第二章 实数单元检测题（含解析）

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2023-2024学年度八年级上册数学第二章实数单元综合检测题
一、单选题
1．下列说法正确的是（ ）
A．平方根是 B．的平方根是
C．平方根等于它本身的数是1和0 D．一定是正数
2．估计+1的值在（　　）
A．2和3之间 B．3和4之间 C．4和5之间 D．5和6之间
3．下列各式中，与能合并的是（　　）
A． B． C． D．
4．已知：a＝，b＝，则a与b的关系是（ ）
A．a－b＝0 B．a＋b＝0 C．ab＝1 D．a2＝b2
二、填空题
5．比较大小：3_____5．（填“＞”、“＝”或“＜”）
6．的算术平方根为_____，﹣27立方根为_____．
7．已知：m、n为两个连续的整数，且m＜＜n，则m+n＝_____．
8．若二次根式有意义，则的取值范围是______________．
9．要使代数式有意义，x的取值范围是__________．
10．已知一个数的平方根是3a+1和a+11，求这个数的立方根是______．
11．最简二次根式与可以合并，则的值为____________．
三、解答题
12．把下列各数写入相应的集合中：-，，0.1，，，，0，0.1212212221．．． （相邻两个1之间2的个数逐次加1）
（1）正数集合{ }；
（2）有理数集合{ }；
（3）无理数集合{ }．
13．计算：
14．计算：
(1)；
(2)
15．计算：
（1）；（2）；
（3）；（4）；
16．化简下列各式．
（1）
（2）；
17．求x的值：
（1）；（2）.
18．已知2a﹣1的平方根为±3，3a+b﹣1的算术平方根为4，求a+2b的平方根．
19．已知＋＝b＋8
（1）求a的值；
（2）求a2－b2的平方根．
20．已知，的平方根是，c是的整数部分，求的平方根.
21．已知，求的值
22．已知，化简二次根式.
23．实数.在数轴上的位置如图所示，请化简： .
24．已知a是的整数部分，b是的小数部分，求的值.
25．如果一个正数x的两个平方根分别为a＋1和a－5．
（1）求a和x的值；
（2）求7x＋1的立方根．
26．已知一个正数的平方根是a+3和2a﹣15，b的立方根是﹣2，求﹣b﹣a的平方根．
27．先计算：
＝________，＝________，＝________，
＝________，＝0.
根据计算结果，回答：
（1）一定等于a吗？如果不是，那么＝________；
（2）利用你总结的规律，计算：
①若x＜2，则＝________；
②＝________．
（3）若a，b，c为三角形的三边长，化简：
＋＋.
28．细心观察下图，认真分析各式，然后解答问题．



……
（1）请用含n（n是正整数）的等式表示上述变化规律________，_________；
（2）请推算出的长；
（3）求出的值．
29．先阅读下面的解题过程，然后再解答.形如的化简，我们只要找到两个数a，b，使，，即，，那么便有：.
例如化简：.
解：首先把化为，
这里，，
由于，，
所以，
所以.
根据上述方法化简：.
30．阅读下列材料，然后解答下列问题：
在进行代数式化简时，我们有时会碰上如，这样的式子，其实我们还可以将其进一步化简：
(一) ；
(二) ；
(三) ．
以上这种化简的方法叫分母有理化．
(1)请用不同的方法化简：
①参照(二)式化简＝__________．
②参照(三)式化简＝_____________
(2)化简：．
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参考答案：
1．D
【分析】A、根据平方根的概念即可得到答案；
B、的平方根其实是9的平方根；
C、平方根等于它本身的数与算术平方根是它本身的数要分清楚；
D、先判断出，再利用算术平方根的性质直接得到答案．
【详解】A、是负数，负数没有平方根，不符合题意；
B、，9的平方根是，不符合题意；
C、平方根等于它本身的数是0，1的平方根是，不符合题意；
D、，正数的算术平方根大于0，符合题意．
故选：D．
【点睛】此题考查了平方根及算术平方根的定义及性质，熟练掌握相关知识是解题关键．
2．B
【分析】直接利用2＜＜3，进而得出答案．
【详解】解：∵2＜＜3，
∴3＜+1＜4，
故选：B．
【点睛】此题主要考查了估算无理数的大小，正确得出的取值范围是解题关键．
3．B
【分析】先化简二次根式，根据同类二次根式的定义判断即可．
【详解】解：A．，故该选项不正确，不符合题意；
B．，故该选项正确，符合题意；
C．，故该选项不正确，不符合题意；
D．，故该选项不正确，不符合题意．
故选B．
【点睛】本题考查了同类二次根式，掌握一般地，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式是解题的关键．
4．C
【分析】先分母有理化求出a、b，再分别代入求出ab、a+b、a-b、a2、b2各个式子的值，即可得出选项．
【详解】解：分母有理化，可得a=2+，b=2-，
∴a-b=（2+）-（2-）=2，故A选项错误，不符合题意；
a+b=（2+）+（2-）=4，故B选项错误，不符合题意；
ab=（2+）×（2-）=4-3=1，故C选项正确，符合题意；
∵a2=（2+）2=4+4+3=7+4，b2=（2-）2=4-4+3=7-4，
∴a2≠b2，故D选项错误，不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了分母有理化的应用，能求出每个式子的值是解此题的关键．
5．＜．
【分析】先把根号外的因式移入根号内，再比较即可．
【详解】解：3=，5=，
∵45＜50，
∴
∴，
故答案为：＜．
【点睛】本题考查了算术平方根和二次根式的大小比较，能选择适当的方法比较两个数的大小是解此题的关键．
6． 2； ﹣3
【分析】根据算术平方根与立方根的性质即可求出答案．
【详解】解：∵＝4，4的算术平方根为2，
∴的算术平方根为2；
∵，
∴﹣27立方根为﹣3，
故答案为：2；﹣3
【点睛】本题考查算术平方根与立方根的性质，属于基础题型．
7．7
【分析】先估算出的取值范围，得出m、n的值，进而可得出结论．
【详解】解：∵9＜11＜16
∴3＜＜4
∴m＝3，n＝4
∴m+n＝3+4＝7
故答案为7．
【点睛】本题考查的是估算无理数的大小，先根据题意算出的取值范围是解答此题的关键．
8．
【分析】根据二次根式有意义的条件即可求解．
【详解】解：由题意得：
，解得，
故答案为：．
【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，根据题意列出不等式并求解不等式是解题的关键．
9．且
【分析】根据二次根式有意义的条件可得，根据分式有意义的条件可得，再解不等式即可．
【详解】解：由题意得：且，
解得：且，
故答案为：且．
【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，分式有意义的条件．牢记分式、二次根式成立的条件是解题的关键．
10．4
【分析】根据一个正数的两个平方根互为相反数，可知3a+1+a+11=0，a=-3，从而得出答案．
【详解】由已知得，3a+1+a+11=0，解得a=-3，
所以3a+1=-8，a+11=8，
所以，这个数是64，
它的立方根是4．
故答案是：4.
【点睛】考查了平方根和立方根的概念．注意一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根．立方根的性质：一个正数的立方根式正数，一个负数的立方根是负数，0的立方根式0．
11．
【分析】由题意可得最简二次根式与是同类二次根式，于是可得关于m的方程，解方程即可求出m，进一步即得答案．
【详解】解：∵最简二次根式与是同类二次根式，
∴，解得：，
∴的值为．
故答案为：．
【点睛】本题考查了同类二次根式的定义，属于基础概念题型，熟知同类二次根式的概念是关键．
12．（1）0.1、、、0.1212212221．．．（相邻两个1之间2的个数逐次加1）；（2）、 0.1、 、 、0 ；（3）、、0.1212212221．．．（相邻两个1之间2的个数逐次加1）．
【分析】根据实数的分类标准进行填写即可．
【详解】解：（1）正数集合{0.1、、、0.1212212221．．．（相邻两个1之间2的个数逐次加1）}；
（2）有理数集合{ -、 0.1、 、 、0 }；
（3）无理数集合{、、0.1212212221．．．（相邻两个1之间2的个数逐次加1） }．
【点睛】本题主要考查了实数的分类，掌握有理数和无理数的概念是解答本题的关键．
13．
【分析】分别计算有理数的乘方、绝对值、二次根式及零指数幂，再进行加减即可．
【详解】解：原式．
【点睛】本题考查有理数的乘方，绝对值和二次根式的化简及零指数幂的性质，属于基础题，正确运算是解题的关键．要熟练掌握：任何一个不等于零的数的零次幂都等于1，．
14．(1)4
(2)
【分析】（1）先计算二次根式的乘法，绝对值，零次幂，负整数指数幂，再计算乘法，最后计算加减运算即可；
（2）先计算二次根式的除法，二次根式的乘法，再计算加减运算即可．
（1）
解：
=
=
=4
（2）
=
=
=
=
【点睛】本题考查的是零次幂与负整数指数幂的含义，实数的混合运算，二次根式的混合运算，掌握“二次根式的混合运算的运算顺序”是解本题的关键．
15．解：（1）；（2）15；（3）；（4）3
【分析】（1）先根据立方根、算术平方根和绝对值的意义分别计算，再合并即可；
（2）根据二次根式的混合运算法则进行计算即可；
（3）根据二次根式的混合运算法则进行计算即可；
（4）先计算平方、算术平方根、立方根，再相乘，最后合并.
【详解】解：（1）
=
=
=；
（2）
=
=
=15；
（3）
=
=
=
（4）
=
=
=3
【点睛】本题考查了实数和二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的化简和合并同类二次根式的法则是解此题的关键.
16．（1）；（2）．
【分析】（1）把二次根式化成最简二次根式，再合并同类二次根式即可；
（2）把二次根式化成最简二次根式，再把括号去掉，最后合并同类二次根式即可．
【详解】解：（1）
；
（2）
．
【点睛】本题考查的是二次根式的加减运算，二次根式的混合运算，掌握“二次根式的混合运算的运算顺序”是解本题的关键．
17．（1）；（2）
【分析】（1）根据平方根概念计算求解；
（2）先由－729的立方根是－9，得，再解方程即可.
【详解】解：（1）由，得，∴；
（2）由，得，即，解得.
【点睛】本题考查了平方根和立方根的概念，掌握概念是求解的关键.
18．±3
【分析】先根据2a﹣1的平方根为±3，3a+b﹣1的算术平方根为4求出ab的值，再求出a+2b的值，由平方根的定义进行解答即可．
【详解】解：∵2a﹣1的平方根为±3，
∴2a﹣1＝9，解得，2a＝10，
a＝5；
∵3a+b﹣1的算术平方根为4，
∴3a+b﹣1＝16，即15+b﹣1＝16，
解得b＝2，
∴a+2b＝5+4＝9，
∴a+2b的平方根为：±3．
【点睛】本题考查的是平方根及算术平方根的定义，熟知一个数的平方根有两个，这两个数互为相反数是解答此题的关键．
19．（1）17；（2）±15
【分析】（1）根据二次根式的性质可得：，即可解得，然后再代入可得b＝﹣8；
（2）根据（1）代入可求得a2﹣b2＝225，根据平方根的意义可解
【详解】根据题意得：，
解得：a＝17，
（2）b＋8＝0，
解得：b＝﹣8，
则a2﹣b2＝172﹣（﹣8）2＝225，
则a2－b2的平方根是：±15
20．的平方根是.
【分析】结合平方根的定义以及估算无理数大小的方法得出a，b，c的值，进而得出答案．
【详解】解：由题意，得，解得.
，解得.
因为，所以.
所以，所以的平方根是.
【点睛】本题考查估算无理数的大小，正确得出a，b，c的值是解题关键．
21．2019
【分析】根据二次根式的性质求出m≥2019，再化简绝对值，根据平方运算，可得答案．
【详解】∵
∴m≥2019
∴
∴原方程可化为
∴
∴
∴
【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，利用二次根式的性质化简绝对值是解题关键．
22．
【分析】根据二次根式有意义得到，结合已知条件得y＜0，化简即可得出最简形式．
【详解】由二次根式的定义知，则.
因为，所以x，y同号且不等于0，
所以，，
所以.
【点睛】此题考查二次根式的性质与化简，解题关键在于掌握其性质.
23．
【分析】根据a、b在数轴的位置可知a、b的大小关系，进而根据绝对值和二次根式的性质化简即可.
【详解】由图知a＜0＜b，且|a|＜|b|，
则原式=b﹣a+a﹣（a+b）
=b﹣a+a﹣a﹣b
=﹣a．
【点睛】本题考查绝对值和二次根式的性质，负数的绝对值是它的相反数，熟练掌握绝对值的性质是解题关键.
24．
【分析】首先确定a、b的值，然后代入计算.
【详解】解：∵，即.
∴，.
∴.
【点睛】本题考查了估算无理数的大小，估算的方法一般是利用完全平方数和算术平方根的知识，用逼近法确定无理数的整数部分.
25．（1）x=9；（2）4．
【分析】（1）根据一个正数的两个平方根互为相反数，得出以为未知数的方程，求解即可求出的值，结合可求出的值；
（2）先求出的值，再根据立方根的定义求解即可．
【详解】（1）由题意，得
解得
所以．
因为的平方根是，所以．
（2）因为，
所以7x＋1的立方根为4．
26．±2．
【分析】由一个数的平方根互为相反数得出a+2+2a-15=0，又b的立方根是-2，可求出b值，然后代入求出答案．，
【详解】∵一个数的平方根互为相反数，
∴a+3+2a-15=0，
解得：a=4，
又b的立方根是-2，
∴b=-8，
∴-b-a=8-4=4，
∴其平方根为±2，
即-b-a的平方根为±2．
【点睛】本题考查平方根性质，一元一次方程，立方根，求平方根，掌握平方根性质，一元一次方程的解法，立方根是解题关键．
27．3；0.5；6；；（1）|a|；（2）①2－x；②π－3.14，（3）a+b+c
【详解】分析：（1）根据求出即可；（2）根据求出即可.
详解：=3，=0.5，=6，=，＝0.
（1）=|a|
（2）①2－x，②π－（3）14
（3）由题意得a＋b＞c，b＜c＋a，b＋c＞a，
∴a＋b－c＞0，b－c－a＜0，b＋c－a＞0，
∴原式＝|a＋b－c|＋|b－c－a|＋|b＋c－a|＝a＋b－c－(b－c－a)＋(b＋c－a)＝a＋b＋c.
点睛：本题考查了二次根式的性质，解题的关键是正确理解题目所给出的相关例子，本题属于基础题型.
28．（1），；（2）；（3）．
【分析】（1）利用S1，S2，S3的值和变化规律直接得出答案即可；
（2）结合（1）中规律即可求出OA102的值即可求出；
（3）根据总结的规律计算，得到答案．
【详解】解：（1）∵，，
，，
，，
……，
∴，；
（2）∵OA1=，OA2=，OA3=，…，
∴OA10=，
故答案为：；
（3）S12+S22+S32+…+S102
=()2+()2+()2+…+()2
= (1+2+3+…+10)
=．
【点睛】本题考查的是勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2．解题的关键是观察，观察题中给出的结论，由此结论找出规律进行计算．
29．见解析
【分析】应先找到哪两个数的和为13，积为42．再判断是选择加法，还是减法．
【详解】根据题意，可知，，
由于，，
所以，，
所以.
【点睛】此题考查二次根式的性质与化简，解题关键在于求得，.
30．见解析．
【分析】（1）原式各项仿照题目中的分母有理化的方法计算即可得到结果；
（2）原式各项分母有理化，计算即可．
【详解】解：(1)①；
②；
(2)原式．
【点睛】此题主要考查了二次根式的有理化，解答此题要认真阅读前面的分析，根据题目的要求选择合适的方法解题．
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