3.4实际问题与一元一次方程（二）（提高）知识讲解
文档属性
| 名称 | 3.4实际问题与一元一次方程（二）（提高）知识讲解 |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 33.3KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教版（新课程标准） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2014-10-27 14:03:17 | ||
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文档简介
实际问题与一元一次方程（二）（提高）知识讲解
撰稿：孙景艳 审稿：赵炜
【学习目标】
(1)进一步提高分析实际问题中数量关系的能力，能熟练找出相等关系并列出方程；
(2)熟悉利润，存贷款，数字及方案设计问题的解题思路．
【要点梳理】
要点一、用一元一次方程解决实际问题的一般步骤
列方程解应用题的基本思路为：问题方程解答．由此可得解决此类问题的一般步骤为：审、设、列、解、检验、答．
要点诠释：
（1）“审”是指读懂题目，弄清题意，明确哪些是已知量，哪些是未知量，以及它们之间的关系，寻找等量关系．
（2）“设”就是设未知数，一般求什么就设什么为x，但有时也可以间接设未知数．
（3）“列”就是列方程，即列代数式表示相等关系中的各个量，列出方程，同时注意方程两边是同一类量，单位要统一．
（4）“解”就是解方程，求出未知数的值．
（5）“检验”就是指检验方程的解是否符合实际意义，当有不符合的解时，及时指出，舍去即可．
（6）“答”就是写出答案，注意单位要写清楚．
要点三、常见列方程解应用题的几种类型（续）
1．利润问题
（1）
(2) 标价＝成本(或进价)×(1＋利润率)
(3) 实际售价＝标价×打折率
(4) 利润＝售价－成本(或进价)＝成本×利润率
注意：“商品利润＝售价－成本”中的右边为正时，是盈利；当右边为负时，就是亏损.打几折就是按标价的十分之几或百分之几十销售．
2．存贷款问题
（1）利息=本金×利率×期数
（2）本息和（本利和）＝本金＋利息＝本金＋本金×利率×期数＝本金×(1＋利率×期数)
（3）实得利息=利息-利息税
（4）利息税=利息×利息税率
（5）年利率＝月利率×12
（6）月利率＝年利率×
3.数字问题
已知各数位上的数字，写出两位数， ( http: / / www.21cnjy.com )三位数等这类问题一般设间接未知数，例如：若一个两位数的个位数字为a，十位数字为b，则这个两位数可以表示为10b+a．
4．方案问题
选择设计方案的一般步骤：
（1）运用一元一次方程解应用题的方法求解两种方案值相等的情况．
（2）用特殊值试探法选择方案，取小于（或大于）一元一次方程解的值，比较两种方案的优劣性后下结论．
【典型例题】
类型一、利润问题
1．文星商店以每支4元的价格进100支钢笔，卖出时每支的标价6元，当卖出一部分钢笔后，剩余的打9折出售，卖完时商店赢利188元，其中打9折的钢笔有几支
【答案与解析】
解：设打折的钢笔有x支，则有：
6(100-x)+6×90%x＝100×4+188
解得x＝20
答：打9折的钢笔有20支．
【总结升华】本题可以采用列表法分析问题：
售价 数量 售出总价
按标价出售 6 100-x 6(100-x)
剩余的打折出售 6×90% x 6×90%x
此外本题还可以这样列方程：(6-4)(100-x)+(6×0.9-4)x＝188，这是以利润作为相等关系来构建方程的，其结果一样．
举一反三：
【高清课堂：实际问题与一元一次方程(二) 388413 思考与研究1】
【变式】某种商品的标价为900元，为了适应 ( http: / / www.21cnjy.com )市场竞争，店主打出广告：该商品九折出售，并返100元现金.这样他仍可获得10%的利润率（相对于进货价），问此商品的进货价是多少？（用四舍五入法精确到个位）
【答案】
解：设此商品的进货价为x元，依题意，得：
(900×0.9-100)-x=10%x，
得：x= ∴ x≈645.
答：此商品的进价约为645元.
类型二、存贷款问题
2．某公司从银行贷款20万元，用来生产某种产品，已知该贷款的年利率为15%(不计复利)，每个产品成本是3.2元，售价是5元，应纳税款为销售款的10%．如果每年生产10万个，并把所得利润(利润＝售价－成本－应纳税款)用来偿还贷款，问几年后能一次性还清
【答案与解析】
解：设x年后能一次性还清贷款，根据题意，
得(5-3.2-5×10%)·10x＝20+20×15%x．
解之，得x＝2．
答：所以2年后能一次性还清贷款．
【总结升华】解答本题利用了类比的数学方法， ( http: / / www.21cnjy.com )把贷款与存款相类比，贷款金额相当于存款本金，贷款的年利率相当于存款的年利率，每年产品的利润＝售价－成本－应纳税款，产品的总利润等于本息和．
举一反三：
【高清课堂：实际问题与一元一次方程(二) 388413 贷款问题】
【变式】小华父母为了准备她 ( http: / / www.21cnjy.com )上大学时的16000元学费，在她上初一时参加教育储蓄，准备先存一部分，等她上大学时再贷一部分.小华父母存的是六年期（年利率为2.88%），上大学贷款的部分打算用8年时间还清（年贷款利息率为6.21%），贷款利息的50%由政府补贴.如果参加教育储蓄所获得的利息与申请贷款所支出的利息相等，小华父母用了多少钱参加教育储蓄？还准备贷多少款？
【答案】
解：设小华父母用x元参加教育储蓄，依题意，
x×2.88%×6=(16000-x)×6.21%×8×50%,
解得, x≈9436(元)
16000-9436=6564(元).
答：小华父母用9436元参加教育储蓄，还准备贷6564元.
类型三、数字问题
3．一个两位数，十位数字比个位数字的4倍多1，将这两个数字调换顺序所得的数比原数小63，求原数．
【答案与解析】
解：设这个两位数的个位数字为x，则十位数字为4x+1．根据题意得：
10(4x+1)+x＝10x+(4x+1)+63，
解得x＝2，
∴ 4x+1＝4×2+1＝9，故这个两位数为92．
答： 这个两位数是92．
【总结升华】在数字问题中应注意：（1） ( http: / / www.21cnjy.com )求的是一个两位数，而不是两个数；（2）这类应用题，一般设间接未知数，切勿求出x就答；（3）两位数的表示方法是10位上的数字乘以10，把所得的结果和个位数字相加
类型四、方案设计问题
4．某牛奶加工厂有鲜奶9吨，若在市场上直接销售鲜奶，每吨可获取利润500元，制成酸奶销售，每吨可获取利润1200元；制成奶片销售，每吨可获利润2000元，该工厂的生产能力是：如制成酸奶，每天可加工3吨；制成奶片每天可加工1吨，受人员限制，两种加工方式不可同时进行，受气温条件限制，这批牛奶必须在4天内全部销售或加工完毕．为此，该厂某领导提出了两种可行方案：
方案1：尽可能多的制成奶片，其余直接销售鲜牛奶；
方案2：将一部分制成奶片，其余制成酸奶销售，并恰好4天完成．
你认为选择哪种方案获利最多，为什么
【答案与解析】
解：（1）若选择方案1，依题意，
总利润=2000元×4+500元×(9-4)=10500元．
（2）若选择方案2．
设将x吨鲜奶制成奶片，则用(9-x)吨鲜奶制成酸奶销售，
依题意得，，
解得．
当时，．
总利润=2000元×1.5+1200元×7.5=12000元．
∵ 12000>10500，
∴ 选择方案2较好．
答：选择方案2获利最多，只要在四天内用7.5吨鲜奶加工成酸奶，用1.5吨的鲜奶加工成奶片．
【总结升华】如果题目中的数量关系较 ( http: / / www.21cnjy.com )复杂，常借助列表，画线段图，示意图等手段帮助我们理顺题目中的数量关系，列出方程．例如本题方案2中，设将x吨鲜奶制成奶片，则列表如下：
每吨利润 吨数 工效 天数
酸奶 1200 3
奶片 2000 1
合计 9 4
从表中能一目了然条件之间的关系，从而，得到等量关系．
举一反三：
【变式1】商场出售的A型冰箱每台售价2190元，每日耗电量为1度，而B型节能冰箱每台售价比A型冰箱高出10%，但每日耗电量却为0.55度．现将A型冰箱打折出售(打一折后的售价为原价的)，问商场将A型冰箱打几折，消费者买A型冰箱10年的总费用与B型冰箱10年的总费用相当(每年365天，每度电按0.40元计算)．
【答案】
解：设商场A型冰箱打x折，依题意，买A型冰箱需2190×元，10年的电费是365×10×1×0.4元；买B型冰箱需2190×(1+10%)元，10年的电费是365×10×0.55×0.4元，依题意，得：
2190×+365×10×1×0.4＝2190×(1+10%)+365×10×0.55×0.4
解得：x＝8
答：商场将A型冰箱打8折出售，消费者买A型冰箱10年的总费用与B型冰箱10年的总费用相当．
【变式2】某市居民生活用电的基本价格为每度0.40元，若每月用电量超过a度，超出部分按基本电价的70%收费．
(1)某户五月份用电84度，共交电费30.72元，求a；
(2)若该户六月份的电费平均每度0.36元，求六月份共用电多少度 应交电费多少元
【答案】
解： (1)根据题意，得0.40a+0.40×70%×(84-a)＝30.72．
解得：a＝60．
(2)设该户六月份共用电 ( http: / / www.21cnjy.com )x度，因0.36＜0.40，所以x＞60，于是超出部分电量为(x-60)度，依题意，得：0.40×60+0.4×70%(x-60)＝0.36x．
解得：x＝90．
所以0.36x＝0.36×90＝32.40元．
答：(1)a＝60；(2)该用户六月份共用电90度，应交电费32.40元．
撰稿：孙景艳 审稿：赵炜
【学习目标】
(1)进一步提高分析实际问题中数量关系的能力，能熟练找出相等关系并列出方程；
(2)熟悉利润，存贷款，数字及方案设计问题的解题思路．
【要点梳理】
要点一、用一元一次方程解决实际问题的一般步骤
列方程解应用题的基本思路为：问题方程解答．由此可得解决此类问题的一般步骤为：审、设、列、解、检验、答．
要点诠释：
（1）“审”是指读懂题目，弄清题意，明确哪些是已知量，哪些是未知量，以及它们之间的关系，寻找等量关系．
（2）“设”就是设未知数，一般求什么就设什么为x，但有时也可以间接设未知数．
（3）“列”就是列方程，即列代数式表示相等关系中的各个量，列出方程，同时注意方程两边是同一类量，单位要统一．
（4）“解”就是解方程，求出未知数的值．
（5）“检验”就是指检验方程的解是否符合实际意义，当有不符合的解时，及时指出，舍去即可．
（6）“答”就是写出答案，注意单位要写清楚．
要点三、常见列方程解应用题的几种类型（续）
1．利润问题
（1）
(2) 标价＝成本(或进价)×(1＋利润率)
(3) 实际售价＝标价×打折率
(4) 利润＝售价－成本(或进价)＝成本×利润率
注意：“商品利润＝售价－成本”中的右边为正时，是盈利；当右边为负时，就是亏损.打几折就是按标价的十分之几或百分之几十销售．
2．存贷款问题
（1）利息=本金×利率×期数
（2）本息和（本利和）＝本金＋利息＝本金＋本金×利率×期数＝本金×(1＋利率×期数)
（3）实得利息=利息-利息税
（4）利息税=利息×利息税率
（5）年利率＝月利率×12
（6）月利率＝年利率×
3.数字问题
已知各数位上的数字，写出两位数， ( http: / / www.21cnjy.com )三位数等这类问题一般设间接未知数，例如：若一个两位数的个位数字为a，十位数字为b，则这个两位数可以表示为10b+a．
4．方案问题
选择设计方案的一般步骤：
（1）运用一元一次方程解应用题的方法求解两种方案值相等的情况．
（2）用特殊值试探法选择方案，取小于（或大于）一元一次方程解的值，比较两种方案的优劣性后下结论．
【典型例题】
类型一、利润问题
1．文星商店以每支4元的价格进100支钢笔，卖出时每支的标价6元，当卖出一部分钢笔后，剩余的打9折出售，卖完时商店赢利188元，其中打9折的钢笔有几支
【答案与解析】
解：设打折的钢笔有x支，则有：
6(100-x)+6×90%x＝100×4+188
解得x＝20
答：打9折的钢笔有20支．
【总结升华】本题可以采用列表法分析问题：
售价 数量 售出总价
按标价出售 6 100-x 6(100-x)
剩余的打折出售 6×90% x 6×90%x
此外本题还可以这样列方程：(6-4)(100-x)+(6×0.9-4)x＝188，这是以利润作为相等关系来构建方程的，其结果一样．
举一反三：
【高清课堂：实际问题与一元一次方程(二) 388413 思考与研究1】
【变式】某种商品的标价为900元，为了适应 ( http: / / www.21cnjy.com )市场竞争，店主打出广告：该商品九折出售，并返100元现金.这样他仍可获得10%的利润率（相对于进货价），问此商品的进货价是多少？（用四舍五入法精确到个位）
【答案】
解：设此商品的进货价为x元，依题意，得：
(900×0.9-100)-x=10%x，
得：x= ∴ x≈645.
答：此商品的进价约为645元.
类型二、存贷款问题
2．某公司从银行贷款20万元，用来生产某种产品，已知该贷款的年利率为15%(不计复利)，每个产品成本是3.2元，售价是5元，应纳税款为销售款的10%．如果每年生产10万个，并把所得利润(利润＝售价－成本－应纳税款)用来偿还贷款，问几年后能一次性还清
【答案与解析】
解：设x年后能一次性还清贷款，根据题意，
得(5-3.2-5×10%)·10x＝20+20×15%x．
解之，得x＝2．
答：所以2年后能一次性还清贷款．
【总结升华】解答本题利用了类比的数学方法， ( http: / / www.21cnjy.com )把贷款与存款相类比，贷款金额相当于存款本金，贷款的年利率相当于存款的年利率，每年产品的利润＝售价－成本－应纳税款，产品的总利润等于本息和．
举一反三：
【高清课堂：实际问题与一元一次方程(二) 388413 贷款问题】
【变式】小华父母为了准备她 ( http: / / www.21cnjy.com )上大学时的16000元学费，在她上初一时参加教育储蓄，准备先存一部分，等她上大学时再贷一部分.小华父母存的是六年期（年利率为2.88%），上大学贷款的部分打算用8年时间还清（年贷款利息率为6.21%），贷款利息的50%由政府补贴.如果参加教育储蓄所获得的利息与申请贷款所支出的利息相等，小华父母用了多少钱参加教育储蓄？还准备贷多少款？
【答案】
解：设小华父母用x元参加教育储蓄，依题意，
x×2.88%×6=(16000-x)×6.21%×8×50%,
解得, x≈9436(元)
16000-9436=6564(元).
答：小华父母用9436元参加教育储蓄，还准备贷6564元.
类型三、数字问题
3．一个两位数，十位数字比个位数字的4倍多1，将这两个数字调换顺序所得的数比原数小63，求原数．
【答案与解析】
解：设这个两位数的个位数字为x，则十位数字为4x+1．根据题意得：
10(4x+1)+x＝10x+(4x+1)+63，
解得x＝2，
∴ 4x+1＝4×2+1＝9，故这个两位数为92．
答： 这个两位数是92．
【总结升华】在数字问题中应注意：（1） ( http: / / www.21cnjy.com )求的是一个两位数，而不是两个数；（2）这类应用题，一般设间接未知数，切勿求出x就答；（3）两位数的表示方法是10位上的数字乘以10，把所得的结果和个位数字相加
类型四、方案设计问题
4．某牛奶加工厂有鲜奶9吨，若在市场上直接销售鲜奶，每吨可获取利润500元，制成酸奶销售，每吨可获取利润1200元；制成奶片销售，每吨可获利润2000元，该工厂的生产能力是：如制成酸奶，每天可加工3吨；制成奶片每天可加工1吨，受人员限制，两种加工方式不可同时进行，受气温条件限制，这批牛奶必须在4天内全部销售或加工完毕．为此，该厂某领导提出了两种可行方案：
方案1：尽可能多的制成奶片，其余直接销售鲜牛奶；
方案2：将一部分制成奶片，其余制成酸奶销售，并恰好4天完成．
你认为选择哪种方案获利最多，为什么
【答案与解析】
解：（1）若选择方案1，依题意，
总利润=2000元×4+500元×(9-4)=10500元．
（2）若选择方案2．
设将x吨鲜奶制成奶片，则用(9-x)吨鲜奶制成酸奶销售，
依题意得，，
解得．
当时，．
总利润=2000元×1.5+1200元×7.5=12000元．
∵ 12000>10500，
∴ 选择方案2较好．
答：选择方案2获利最多，只要在四天内用7.5吨鲜奶加工成酸奶，用1.5吨的鲜奶加工成奶片．
【总结升华】如果题目中的数量关系较 ( http: / / www.21cnjy.com )复杂，常借助列表，画线段图，示意图等手段帮助我们理顺题目中的数量关系，列出方程．例如本题方案2中，设将x吨鲜奶制成奶片，则列表如下：
每吨利润 吨数 工效 天数
酸奶 1200 3
奶片 2000 1
合计 9 4
从表中能一目了然条件之间的关系，从而，得到等量关系．
举一反三：
【变式1】商场出售的A型冰箱每台售价2190元，每日耗电量为1度，而B型节能冰箱每台售价比A型冰箱高出10%，但每日耗电量却为0.55度．现将A型冰箱打折出售(打一折后的售价为原价的)，问商场将A型冰箱打几折，消费者买A型冰箱10年的总费用与B型冰箱10年的总费用相当(每年365天，每度电按0.40元计算)．
【答案】
解：设商场A型冰箱打x折，依题意，买A型冰箱需2190×元，10年的电费是365×10×1×0.4元；买B型冰箱需2190×(1+10%)元，10年的电费是365×10×0.55×0.4元，依题意，得：
2190×+365×10×1×0.4＝2190×(1+10%)+365×10×0.55×0.4
解得：x＝8
答：商场将A型冰箱打8折出售，消费者买A型冰箱10年的总费用与B型冰箱10年的总费用相当．
【变式2】某市居民生活用电的基本价格为每度0.40元，若每月用电量超过a度，超出部分按基本电价的70%收费．
(1)某户五月份用电84度，共交电费30.72元，求a；
(2)若该户六月份的电费平均每度0.36元，求六月份共用电多少度 应交电费多少元
【答案】
解： (1)根据题意，得0.40a+0.40×70%×(84-a)＝30.72．
解得：a＝60．
(2)设该户六月份共用电 ( http: / / www.21cnjy.com )x度，因0.36＜0.40，所以x＞60，于是超出部分电量为(x-60)度，依题意，得：0.40×60+0.4×70%(x-60)＝0.36x．
解得：x＝90．
所以0.36x＝0.36×90＝32.40元．
答：(1)a＝60；(2)该用户六月份共用电90度，应交电费32.40元．