2023-2024学年人教版数学九年级上册第二十四章 圆 单元复习题 (含解析)

人教版九年级数学上册第二十四章圆单元复习题
一、选择题
1．如图，是的直径，若，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
2．下列说法中，正确的是（　　）
A．长度相等的弧是等弧
B．圆的每一条直径都是它的对称轴
C．直径如果平分弦就一定垂直弦
D．直径所对的弧是半圆
3．如图，、是的切线，切点分别是A、B，点E在上，，那么等于（　　）
A．150° B．120° C．90° D．60°
4．如图，点A、B、C、D在上，，则的度数是（　　）
A． B． C． D．
5．学校图书馆的阅读角有一块半径为3m，圆心角为120°的扇形地毯，这块地毯的面积为（　　）
A． B． C． D．
6．如图，都是的半径，交于点D．若，则的长为（　　）．
A．5 B．4 C．3 D．2
7．如图，已知点在上，为的中点．若，则等于（　　）
A． B． C． D．
8．对于命题“已知：，求证："。如果用反证法，应先假设（　　）
A．不平行 B．不平行 C． D．不平行
9．如图，正六边形的边长为2，以A为圆心，的长为半径画弧，得，连接，，则图中阴影部分的面积为(　　)
A． B． C． D．
10．如图，半径为，正方形内接于，点E在上运动，连接作，垂足为F，连接.则长的最小值为（　　）
A． B．1 C． D．
二、填空题
11．已知的半径是3cm，则中最长的弦长是　 　．
12．如图，是的直径，是的切线，点B为切点，线段与交于点D．点E是上的动点（不与点B、D重合）．若，则的度数可能是　 　．
13．如图，是内接正五边形的一条边，点在优弧上，则的度数为　 　．
14．如图，在扇形中，分别是OA，OB的中点，连接AD和BC交于点，若，则图中阴影部分的面积为　 　.
三、解答题
15．随着疫情的持续，各地政府储存了充足的防疫物品.某防疫物品储藏室的截面是由如图所示的图形构成的，图形下面是长方形ABCD，上面是半圆形，其中，，一辆装满货物的运输车，其外形高2.6m，宽2.4m，它能通过储藏室的门吗？请说明理由.
16．如图AB，CD为⊙O内两条相交的弦，AD＝BC，求证：AB=CD
17．如图，在中，，以为直径的与交于点D，过点B作，与过点C的的切线相交于点E.求证：.
18．如图，四边形内接于，求证：是等边三角形．
四、综合题
19．如图，在矩形中，点是边的中点，是的外接圆，交边于点．
（1）求证：；
（2）当是以点为中心的正六边形的一边时，求证：．
20．如图，已知AB，CD是⊙O的直径，点E是CA延长线的一点，射线ED交⊙O点于F，连结AD，CF，∠CDA＝∠EDA，∠CAB＝30°，AB＝8．
（1）求证：．
（2）求∠FCA的度数．
（3）求CE的长．
21．已知为的直径，为上一点，为的中点，与相交于点．
（1）如图①，的平分线交于点，求的大小；
（2）如图②，的延长线与过点的的切线相交于点；若，求的大小．
22．如图，点P是的直径延长线上一点，，点O旋转到点C，连接交于点D．
（1）求证：是的切线；
（2）若，求阴影部分的面积．
23．如图
（1）如图1，在和中，，，.求证：；
（2）如图2，在和中，，，，，点在内，延长交于点，求证：点是中点；
（3）如图3，为等腰三角形，.，点为所在平面内一点，，，，请直接写出的长.
答案解析部分
1．【答案】C
【解析】【解答】解：如图所示：连接BC，
∵是的直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠ABC=90°-∠BAC=54°，
∴∠ADC=∠ABC=54°，
故答案为：C.
【分析】根据圆周角定理和三角形内角和定理计算求解即可。
2．【答案】D
【解析】【解答】解：A、在同圆或等圆中，长度相等的弧是等弧，故A不符合题意；
B、圆的每一条直径所在的直线都是它的对称轴，故B不符合题意；
C、直径平分弦（弦不是直径）就一定垂直于弦，故C不符合题意；
D、直径所对的弧是半圆，故D符合题意.
故答案为：D.
【分析】根据等弧的定义、圆的对称轴、垂径定理、半圆的定义，逐项进行判断，即可得出答案.
3．【答案】D
【解析】【解答】解：如图所示：连接OA，OB，
∵、是的切线，切点分别是A、B，
∴∠OAP=∠OBP=90°，
∵∠AEB=60°，
∴∠AOB=2∠AEB=120°，
∴∠P=360°-120°-90°-90°=60°，
故答案为：D.
【分析】根据切线的性质求出∠OAP=∠OBP=90°，再根据∠AEB=60°，计算求解即可。
4．【答案】C
【解析】【解答】解：∵，，
∴，
∵点A、B、C、D在上，
∴，
故答案为：C.
【分析】由同弧所对的圆周角等于圆心角的一半得∠A=80°，进而根据圆内接四边形的对角互补即可求出∠C的度数.
5．【答案】C
【解析】【解答】解：钢板的面积，
故答案为：C．
【分析】扇形的面积公式，据此计算即可.
6．【答案】B
【解析】【解答】解：∵AD=CD=8，
∴OB⊥AC.
在Rt△AOD中，
OA=，
∴OB=OA=10，
∴BD=OB-OD=10-6=4.
故答案为：B.
【分析】先根据垂径定理证明OB⊥OA；再根据勾股定理求出OA的长，因为OB=OA，所以根据BD=OB-OD即可求出BD的长.
7．【答案】A
【解析】【解答】解：连接OC，如图所示：
∵，
∴∠BOC=2∠BAC=70°，
∵为的中点，
∴，
∴∠BOC=∠AOC=70°，
∴，
故答案为：A
【分析】连接OC，根据圆周角定理即可得到∠BOC=2∠BAC=70°，再根据圆的性质即可求解。
8．【答案】D
【解析】【解答】解： 已知：，求证： ，
如果用反证法，应先假设a与c不平行 ；
故答案为：D.
【分析】由的反面是“a与c不平行 ”，据此假设即可.
9．【答案】A
【解析】【解答】过点B作BH⊥AC于点H，如图：
∵正六边形的边长为2，
∴AB=BC=2，∠ABC=∠BAF=，
∵∠ABC+∠BAC+∠BCA=180°，
∴∠BAC=，
∴AH=CH，BH=AB=×2=1，
由勾股定理可得：，
∴，
同理可得：∠EAF=30°，
∴∠CAE=∠BAF-∠BAC-∠EAF=120°-30°-30°=60°，
∴S扇形CAE=，
∴图中阴影部分的面积为，
故答案为：A.
【分析】过点B作BH⊥AC于点H，先求出AC的长，再求出∠CAE的度数，最后利用扇形面积公式求解即可。
10．【答案】A
【解析】【解答】解：如图，连接，取的中点K，连接，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵正方形的外接圆的半径为，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴CF的最小值为.
故答案为：A.
【分析】连接，取的中点K，连接，由直角三角形斜边中线的性质及 半径为 ，可得KF=AK=BK=1，由勾股定理求出CK=，根据即可求解.
11．【答案】6cm
【解析】【解答】解：∵圆的直径为圆中最长的弦，
∴中最长的弦长为cm．
故答案为：6cm．
【分析】根据直径是圆中最长的弦可得答案。
12．【答案】 （答案不唯一）
【解析】【解答】解：∵是的切线，点B为切点，
∴∠ABC=90°，
又∵∠C=50°，
∴∠BAC=90°-∠C=40°，
∴当点E和点D重合时，∠BOD=2∠BAC=80°，
∵点E是上的动点（不与点B、D重合） ，
∴∠BOE的度数可能是60°，
故答案为：60.
【分析】根据切线的性质求出∠ABC=90°，再求出∠BAC=90°-∠C=40°，最后求解即可。
13．【答案】36
【解析】【解答】解：如图所示，连接OA，OB
∵AB是内接正五边形的一条边，
∴∠AOB=
∴∠APB=∠AOB=36°
【分析】本题主要考查了正多边形与圆，圆周角定理，熟知同圆或等圆中，同弧所对的圆周角度数是圆心角的一半是解题的关键。
14．【答案】
【解析】【解答】解：过E作EH⊥AO，EG⊥OB，则EH=EG.
∵点C、D分别为AO、BO的中点，
∴S△AOE=2S△ACE，S△OEB=2S△OED，S△AOE=S△OEB，
∴S△AOE=2S△OED，
∴S△AOE=S△AOD，
同理可得S△BOE=S△BOC.
∵∠AOB=90°，OA=2，
∴S阴影=S扇形AOB-S△AOE-S△OEB=-××2×·1-××2×·1=π-.
故答案为：π-.
【分析】过E作EH⊥AO，EG⊥OB，则EH=EG，由中点的概念结合三角形的面积公式可得S△AOE=2S△OED，则S△AOE=S△AOD，同理可得S△BOE=S△BOC，然后根据S阴影=S扇形AOB-S△AOE-S△OEB结合扇形、三角形的面积公式进行计算.
15．【答案】解：这辆货车能通过储藏室的门.理由如下：
如图M，N为卡车的宽度，过M，N作的垂线交半圆于F，G，过O作，E为垂足，
则，，由作法得，，
又∵，
在中，根据勾股定理得：
，
∴，
∵，
∴这辆货车能通过储藏室的门.
【解析】【分析】 这辆货车能通过储藏室的门，理由如下： 如图MN为卡车的宽度，过M，N作AD的垂线交半圆于F，G，过O作OE⊥FG，E为垂足， 易得四边形MNGF是矩形，则FG=MN=2.4m，根据垂径定理EF=GE=1.2m，在Rt△OEF中，根据勾股定理可得OE的长，进而可算出FM的长，再与2.6比大小即可得出结论.
16．【答案】证明：∵AD=BC，
∴，
∴，
∴AB=CD.
【解析】【分析】根据同圆中圆心角、弧、弦的关系定理，由弦AD＝弦BC，可得弧AD＝弧BC，从而得弧AB＝弧CD，进而得到AB＝CD．
17．【答案】证明：如图，连接，
∵是直径，
∴，
∴，
∵是的切线，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴.
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
在和中，
∴，
∴
【解析】【分析】连接CD，先求出，再利用平行线的性质证出，即可得到，再利用“AAS”证出，即可得到。
18．【答案】证明：∵四边形内接于，
∴，
又∵，
∴，
∵，
∴，
∴是等边三角形．
【解析】【分析】利用圆内接四边形的性质可得，再结合，可得是等边三角形。
19．【答案】（1）解：四边形 是矩形，且点 是边 的中点，
在 和 中，
，
∴
；
（2）证明：如图，连接 ，并延长 交 于点 ，
四边形 是矩形，
∴
∵ ， ，
∴点 、 都在线段 的垂直平分线上，
∴ 垂直平分 ，
∴ ，
，
是以点 为中心的正六边形的一边，
由正六边形性质可得∶ ，
∵ ，
是等边三角形，
又
，
，
．
【解析】【分析】（1）先根据矩形的性质结合题意得到再根据三角形全等的判定与性质得到；
（2）连接 ，并延长 交 于点 ，先根据矩形的性质得到，再运用垂直平分线的性质结合平行线的判定即可得到 ，再根据正六边形的性质即可得到 ，进而即可得到 是等边三角形，最后结合题意，运用圆中圆心角与弧的关系即可求解。
20．【答案】（1）证明：∵ CD是⊙O的直径 ，
∴∠CAD=∠DAE=90°，
∵ ∠CDA＝∠EDA ，AD=AD，
∴△CDA≌△EDA（ASA），
∴∠E=∠DCA，
∵OC=OA，∴∠OCA=∠OAC，
∴∠OAC=∠E，
∴AB∥EF；
（2）解：∵ CD是⊙O的直径 ，
∴∠F=90°，
由（1）知∠E=∠CAB=30°，
∴∠FCA=180°-∠F-∠E=60°；
（3）解：由（1）得∠OCA=∠OAC=30°，AC=AE，
在Rt△ACD中，CD=AB=8，
∴AC=CD=4，
∴CE=2AC=8；
【解析】【分析】（1）由CD是⊙O的直径 ，可得∠CAD=∠DAE=90°，根据ASA证明△CDA≌△EDA，可得∠E=∠DCA，由等腰三角形的性质可得∠OCA=∠OAC，即得∠OAC=∠E，根据平行线的判定即证；
（2）由（1）知∠E=∠CAB=30°，由圆周角定理可得∠F=90°，利用三角形内角和定理即可求解；
（3）由直角三角形的性质可得AC=CD=4，由CE=2AC即可得解.
21．【答案】（1）解：∵为的直径，
∴．
∴．
∵为的中点，
∴．
∵平分，
∴．
∴．
∴．
（2）解：∵与相切，
∴．即．
∴．
∵，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴．
∴．
∵，
∴．
∴是等边三角形，
∴．
【解析】【分析】答案解答步骤完善、内容详细、方法合适；此题重点考察圆周角的判定及性质、同弧或等弧所对的圆周角相等、圆的切线判定及性质、等腰三角形和等边三角形的判定及性质，需要学生具有较好的综合能力，灵活转换等角的相等关系是解题的关键，此题难度一般。
22．【答案】（1）证明：如图，连接，
根据题意得，，
，
是等边三角形，
，，
，
，
，
，
，
，
，
是的半径，
是的切线；
（2）解：，
，
，
，
，
，
阴影部分的面积
【解析】【分析】（1）连接AD，由题意可得∠AOD=60°，推出△AOD为等边三角形，得到∠DAO=∠ADO=60°，AO=AD，由已知条件可知AO=AP，则AD=AP，由等腰三角形的性质可得∠APD=∠ADP，结合外角的性质可得∠ADP=30°，则∠PDO=90°，据此证明；
（2）易得AO=DO=1，OP=2AO=2，利用勾股定理求出DP的值，然后根据S阴影=S△ODP-S扇形OAD进行计算.
23．【答案】（1）证明：，，，
∴，
在和中，
，
∴；
（2）证明：连接，如图2所示：
∵，，，
∴，
∴，
∴，
∴、、、四点共圆，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴点是中点；
（3）解：的长或.
【解析】【解答】解：（3）分两种情况：
①点P在△ABC内部时，作AM=AP，且∠MAP=120°，连接MP、BM，作AN⊥MP于N，如图3所示：
则，，
∴，，
∴，
∵，
∴，
同（1）得：，
∴，
在中，由勾股定理得：，
∴ ；
②点P在△ABC外部时，作AM=AP，且∠MAP=120°，连接MP、BM，作ME⊥BP的延长线于E，如图4所示：
由①得：，，
∵，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴，
同（1）得：，
∴，
∴.
综上所述，CP的长或.
【分析】（1）由∠DAE=∠BAC推出∠DAB=∠EAC，从而用SAS判断出△ABD≌△ACE；
（2） 连接AF，根据两组边对应成比例，且夹角相等的两个三角形相似得△ADE∽△ABC，得∠ADE=∠ABC，由圆周角定理推出A、D、B、F四点共圆，由圆内接四边形对角互补得∠BFA=90°，进而根据等腰三角形的三线合一即可得出F是BC的中点；
（3）分两种情况讨论：①点P在△ABC内部时，作AM=AP，且∠MAP=120°，连接MP、BM，作AN⊥MP于N，由等腰三角形性质得∠APM=∠AMP=30°，PN=MN，根据含30°角直角三角形的性质得AN、PN的长，由角的和差得∠APM=90°，同（1）证△ABM≌△ACP，得BM=CP，在Rt△BMP中，利用勾股定理算出BM，即可得CP的长；②点P在△ABC外部时，作AM=AP，且∠MAP=120°，连接MP、BM，作ME⊥BP的延长线于E，由①得∠APM=30°，MP=，由平角得∠EPM=30°，根据含30°角直角三角形性质得EM、PE的长，再用勾股定理求出BM的长，同（1）证得△ABM≌△ACP，得BM=CP，从而即可得出CP的长.