（1分）
又，
由韦达定理得，，
此时直线的方程为，………………………………………（1分）
令，
解得
，………………………………………（1分）
故在轴上存在一个定点，使得、、三点共线．……………………………………… （1分）
22.，所以，………………………………………（1分）
又，
所以曲线在点处的切线方程为，………………………………………（1分）
即，令，则，令，则，
则直线与坐标轴围成的面积．………………………………………（1分）
由于函数有两个不同的极值点，，
则方程，即有两个不同的解，．
令，则函数的图像与直线有两个不同的交点．
而，故当时，，当时，，
所以函数在上单调递减，在上单调递增，故．………………………………………（1分）
又当时，；当时，．
故当时，函数单调递减，且，当时，函数单调递增，且，
作出函数的大致图像如图所示，故实数的取值范围范围为．……………………………（1分）
证明：不妨设，则，则当或时，，
当时，，所以在区间上单调递增，
在区间上单调递减，在区间上单调递增．………………………………………（1分）
由于，则，故F， ………………………………………（2分）
要证，只需证．
设，其中，
由，
故，令，则，………………………………………（1分）
令，则，
故在区间上单调递增．则，在区间上单调递增，……………（1分）
故，即，故在区间上单调递增，则，即． （1分）
高二数学试题 第6页，共9页2022-2023学年第二学期高二教学质量检测期末试卷
数学试题
参考答案及评分细则
选择题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案 A B D A D B C D AC BCD ABC AD
填空题
13. 14. 15. 16.
解答题
17.设等差数列的首项为，公差为，
由，，得，……………………………………….（2分）
解得，．（1分）
；………………………………………（1分）
，则．………………………………………（1分）
，………………………………………（2分）
则，………………………………………（2分）
两式作差可得：
．
． ………………………………………（1分）
18.Ⅰ证明：，为的中点．
，平面平面，平面平面，………………………………………（1分）
平面，平面，………………………………………（1分）
．（1分）
Ⅱ存在点，当为中点时，平面平面：
理由如下：
四边形是正方形，为的中点，．………………………………………（2分）
由知，平面，平面，，
又，平面，………………………………………（1分）
平面，
平面平面．（1分）
Ⅲ以坐标原点，为轴，过平行于的直线为轴，以为轴，建立空间直角坐标系，
则，，，
，，………………………………………（2分）
设平面的法向量，则，
，………………………………………（1分）
平面的法向量，
二面角的余弦值，，
二面角的正切值为． ………………………………………（1分）
19.设从，，三个社区中各选取的名居民的每周运动总时间超过小时分别为事件，，，
则，，．………………………………………（2分）
设选取的名居民中至少有名居民每周运动总时间超过小时为事件，则事件的对立事件为选取的名居民每周运动总时间都没有超过小时，
所以，………………………………………（2分）
故选取的名居民中至少有名居民每周运动总时间超过小时的概率为．
设，，三个社区的居民人数分别为，，，
则社区每周运动总时间超过小时的人数为，
社区每周运动总时间超过小时的人数为，
社区每周运动总时间超过小时的人数为，………………………………………（2分）
所以，
故从这个社区中随机抽取名居民且每周运动总时间超过小时的概率．…………………（1分）
因为∽，所以．………………………………………（1分）
因为，所以，………………………………………（2分）
所以．………………………………………（2分）
20.由表格数据，得，，，………………………………………（2分）
由公式，得，………………………………………（2分）
所以，………………………………………（1分）
故关于的线性回归方程为；………………………………………（1分）
由可得，，………………………………………（1分）
设，则，………………………………………（1分）
所以，………………………………………（2分）
故当时，取得最大值，此时，………………………………………（2分）
即年广告费约为万元时，年利润的预报值最大．
21.已知椭圆的离心率是，
所以，………………………………………（1分）
又且，
联立，解得，；………………………………………（1分）
证明：因为，
所以，，………………………………………（1分）
已知，，，
所以，………………………………………（1分）
则直线的方程为，………………………………………（1分）
令，
解得，
所以，………………………………………（1分）
此时，，
则；………………………………………（1分）
当时，由得，，
所以椭圆方程为，………………………………………（1分）
不妨设直线方程为，，，
可得，
联立，消去并整理得
，………………………………………（1分）
又，
由韦达定理得，，
此时直线的方程为，………………………………………（1分）
令，
解得
，………………………………………（1分）
故在轴上存在一个定点，使得、、三点共线．……………………………………… （1分）
22.，所以，………………………………………（1分）
又，
所以曲线在点处的切线方程为，………………………………………（1分）
即，令，则，令，则，
则直线与坐标轴围成的面积．………………………………………（1分）
由于函数有两个不同的极值点，，
则方程，即有两个不同的解，．
令，则函数的图像与直线有两个不同的交点．
而，故当时，，当时，，
所以函数在上单调递减，在上单调递增，故．………………………………………（1分）
又当时，；当时，．
故当时，函数单调递减，且，当时，函数单调递增，且，
作出函数的大致图像如图所示，故实数的取值范围范围为．……………………………（1分）
证明：不妨设，则，则当或时，，
当时，，所以在区间上单调递增，
在区间上单调递减，在区间上单调递增．………………………………………（1分）
由于，则，故F， ………………………………………（2分）
要证，只需证．
设，其中，
由，
故，令，则，………………………………………（1分）
令，则，
故在区间上单调递增．则，在区间上单调递增，……………（1分）
故，即，故在区间上单调递增，则，即． （1分）
第2页，共5页
