3.2-3.3解一元一次方程（提高）知识讲解

一元一次方程的解法（提高）知识讲解
撰稿：孙景艳 审稿：赵炜
【学习目标】
熟悉解一元一次方程的一般步骤，理解每步变形的依据；
掌握一元一次方程的解法，体会解法中蕴涵的化归思想；
进一步熟练在列方程时确定等量关系.
【要点梳理】
要点一、解一元一次方程的一般步骤
变形名称 具体做法 注意事项
去分母 在方程两边都乘以各分母的最小公倍数 (1)不要漏乘不含分母的项(2)分子是一个整体的，去分母后应加上括号
去括号 先去小括号，再去中括号，最后去大括号 (1)不要漏乘括号里的项(2)不要弄错符号
移项 把含有未知数的项都移到方程的一边，其他项都移到方程的另一边(记住移项要变号) (1)移项要变号(2)不要丢项
合并同类项 把方程化成ax＝b(a≠0)的形式 字母及其指数不变
系数化成1 在方程两边都除以未知数的系数a，得到方程的解． 不要把分子、分母写颠倒
要点诠释：
（1）解方程时，表中有些变形步骤可能用不到，而且也不一定要按照自上而下的顺序，有些步骤可以合并简化．
(2) 去括号一般按由内向外的顺序进行，也可以根据方程的特点按由外向内的顺序进行.
（3）当方程中含有小数或分数形式的分母时 ( http: / / www.21cnjy.com )，一般先利用分数的性质将分母变为整数后再去分母，注意去分母的依据是等式的性质，而分母化整的依据是分数的性质，两者不要混淆．
要点二、解特殊的一元一次方程
1.含绝对值的一元一次方程
解此类方程关键要把绝对值化去，使之成为一般的一元一次方程，化去绝对值的依据是绝对值的意义．
要点诠释：此类问题一般先把方程化为的形式，分类讨论：
(1)当时，无解；（2）当时，原方程化为：；（3）当时，原方程可化为：或.
2.含字母的一元一次方程
此类方程一般先化为一元一次方程的最简形式ax＝b，再分三种情况分类讨论：
（1）当a≠0时，；（2）当a＝0，b＝0时，x为任意有理数；（3）当a＝0，b≠0时，方程无解．
【典型例题】
类型一、解较简单的一元一次方程
1．解方程：
(1)； (2)．
【答案与解析】
解：(1)．
移项，合并得．
系数化为1，得x＝48．
(2)15.4x+32＝-0.6x．
移项，得15.4x+0.6x＝-32．
合并，得16x＝-32．
系数化为1，得x＝-2．
【总结升华】方法规律：解较简单的一元一次方程的一般步骤：
(1)移项：即通过移项把含有未知数的项放在等式的左边，把不含未知数的项(常数项)放在等式的右边．
(2)合并：即通过合并将方程化为ax＝b(a≠0)．
(3)系数化为1：即根据等式性质2：方程两边都除以未知数系数a，即得方程的解．
举一反三：
【变式】下列方程的解法对不对 如果不对，错在哪里 应当怎样改正
3x+2＝7x+5
解：移项得3x+7x＝2+5，合并得10x＝7，
系数化为1得．
【答案】以上的解法是错误的，其错误的原因是在移项时没有变号，也就是说将方程中右边的7x移到方程左边应变为-7x，方程左边的2移到方程右边应变为-2．
正确解法：
解：移项得3x-7x＝5-2， 合并得-4x＝3，系数化为1得．
类型二、去括号解一元一次方程
2. 解方程：
【答案与解析】
解法1：先去小括号得：
再去中括号得：
移项，合并得：
系数化为1，得：
解法2：两边均乘以2，去中括号得：
去小括号，并移项合并得：，解得：
解法3：原方程可化为：
去中括号，得
移项、合并，得
解得
【总结升华】解含有括号的一元一次方程时，一般方法是由内到外或由外到内逐层去括号，但有时根据方程的结构特点，灵活恰当地去括号，以使计算简便．例如本题的方法3：方程左、右两边都含(x-1)，因此将方程左边括号内的一项x变为(x-1)后，把(x-1)视为一个整体运算．
3．解方程：．
【答案与解析】
解法1：(层层去括号)
去小括号，
去中括号，
去大括号，
移项、合并同类项，得，系数化为1，得x＝30．
解法2：(层层去分母)
移项，得，
两边都乘2，得，
移项，得，
两边都乘2，得
移项，得，两边都乘2，得，
移项，得，系数化为1，得x＝30．
【总结升华】此题既可以按去括号的思路做，也可以按去分母的思路做．
举一反三：
【变式】解方程．
【答案】
解：方程两边同乘2，得，
移项、合并同类项，得，
两边同乘以3，得．
移项、合并同类项，得，
两边同乘以4，得，
移项，得，系数化为1，得x＝5．
类型三、解含分母的一元一次方程
【高清课堂：一元一次方程的解法388407解较复杂的一元一次方程】
4．解方程：
【思路点拨】先将方程中的小数化成整数，再去分母，这样可避免小数运算带来的失误．
【答案与解析】
解法1：将分母化为整数得：
约分，得：8x-3-25x+4＝12-10x
移项，合并得：．
解法2：方程两边同乘以1，去分母得： 8x-3-25x+4＝12-10x
移项，合并得：．
【总结升华】解此题一般是先将分母变为整数，再去分母，如解法1；但有时直接去分母更简便一些，如解法2．
举一反三：
【变式】解方程．
【答案】
解：原方程可化为．
去分母，得3(4y+9)-5(3+2y)＝15．
去括号，得12y+27-15-10y＝15．
移项、合并同类项，得2y＝3．
系数化为1，得．
类型四、解含绝对值的方程
5．解方程：3|2x|-2＝0
【思路点拨】将绝对值里面的式子看作整体，先求出整体的值，再求x的值．
【答案与解析】
解：原方程可化为：
当x≥0时，得，解得：，
当x＜0时，得，解得：，
所以原方程的解是x＝或x＝．
【总结升华】此类问题一般先把方程化为的形式，再根据（）的正负分类讨论，注意不要漏解．
举一反三：
【变式】解方程|x-2|-1＝0．
【答案】
解：原方程可化为：|x-2|=1，当x-2≥0，即x≥2时，原方程可化为x-2＝1，解得x＝3；
当x-2＜0，即x＜2时，原方程变形为-(x-2)=1，解得x＝1．
所以原方程的解为x＝3或x＝1．
类型五、解含字母系数的方程
6. 解关于的方程：
【答案与解析】
解：原方程可化为：
当，即时，方程有唯一解为：；
当，即时，方程无解．
【总结升华】解含字母系数的方程时，先化为最简形式，再根据系数是否为零进行分类讨论．
【高清课堂：一元一次方程的解法388407解含字母系数的方程】
举一反三：
【变式】若关于x的方程(k-4)x=6有正整数解，求自然数k的值.
【答案】
解：∵原方程有解，∴
原方程的解为：为正整数，∴应为6的正约数，即可为：1，2，3，6
∴为：5，6，7，10
答：自然数k的值为：5，6，7，10.