2022-2023学年湖北省十堰市校联体高二下学期7月调研考试数学试卷（含解析）

2022-2023学年湖北省十堰市校联体高二下学期7月调研考试数学试卷
第I卷（选择题）
一、单选题（本大题共8小题，共40分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 已知数列是各项均为正数的等比数列，若，是方程的两个根，则的值为( )
A. B. C. D.
2. 设函数，已知，，，，则．( )
A. B. C. D.
3. 已知随机变量，则( )
A. B. C. D.
4. 已知，则( )
A. B. C. D.
5. 甲、乙、丙、丁个同学进行数学建模竞赛无并列名次，赛后甲、乙预估自己成绩，甲说：“我不可能得到冠军”，乙说：“我应该不会是最差的”假如两人都猜对了，那么乙得冠军的概率为( )
A. B. C. D.
6. 的展开式中的系数为( )
A. B. C. D.
7. 已知定义在上的函数，，设两曲线与在公共点处的切线相同，则实数的值为( )
A. B. C. D.
8. 某试卷中道选择题有个答案，其中只有一个是正确的考生不知道正确答案的概率为，不知道正确答案的考生可以猜，设猜对的概率为现已知某考生答对了，则他猜对此题的概率为( )
A. B. C. D.
二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）
9. 随机变量的分布列如右表所示：则下列说法正确的是( )
A. B. C. D.
10. 已知数列的前项和满足，则下列说法正确的是( )
A. 是为等差数列的充要条件
B. 可能为等比数列
C. 若，，则为递增数列
D. 若，则中，，最大
11. 下列说法正确的是( )
A. 对于独立性检验，随机变量的观测值值越小，判定“两变量有关系”犯错误的概率越小
B. 在回归分析中，决定系数越大，说明回归模型拟合的效果越好
C. 随机变量，若，，则
D. 以拟合一组数据时，经代换后的线性回归方程为，则，
12. 已知，，，，则( )
A. B. C. D.
第II卷（非选择题）
三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13. 已知函数在区间上的最大值为，最小值为，则 ．
14. 的展开式中系数最大的项是第 项
15. 设等比数列的前项和为，若，则 ．
16. 记为数列的前项和，若，则 ；数列的前项和 ．
四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. 本小题分
已知等比数列的前项和为，且．
求的通项公式
设，求数列的前项和．
18. 本小题分
已知函数．
若是的极值点，求的极大值．
求实数的范围，使得恒成立．
19. 本小题分
世界卫生组织建议成人每周进行至小时的中等强度运动已知社区有的居民每周运动总时间超过小时，社区有的居民每周运动总时间超过小时，社区有的居民每周运动总时间超过小时，且，，三个社区的居民人数之比为．
从这三个社区中随机各选取名居民，求至少有名居民每周运动总时间超过小时的概率
从这三个社区中随机抽取名居民，求该居民每周运动总时间超过小时的概率
假设这三个社区每名居民每周运动总时间为随机变量单位：小时，且∽，现从这三个社区中随机选取名居民，求该居民每周运动总时间为至小时的概率．
20. 本小题分
已知，其中．
讨论的单调性；
取，，其中，求最小的，使有两个零点．
21. 本小题分
已知数列的前项和为，且．
求的通项公式
为满足的的个数，求使成立的最小正整数的值．
22. 本小题分
为了研究学生每天整理数学错题情况，某课题组在某市中学生中随机抽取了名学生调查了他们期中考试的数学成绩和平时整理数学错题情况，并绘制了下列两个统计图表，图为学生期中考试数学成绩的频率分布直方图，图为学生一个星期内整理数学错题天数的扇形图若本次数学成绩在分及以上视为优秀，将一个星期有天及以上整理数学错题视为“经常整理”，少于天视为“不经常整理”已知数学成绩优秀的学生中，经常整理错题的学生占．
数学成绩优秀 数学成绩不优秀 合计
经常整理
不经常整理
合计
求图中的值以及学生期中考试数学成绩的上四分位数
根据图、图中的数据，补全上方列联表，并根据小概率值的独立性检验，分析数学成绩优秀与经常整理数学错题是否有关
用频率估计概率，在全市中学生中按“经常整理错题”与“不经常整理错题”进行分层抽样，随机抽取名学生，再从这名学生中随机抽取人进行座谈。求这名同学中经常整理错题且数学成绩优秀的人数的分布列和数学期望．
附：．
答案和解析
1.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查等比数列的性质，对数运算，属于基础题．
由根与系数的关系可得，又由等比数列的性质可得，进而结合对数的运算性质计算即可得答案．
【解答】
解：由题知 ，
又，故，
则．

2.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查导数的运算，属于基础题．
求出，再赋值计算即可．
【解答】
解：由题意，得，
则
故选B．

3.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查二项分布的方差公式，属于基础题．
由二项分布的概率公式求得，再根据方差公式计算．
【解答】
解：由已知，，
所以．
故选A．

4.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查二项式项的系数和，属于基础题．
【解答】
解：令，得令，得，
所以．

5.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查排列组合的应用，属于基础题．
【解答】
解：由题意，甲不是第一名乙不是最后一名，
当甲是最后一名，有种，
当甲不是最后一名，有种，共有种情况，
乙是第一名有种，
所以乙获得冠军的概率为．

6.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查了二项展开式中特定项的系数的求法，属于基础题．
【解答】
解：因为的展开式的通项为，
所以的展开式中的系数为．
故选A．

7.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查利用导数分析函数的切线方程，注意求出公共点即切点的坐标，属于基础题．
根据题意，设与的公共点为，，分析可得，求出两个函数的导数，分析可得，解可得的值，代入的解析式可得公共点的坐标，进而代入的解析式可得的值，即可得答案．
【解答】
解：根据题意，设与的公共点为，，
若两曲线与在公共点处的切线相同，
则两个函数在公共点处的切线斜率相同，则有．
对于，有，则，
对于，有，则，
则有，解可得：或舍，
则有，
即公共点为，
对于，可得，解可得．
故答案为：．

8.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查条件概率，以及互斥事件的概率加法公式，属于难题．
设事件为“该考生不知道正确答案”，事件为“该考生答对了”则，，，再结合条件概率公式，以及互斥事件的概率加法公式，即可求解．
【解答】
解：设事件为“该考生不知道正确答案”，事件为“该考生答对了”．
则，，，．
所以所求概率为．
故选：．

9.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查离散型随机变量分布列的性质、均值与方差，属于基础题．
【解答】
解：由题意可知，解得．
，
，
．

10.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查等差数列、等比数列的判定，数列的单调性，最大值问题，为中档题．
【解答】
解：，
当时，，
当时，，满足通项公式，数列为等差数列
当为等差数列时，，，故A正确
当时，，是等比数列，B正确
，取，则，C错误
当时，从第二项开始，数列递减，且，故，故，最大，D正确．
故选：

11.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查独立性检验、回归分析、二项分布、线性回归方程求参数，是中档题．
根据题意逐项判断即可．
【解答】
解：选项A：对于独立性检验，随机变量的观测值值越小，判定“两变量有关系”犯错误的概率越大，故选项A错误；
选项B：在回归分析中，决定系数越大，残差平方和越小，说明回归模型拟合的效果越好，故选项B正确；
选项C：随机变量，若，，则，解得：，故选项C错误；
选项D：因为，所以，令，
则，又，所以，，则，，故选项D正确．
故选：．

12.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了利用导数比较大小，是较难题．
构造函数，分别设函数，，，利用导数研究单调性，可得结论．
【解答】
解：设函数，则．
当时，，所以在上单调递减，
所以，
则，即．
设函数，
当时，，在上单调递增，
所以，
则，即，即．
设函数，
则．
当时，，在上单调递增，
所以，则，即．
故选BC．

13.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查利用导数求函数的最值问题，属于基础题．
【解答】
解：因为，所以在，上单调递增，
在上单调递减因为，，，，
所以，，故．

14.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查二项展开式通项，根据题意列出不等式组，即可求解，属于基础题．
【解答】
解：展开式的通项为，
由得，
因为，所以，故系数最大的项是第项．

15.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查等比数列前项和公式，等比数列性质，属中档题．
【解答】
解：法一：设等比数列的公比为，显然
因为，所以，
所以．
法二：设，则因为为等比数列，所以，，，仍成等
比数列因为，所以，，所以，即．

16.【答案】

【解析】
【分析】
本题考查了数列的前项和及与的关系等比数列的定义及其前项和公式，属于难题．
利用数列的递推关系，可得，两式相减得；利用等比数列的定义可判定数列是首项为，公比为的等比数列，再利用等比数列的前项和公式即可求得．
【解答】
解：因为，所以，
两式相减得，
因为，可得，，
所以；
因为，所以，
两式相减得，
所以是首项为，公比为的等比数列，
所以．
故答案为：；．

17.【答案】解：方法一：设等比数列的首项为，公比为．
由，得
解得，
故．
方法二：设等比数列的首项为，公比为．
由，得，
两式相减得，即，得．
由，得，解得．
故．
因为，
所以，
．
由得
，
故．

【解析】本题考查等比数列通项公式，错位相减法求和，属中档题．
18.【答案】解：，
因为是的极值点，
所以，
解得，当时，
，
当变化时，


递增 极大值 递减 极小值 递增
的极大值为；
要使得恒成立，
即时，恒成立，
设，
则，
(ⅰ)当时，由得函数的单调减区间为，
由得函数的单调增区间为，
此时，得．
(ⅱ)当时，由得函数的单调减区间为，
由得函数的单调增区间为，，
此时，所以不合题意．
(ⅲ)当时，，在上单调递增，
此时，所以不合题意．
(ⅳ)当时，由得函数的单调减区间为，
由得函数的单调增区间为，，
此时，所以不合题意．
综上所述：时，恒成立．

【解析】本题考查利用导数研究函数的单调性及函数恒成立时所取的条件．考查考生的运算、推导、判断能力．
利用是的极值点，求出，然后通过函数的导数为，求出极值点，判断函数的单调性，然后求的极大值；
由于恒成立，即时恒成立，设，则，分类讨论参数，得到函数的最小值，即可得到的范围．
19.【答案】解：设从，，三个社区中各选取的名居民的每周运动总时间超过小时分别为事件，，，
则，，．
设选取的名居民中至少有名居民每周运动总时间超过小时为事件，则事件的对立事件为选取的名居民每周运动总时间都没有超过小时，
所以，
故选取的名居民中至少有名居民每周运动总时间超过小时的概率为．
设，，三个社区的居民人数分别为，，，
则社区每周运动总时间超过小时的人数为，
社区每周运动总时间超过小时的人数为，
社区每周运动总时间超过小时的人数为，
所以，
故从这个社区中随机抽取名居民且每周运动总时间超过小时的概率．
因为∽，所以．
因为，所以，
所以．

【解析】本题考查相互独立事件的概率，古典概型，正态分布的应用，属于综合性试题．
20.【答案】解：因为，所以，
时，，即在单调递增；
时，当时，，所以单调递增；
当时，，所以单调递减．
时，，
则，
设，，所以在单调递增，
又因为，，
所以存在，满足，
即，化简得，解得，，
当时，，即，则单调递减；
当时，，即，则单调递增；
要使得有两个零点，则必要条件为，
即，即，
因为，所以最小值为，
再证当时，有两个零点，
因为，，，
所以存在，，满足，即此时有两个零点．
综上所述，最小的为．
【解析】本题考查利用导数研究函数的单调性以及函数的零点，考查学生的运算能力．
求出导函数，对分类，确定导函数在定义域内的零点以及相应导函数的符号，就得到单调区间和单调性；
求得，设，由导数研究的零点和极值，得到存在，满足，解得，要使得有两个零点，则必要条件为，由此求得最小的．
21.【答案】解：因为，所以，
所以，，，，，，
累乘得，所以．
因为符合上式，所以，．
当时，，两式相减得，
所以
因为符合上式，所以
由题意知，
则．
令，
则．
因为，
所以单调递增．
因为，，所以的最小值是．

【解析】本题考查累乘法求通项，通项与前项和的关系，数列单调性，属较难题．
22.【答案】解：由题意可得，
解得，
学生期中考试数学成绩的上四分位数为：分；
数学成绩优秀的有人，不优秀的人人，经常整理错题的有人，不经常错题的是人，经常整理错题且成绩优秀的有人，则
数学成绩优秀 数学成绩不优秀 合计
经常整理
不经常整理
合计
零假设为数学成绩优秀与经常整理数学错题无关，
根据列联表中的数据，经计算得到可得，
根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，
即认为数学成绩优秀与经常整理数学错题有关联，此推断犯错误的概率不大于；
由分层抽样知，随机抽取的名学生中经常整理错题的有人，不经常整理错题的有人，
则，，，
经常整理错题的名学生中，恰抽到人记为事件，
参与座谈的名学生中经常整理错题且数学成绩优秀的恰好抽到人记为事件
则，，，，
，，
，
，
，
故的分布列如下：
则可得的数学期望为．

【解析】本题考查了求百分位数、独立性检验、离散型随机变量的分布列与均值，属较难题．