3.3.1抛物线及其标准方程 课件（共30张PPT）

(共30张PPT)
3.3.1 抛物线及其标准方程
第三章 圆锥曲线的方程
3.2 双曲线
引 入
在椭圆和双曲线的学习中，我们了解了它们的第二定义.即如果动点到定点的距离与到定直线(不过点)的距离的比为，
当时，点的轨迹为椭圆；
当时，点的轨迹为双曲线.
问题1 那么，当时，点的轨迹是什么？
引 入
问题2 利用信息技术作图.如图，F是定点，是不经过点的定直线，是直线上任意一点，我们先连接，再作的垂直平分线，过作定直线的垂线，交直线于点.你能发现点满足的几何条件吗？拖动点，观察点的轨迹，它的轨迹是什么形状呢？你是否接触过类似的图形呢？
|MH|=|MF|
引 入
可以发现,在点M随着点H运动的过程中，始终有 MF = MH ,即点M与定点F的距离等于它到定直线l的距离.点M的轨迹形状与二次函数的图象相似.
1. 抛物线的定义
我们把平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线(parabola).点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线.
问题3 当直线l经过点F时,点的轨迹是什么？
过定点F且垂直于定直线l的一条直线.
F
l
探究新知
求轨迹方程的流程——建设限代化
问题4 类比求椭圆、双曲线标准方程的过程，如何建立适当的坐标系，得出抛物线的方程？
根据抛物线的几何特征,如图,我们取经过点F且垂直于直线l的直线为x轴，垂足为K,并使原点与线段KF的中点重合，建立平面直角坐标系Oxy.设|KF|=p(p>0),那么焦点F的坐标为 ，准线l的方程为 .
K
F
M


x
y
O
H
探究新知
K
F
M


x
y
O
H
设M(x,y)是抛物线上任意一点，点M到准线l的距离为d.由抛物线的定义，抛物线是点的集合P={M MF =d}.
将上式两边平方并化简,得y2=2px(p>0). ①
从上述过程可以看到,抛物线上任意一点的坐标(x,y)都是方程①的解,以方程①的解为坐标的点(x,y)与抛物线的焦点 的距离和它到准线 的距离相等,
即以方程①的解为坐标的点都在抛物线上,我们把方程①叫做抛物线的标准方程,
它表示焦点在x轴正半轴上,焦点是 ，准线是 的抛物线.
探究新知
y2 = 2px (p＞0)其中p为正常数,表示焦点在x轴正半轴上.
焦点坐标是:_________
准线方程为:_______
问题5 抛物线只有这一种形式吗 ？
p的几何意义是：___________________
焦点到准线的距离(焦准距).
开口方向：_____
向右
K
F
M


x
y
O
H
探究新知
K
F
M


x
y
O
H
K
F
M


x
y
O
H
K
F
M


x
y
O
H
K
F
M


x
y
O
H
四种不同的建立平面直角坐标系
探究新知
在建立椭圆、双曲线的标准方程时,选择不同的坐标系我们得到了不同形式的标准方程,抛物线的标准方程有哪些不同的形式 请探究之后填写下表.
图像 标准方程 焦点坐标 准线方程
探究新知
图像 标准方程
问题7如何根据抛物线的标准方程来判断抛物线的焦点位置及开口方向？
①焦点在一次项字母对应的坐标轴上.
②一次项系数的符号决定了抛物线的开口方向.
问题6抛物线的四种标准方程形式上有什么共同特点
左边都是平方项，
右边都是一次项.
探究新知
l
问题8 二次函数的图象是抛物线吗？如果是，请写出它的焦点坐标、准线方程.
∵∴.
焦点在轴正半轴上，焦点，准线方程为.
例题讲解
例1 思考辨析
(1)若动点P到定点F(1,1)的距离等于它到定直线：3x+y-4=0的距离相等，则动点P轨迹是抛物线. （ ）
(2)抛物线的焦点到准线的距离是p. （ ）
(3)平面内到一定点距离与一定直线距离相等的点的轨迹一定是抛物线. （ ）
×
√
×
课堂练习
1.已知动点到定点的距离和它到直线的距离相等，则点的轨迹方程为_________.
2.抛物线 的准线方程是( ).
A. B. C. D.
答案：.
答案：C.
课堂练习
3.判断抛物线的开口方向.
(1) y 2 = 4x；
(2) x2 +y=0；
(3) y2 +8x=0；
(4) x2-8y=0.
例题讲解
例2 (1)已知抛物线的标准方程是，求它的焦点坐标和准线方程；
(2)已知抛物线的焦点是，求它的标准方程.
l
解(1)：因为，抛物线的焦点在轴正半轴上，
所以它的焦点坐标是，准线方程是.
(2)因为抛物线的焦点在轴负半轴上，且，，
所以抛物线的标准方程是
课堂练习
4. 求下列抛物线的焦点坐标和准线方程.
(1) y 2 = 6x;
(2) x 2 = y;
(3) 2y2 +5x=0;
(4) x2 +8y=0.
焦点F (,0), 准线方程为x =-
焦点F (0, ), 准线方程为y =
焦点F ( ,0), 准线方程为x =
焦点F (0, -2 ), 准线方程为y =2
课堂练习
（1)已知抛物线的焦点坐标是F(0,-2)。
(2)已知抛物线的准线方程是2y+4=0。
(3)已知抛物线的准线方程是x= 。
(4)已知抛物线的焦点坐标是F(3,0)。
5.分别求适合下列条件的抛物线的标准方程.
探究新知
例题讲解
例3 一种卫星接收天线如左图所示，其曲面与轴截面的交线为抛物线.在轴截面内的卫星波束呈近似平行状态射入形为抛物线的接收天线，经反射聚集到焦点处，如图.已知接收天线的口径(直径)为，深度为.试建立适当的坐标系，求抛物线的标准方程和焦点坐标.
l
例题讲解
例3 一种卫星接收天线如左图所示，其曲面与轴截面的交线为抛物线.在轴截面内的卫星波束呈近似平行状态射入形为抛物线的接收天线，经反射聚集到焦点处，如图.已知接收天线的口径(直径)为，深度为.试建立适当的坐标系，求抛物线的标准方程和焦点坐标.
l
解：如图，在接收天线的轴截面所在平面内建立直角坐标系，使接收天线的顶点(即抛物线的顶点)与原点重合，焦点在轴上.
设抛物线的标准方程是.由已知条件得，点的坐标是，代入方程，得，即.
所以，所求抛物线的标准方程是，焦点坐标是
若抛物线的标准方程为，则由，解得；
若抛物线的标准方程为，则由，解得.
∴所求抛物线的标准方程为或.
例题讲解
题型一：抛物线的标准方程
例4 根据下列条件分别求出抛物线的标准方程：
(1)准线方程为；(2)经过点.
(2)∵点在第三象限，
∴设所求抛物线的标准方程为或.
解(1)：因为抛物线的准线交轴于正半轴，且，则，
所以所求抛物线的标准方程为.
探究新知
方法技巧：
1.用待定系数法求抛物线标准方程的4步骤：
设方程：根据焦点位置，设出标准方程；
列方程：根据条件建立关于参数的方程；
解方程：解关于参数的方程，求出的值；
得问题：根据参数的值，写出所求的标准方程.
2.求抛物线的标准方程时需注意的3个问题：
(1)把握开口方向与方程间的对应关系.
(2)当抛物线的类型没有确定时，可设方程为或，这样可以减少讨论情况的个数.
(3)注意与的几何意义.
例题讲解
题型二：抛物线定义及应用
例5 若位于轴右侧的动点到的距离比它到轴的距离大.求点的轨迹方程.
解：由于位于轴右侧的动点到的距离比它到轴的距离大，
所以动点到的距离与它到直线的距离相等.
由抛物线的定义知动点的轨迹是以为焦点，为准线的抛物线(不包含原点)，其方程应为的形式，而，所以，，故点的轨迹方程为.
例题讲解
方法技巧：
抛物线定义的两种应用
1.实现距离转化：根据抛物线的定义，抛物线上任意一点到焦点的距离等于它到准线的距离，因此，由抛物线定义可以实现点点距离与点线距离的相互转化，从而简化某些问题.
2.解决最值问题：在抛物线中求解与焦点有关的两间间距离和的最小值时，往往用抛物线的定义进行转化，即化折线为直线解决最值问题.
例题讲解
变式：若位于轴右侧的动点到的距离比它到轴的距离大.求点的轨迹方程.点所在轨迹上一点到点的距离为2，求点的坐标.
解：由例2知，点的轨迹方程为，
设点的坐标为，则.
又点的轨迹方程为，
所以由抛物线的定义得，解得.
因为，所以，
故点的坐标为或.
课堂练习
题型三：抛物线的实际应用
例6 某河上有座抛物线拱桥，当水面距拱桥时，水面宽，一木船宽，高，载货后船露在水面上的部分高为，问水面上涨到与拱顶相距多少时，木船开始不能通航？
解：设以拱桥的拱顶为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系，设抛物线方程为，
由题意知，点在抛物线上(设为水面宽且)，
∴，，∴抛物线方程为.
设水面上涨到船面两侧与拱桥接触于，(与关于轴对称)时，船开始不能通航，设点坐标为，由，得，
此时水面与抛物线拱顶相距.
课堂练习
方法技巧：
求解抛物线实际应用题的5步骤
1.建系：建立适当的平面直角坐标系.
2.假设：设出合适的抛物线标准方程.
3.计算：通过计算求出抛物线的标准方程.
4.求解：求出所要求的量.
5.还原：还原到实际问题中，从而解决实际问题.
课堂练习
F
M


x
y
O
P
A

课堂小结
1.抛物线的定义;
2.抛物线的标准方程有四种不同的形式,
每一对焦点和准线对应一种形式;
3.P 的几何意义是:
焦点到准线的距离;
4.标准方程中一次项的字母决定焦点位置
一次项系数正负号决定抛物线的开口方向．
布置作业
（1）教材
（2）同步作业