4.2直线、射线、线段（提高）知识讲解

直线、射线、线段（提高）知识讲解
撰稿：孙景艳 审稿：赵炜
【学习目标】
1．理解直线、射线、线段的概念，掌握它们的区别和联系；
2. 利用直线、线段的性质解决相关实际问题；
3．利用线段的和差倍分解决相关计算问题．
【要点梳理】
要点一、直线
1．概念：直线是最简单、最基本的几何图形之一，是一个不作定义的原始概念，直线常用“一根拉得紧的细线”、“一张纸的折痕”等实际事物进行形象描述．
2. 表示方法：（1）可以用直线上的表示两个点的大写英文字母表示，如图1所示，可表示为直线AB(或直线BA)．
（2）也可以用一个小写英文字母表示，如图2所示，可以表示为直线．
3.基本性质：经过两点有一条直线，并且只有一条直线．简单说成：两点确定一条直线．
要点诠释：
直线的特征：（1）直线没有长短，向两方无限延伸．
（2）直线没有粗细．
（3）两点确定一条直线．
（4）两条直线相交有唯一一个交点．
4.点与直线的位置关系：
（1）点在直线上，如图3所示，点A在直线m上，也可以说：直线m经过点A．
（2）点在直线外，如图4，点B在直线n外，也可以说：直线n不经过点B．
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要点二、线段
1.概念：直线上两点和它们之间的部分叫做线段．
2.表示方法：
（1）线段可用表示它两个端点的两个大写英文字母来表示，如图所示，记作：线段AB或线段BA．
（2）线段也可用一个小写英文字母来表示，如图5所示，记作：线段a．
3. “作一条线段等于已知线段”的两种方法：
法一：用圆规作一条线段等于已知线段．例如：下图所示，用圆规在射线AC上截取AB＝a．
法二：用刻度尺作一条线段等于已知线段．例如：可以先量出线段a的长度，再画一条等于这个长度的线段．
4.基本性质：两点的所有连线中，线段最短．简记为：两点之间，线段最短．
如图6所示，在A，B两点所连的线中，线段AB的长度是最短的．
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要点诠释：
（1）线段是直的，它有两个端点，它的长度是有限的，可以度量，可以比较长短．
（2）连接两点间的线段的长度，叫做这两点的距离．
（3）线段的比较：
①度量法：用刻度尺量出两条线段的长度，再比较长短．
②叠合法：利用直尺和圆规把线段放在同一条直线上，使其中一个端点重合，另一个端点位于重合端点同侧，根据另一端点与重合端点的远近来比较长短．
5.线段的中点：把一条线段分成两条相等线段的点，叫做线段的中点．如图7所示，点C是线段AB的中点，则，或AB＝2AC＝2BC．
要点诠释：
若点C是线段AB的中点，则点C一定在线段AB上．
要点三、射线
1.概念：直线上一点和它一侧的部分叫射线，这个点叫射线的端点．
如图8所示，直线l上点O和它一旁的部分是一条射线，点O是端点．
2.特征：是直的，有一个端点，不可以度量，不可以比较长短，无限长．
3.表示方法：（1）可以用两个大写英文字 ( http: / / www.21cnjy.com )母表示，其中一个是射线的端点，另一个是射线上除端点外的任意一点，端点写在前面，如图8所示，可记为射线OA．
（2）也可以用一个小写英文字母表示，如图8所示，射线OA可记为射线l．
要点诠释：
(1)端点相同，而延伸方向不同，表示不同的射线．如图9中射线OA，射线OB是不同的射线．
(2)端点相同且延伸方向也相同的射线，表示同一条射线．如图10中射线OA、射线OB、射线OC都表示同一条射线．
要点四、直线、射线、线段的区别与联系
1.直线、射线、线段之间的联系
（1）射线和线段都是直线上的一部分，即整体 ( http: / / www.21cnjy.com )与部分的关系．在直线上任取一点，则可将直线分成两条射线；在直线上取两点，则可将直线分为一条线段和四条射线．
（2）将射线反向延伸就可得到直线；将线段一方延伸就得到射线；将线段向两方延伸就得到直线．
2．三者的区别如下表
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要点诠释：
（1） 联系与区别可表示如下：
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（2）在表示直线、射线与线段时，勿忘在字母的前面写上“直线”“射线”“线段”字样．
【典型例题】
类型一、有关概念
1.如图所示，指出图中的直线、射线和线段．
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【思路点拨】从图上看，A、D、F分别是线段 ( http: / / www.21cnjy.com )CB、BC、BE的延长线上的点，也就是说，A、D、F三点的位置并不是完全确定的．此时，我们也就能分清楚图中的直线、射线和线段了．
【答案与解析】
解：直线有一条：直线AD；
射线有六条：射线BA、射线BD、射线CA、射线CD、射线BF、射线EF；
线段有三条：线段BC、线段BE、线段CE．
【总结升华】在表示线段和直 ( http: / / www.21cnjy.com )线时，两个大写字母的顺序可以颠倒．然而，在叙述线段的延长线的时候，表示线段的两个大写字母的顺序就不能颠倒了，因为线段向一方延伸后就形成了射线(延长部分已不再是线段本身了)，而表示射线的两个大写字母的顺序是不能颠倒的，只能用第一个字母表示射线的端点，第二个字母表示射线方向上的任一点．
举一反三：
【高清课堂：直线、射线、线段397363 拓展4】
【变式】两条不同的直线，要么有一个公共点，要么没有公共点，不能有两个公共点. 这是为什么 画图说明.
【答案】
解：
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∵过两点有且只有一条直线.（或两点确定一条直线.）
∴两条不同的直线，要么有一个公共点，如图（1）；要么没有公共点，如图（2）；不能有两个公共点.
类型二、有关作图
2．如图(1)所示，已知线段a，b(a＞b)，画一条线段，使它等于2a-2b．
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【答案与解析】
解：如图(2)所示：
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(1)作射线AF；
(2)在射线AF上顺次截取AB＝BC＝a；
(3)在线段AC上顺次截取AD＝DE＝b，则线段EC就是所要求作的线段．
【总结升华】用尺规作图时，要熟悉常用的画图语言，注意保留作图痕迹．
举一反三：
【变式1】下列说法正确的有 ( )
①射线与其反向延长线成一条直线；
②直线a、b相交于点m；
③两直线相交于两个交点；
④直线A与直线B相交于点M
A．3个 B．2个 C．1个 D．4个
【答案】 C
【变式2】下列说法中，正确的个数有( )
①已知线段a，b且a-b＝c，则c的值不是正的就是负的；
②已知平面内的任意三点A，B，C则AB+BC≥AC；
③延长AB到C，使BC＝AB，则AC＝2AB；
④直线上的顺次三点D、E、F，则DE+EF＝DF．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
类型三、个（条）数或长度的计算
3. 根据题意，完成下列填空．
如图所示，与是同一平面内的两条相交直线，它们有1个交点，如果在这个平面内，再画第3条直线，那么这3条直线最多有________个交点；如果在这个平面内再画第4条直线，那么这4条直线最多可有________个交点．由此我们可以猜想：在同一平面内，6条直线最多可有________个交点，n(n为大于1的整数)条直线最多可有________个交点(用含有n的代数式表示)．
【答案】3， 6， 15， .
【解析】本题探索过程要分两步：首先要填 ( http: / / www.21cnjy.com )好3条直线最多可有2+1＝3个交点，再类推4条直线，5条直线，6条直线的情形所得到的和式，其次再研究这些和式的规律，得出一般性的结论．
【总结升华】n(n为大于1的整数)条直线的交点最多可有：个
举一反三：
【变式1】平面上有个点，最多可以确定 条直线
【答案】
【变式2】一条直线有个点，最多可以确定 条线段， 条射线
【答案】，
【高清课堂：直线、射线、线段397363 拓展 1（4）】
【变式3】一个平面内有三条直线，会出现几个交点
【答案】0个，1个，2个，或3个.
4. 已知线段AB＝14cm，在直线AB上有一点C，且BC＝4cm，M是线段AC的中点，求线段AM的长．
【思路点拨】题目中只说明了A、B、 ( http: / / www.21cnjy.com )C三点在同一直线上，无法判定点C在线段AB上，还是在线段AB外(也就是在线段AB的延长线上)．所以要分两种情况求线段AM的长．
【答案与解析】
解：①当点C在线段AB上时，如图所示．
因为M是线段AC的中点，
所以．
又因为AC＝AB-BC，AB＝14cm，BC＝4cm，
所以．
②当点C在线段AB的延长线上时，如图所示．
因为M是线段AC的中点，
所以．
又因为AC＝AB+BC，AB＝14cm，BC＝4cm，
所以9(cm)．
所以线段AM的长为5cm或9cm．
【总结升华】在解答没有给出图形的问题时，一定要审题，要全面考虑所有可能的情况，即当我们面临的教学问题无法确定是哪种情形时，就要分类讨论．
举一反三：
【变式】(武汉武昌区期末联考)如图所示，数轴上线段AB＝2(单位长度)，CD＝4(单位长度)，点A在数轴上表示的数是-10，点C在数轴上表示的数是16．若线段AB以6个单位长度/秒的速度向右匀速运动，同时线段CD以2个单位长度/秒的速度向左匀速运动．
(1)问运动多少秒时，BC＝8(单位长度)
(2)当运动到BC＝8(单位长度)时，点B在数轴上表示的数是________
(3)P是线段AB上一点，当B点运动到线段CD上时，是否存在关系式．
若存在，求线段PD的长；若不存在，请说明理由．
【答案】
解：(1) 点B在数轴上表示的数是-8，设运动t秒时，BC＝8（单位长度），则：
①当点B在点C的左边时，
6t+8+2t＝24
t＝2(秒)
②当点B在点C的右边时，
6t-8+2t＝24
t＝4(秒)
答：当t等于2秒或4秒时，BC＝8(单位长度)
( http: / / www.21cnjy.com )(2) 由（1）知：当t＝2(秒)时，B点坐标为：-8+6t=﹣8+6×2=4（单位长度）
当t＝4(秒)时，B点坐标为：-8+6t=﹣8+6×4=16（单位长度）
所以答案为：4或16
(3) 存在，若存在，则有：BD＝AP+3PC，设运动时间为t(秒)，则：
1°当t＝3时，点B与点C重合，点P在线段AB上，O＜PC≤2且BD＝CD＝4，
AP+3PC＝AB+2PC＝2+2PC
所以：2+2PC=4，解得：PC＝1
∴此时， PD＝5
2°当时，点C在点A与点B之间，O＜PC＜2
①点P在线段AC上时．
BD＝CD-BC＝4-BC
AP+3PC＝AC+2PC＝AB-BC+2PC＝2-BC+2PC
由4-BC=2-BC+2PC， 可得： PC＝1， 此时PD＝5．
②点P在线段BC上时
BD＝CD-BC＝4-BC， AP+3PC＝AC+4PC＝AB-BC+4PC＝2-BC+4PC
由4-BC=2-BC+4PC，可得：，此时
3°当时，点A与在点C重合，0＜PC≤2
BD＝CD-AB＝2，AP+3PC＝4PC
由2＝4PC，可得：，此时
4°当时，0＜PC＜4
BD＝CD－BC＝4－BC，AP+3PC＝AB-BC+4PC＝2-BC+4PC
由4－BC=2-BC+4PC，可得：，此时
综上可得：存在此关系式，且PD的长为5或.
类型四、路程最短问题
5. 如图所示，某公司员工分别住A、B、C三个住宅区，A区有30人，B区有15人，C区有10人．三个区在同一条直线上，该公司的接送车打算在此间设一个停靠点，为使所有员工步行到停靠点的路程之和最小，那么停靠点的位置应设在哪个区
【答案与解析】
解：所有员工步行到停靠点A区的路程之和为:
0×30+100×15+(100+200)×10＝0+1500+3000＝4500(m)；
所有员工步行到停靠点B区的路程之和为:
100×30+0×15+200×10＝3000+0+2000＝5000(m)；
所有员工步行到停靠点C区的路程之和为：
(100+200)×30+15×200+10×0＝9000+3000+0＝12000(m)．
因为4500＜5000＜12000，所以所有员工步行到停靠点A区的路程之和最小，所以停靠点的位置应设在A.
【总结升华】本题是线段的概念在现实中的应用，根据题意分别计算停靠点分别在各点时员工步行的路程和，选择最小的即可得解.
举一反三：
【变式】如图，从A到B最短的路线是（　　）
A．A-G-E-B B．A-C-E-B
C．A-D-G-E-B D．A-F-E-B
【答案】D
图6
图7
图8
图9
图10