第一章 勾股定理单元检测题（含解析）

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2023-2024学年度八年级上册数学第一章勾股定理单元综合检测题
一、单选题
1．如图，字母B所代表的正方形的面积是（ ）
A．194 B．144 C．13 D．12
2．ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别记为a，b，c，由下列条件不能判定ABC为直角三角形的是（ ）
A．∠A+∠B=∠C B．∠A：∠B：∠C=1：2：3
C．a2=c2﹣b2 D．a：b：c=3：4：6
3．在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别记为a，b，c，下列结论中不正确的是（ ）
A．如果a2=b2 c2，那么△ABC是直角三角形且∠A=90°
B．如果∠A:∠B:∠C=1:2:3，那么△ABC是直角三角形
C．如果，那么△ABC是直角三角形
D．如果，那么△ABC是直角三角形
4．我国古代数学著作《九章算术》中有这样一个问题： “今有方池一丈，葭生其中央，出水一 尺，引葭赴岸，适与岸齐．水深、葭长各几何？ ”．其大意是：如图，有一个水池，水面是 一个边长为 10 尺 (丈、尺是长度单位，1 丈＝10 尺) 的正方形，在水池正中央有一根芦苇， 它高出水面 1 尺．如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面．水 的深度与这根芦苇的长度分别是多少？若设这跟芦苇的长度为 x 尺，根据题意，所列方程正 确的是( )
A．102＋(x－1)2＝x2 B．102＋(x－1)2 ＝ (x＋1)2
C．52＋(x－1)2＝x2 D．52＋(x－1)2 ＝ (x＋1)2
5．如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为10cm，正方形A的边长为6cm、B的边长为5cm、C的边长为5cm，则正方形D的边长为（ ）
A．cm B．4cm C．cm D．3cm
6．已知a、b、c是三角形的三边长，若满足，则这个三角形的形状是（ ）
A．等腰三角形 B．等边三角形 C．锐角三角形 D．直角三角形
7．如图，在水塔O的东北方向24m处有一抽水站A，在水塔的 东南方向18m处有一建筑工地B，在AB间建一条直水管，则 水管AB的长为（ ）
A．40m B．45m C．30m D．35m
8．如图，有两颗树，一颗高10米，另一颗高5米，两树相距12米．一只鸟从一颗树的树梢飞到另一颗树的树梢，问小鸟至少飞行（ ）
A．8米 B．10米 C．13米 D．14米
9．如图，长方形纸片ABCD中，AB=3cm，AD=9cm，将此长方形纸片折叠，使点D与点B重合，点C落在点H的位置，折痕为EF，则△ABE的面积为（ ）
A．6cm2 B．8cm2 C．10cm2 D．12cm2
二、填空题
10．若直角三角形其中两条边的长分别为3，4，则该直角三角形斜边上的高的长为________．
11．如图，圆柱形玻璃杯高为12cm、底面周长为18cm，在杯内离杯底4cm的点C处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿4cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为_______cm．
12．如图，分别以直角三角形三边向外作三个半圆，若S1=30，S2=40，则S3=_____．
13．如图，在直线上依次摆放着七个正方形，已知斜放置的三个正方形的面积分别是1、2、3，正放置的四个正方形的面积依次是、、、，则_______．
三、解答题
14．如图是一块地，已知AD=4m，CD=3m，AB=13m，BC=12m，且CD⊥AD，求这块地的面积．
15．如图，在一次地震中，一棵垂直于地面且高度为16米的大树被折断，树的顶部落在离树根8米处，即，求这棵树在离地面多高处被折断（即求AC的长度）？
16．如图，有一架秋千，当他静止时，踏板离地的垂直高度，将他往前推送（水平距离）时，秋千的踏板离地的垂直高度，秋千的绳索始终拉得很直，求绳索的长度．
17．如图所示，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为55cm，10cm，6cm，点和点是这个台阶的两个相对的端点，点处有一只蚂蚁，那么这只蚂蚁从点爬到点的最短路程是多少？
18．如图，一架长2.5m的梯子AB斜靠在墙AC上，∠C＝90°，此时，梯子的底端B离墙底C的距离BC为0.7m
（1）求此时梯子的顶端A距地面的高度AC；
（2）如果梯子的顶端A下滑了0.9m，那么梯子的底端B在水平方向上向右滑动了多远？
19．如图，某人到岛上去探宝，从A处登陆后先往东走4 km，又往北走1.5 km，遇到障碍后又往西走2 km，再折回向北走到4.5 km处往东一拐，仅走0.5 km就找到宝藏．问登陆点A与宝藏埋藏点B之间的距离是多少？
20．《城市交通管理条例》规定：小汽车在城市街路上的行驶速度不得超过70千米/时．如图，一辆小汽车在一条城市街路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到车速检测仪A正前方30米的C处，过了2秒后，小汽车行驶至B处，若小汽车与观测点间的距离AB为50米，请通过计算说明：这辆小汽车是否超速？
21．在甲村至乙村的公路旁有一块山地正在开发，现有一C处需要爆破，已知点C与公路上的停靠站A的距离为300米，与公路上的另一停靠站B的距离为400米，且CA⊥CB，如图所示．为了安全起见，爆破点C周围半径250米范围内不得进入，则在进行爆破时，公路AB段是否有危险？是否需要暂时封锁？请用你学过的知识加以解答．
22．有一辆装满货物的卡车，高2.5米，宽1.6米，要开进如图所示的上边是半圆，下边是长方形的桥洞，已知半圆的直径为2米，长方形的另一条边长是2.3米.
（1）这辆卡车能否通过此桥洞？试说明你的理由.
（2）为了适应车流量的增加，想把桥洞改为双行道，并且要使宽1.2米，高为2.8米的卡车能安全通过，那么此桥洞的宽至少应增加到多少米？
23．课间，小明拿着老师的等腰三角板玩，不小心掉到两墙之间，如图．
（1）求证：△ADC≌△CEB；
（2）从三角板的刻度可知AC=25cm，请你帮小明求出砌墙砖块的厚度a的大小（每块砖的厚度相等）．
24．如图，有两根长杆隔河相对，一杆DC高3m，另一杆AB高2m，两杆相距BC为5m，两根长杆都与地面垂直，现两杆顶部各有一只鱼鹰，他们同时看到两杆之间的河面上E处浮出一条小鱼，于是同时以同样的速度飞来夺鱼，结果两只鱼鹰同时叼住小鱼，求两杆底部距小鱼的距离各是多少米？（假设小鱼在此过程中保持不变）．
25．学完勾股定理之后，同学们想利用升旗的绳子、卷尺，测算出学校旗杆的高度．爱动脑筋的小明这样设计了一个方案：如图，小亮将升旗的绳子拉直到末端刚好接触地面,测得此时绳子末端距旗杆底端1米，然后将绳子末端拉直到距离旗杆5m处，测得此时绳子末端距离地面高度为1m，如果设旗杆的高度为x米(滑轮上方的部分忽略不计)，求x的值．
26．在波平如镜的湖面上有一朵盛开的美丽的红莲，它高出水面3尺(如图)．突然一阵大风吹过，红莲被吹至一边，花朵刚好齐及水面，如果知道红莲离开原处的水平距离为6尺，请问水深多少？
27．如图，在边长为1的正方形组成的网格图中，△ABC的三个顶点均在格点上，请按要求完成下列问题：
（1）求△ABC的周长；
（2）试判断△ABC的形状．
28．我们古代数学中有这样一道数学题:有一棵枯树直立在地上,树高2丈,粗3尺,有一根藤条从树根处缠绕而上,缠绕7周到达树顶,(如图所示),则这根藤条有多长 (注:枯树可以看成圆柱.树粗3尺,指的是:圆柱底面周长为3尺,1丈=10尺)
29．学校要征收一块土地，形状如图所示，∠B＝90°，AB＝20 m，BC＝15 m，，AD=24m，CD＝7 m，土地价格为1 000元/m2，请你计算学校征收这块地需要多少钱？
30．勾股定理神秘而美妙，它的证法多样，其巧妙各有不同，其中的“面积法”给了小聪以灵感，他惊喜的发现；当两个全等的直角三角形如图1或图2摆放时，都可以用“面积法”来证明，下面是小聪利用图1证明勾股定理的过程：
将两个全等的直角三角形按图1所示摆放，其中∠DAB＝90°，求证：a2+b2＝c2．
证明：连接DB，过点D作DF⊥BC交BC的延线于点F，则DF＝EC＝b﹣a．
∵S四边形ADCB＝S△ACD+S△ABC＝b2+ab
又∵S四边形ADCB＝S△ADB+S△DBC＝c2+a（b﹣a）
∴b2+ab＝c2+a（b﹣a）
∴a2+b2＝c2
请参照上述证法，利用图2完成下面的证明：
将两个全等的直角三角形按图2所示摆放，其中∠DAB＝90°．求证：a2+b2＝c2．
31．如图所示，已知△ABC中，∠B＝90°，AB＝16cm，BC＝12cm，P、Q是△ABC边上的两个动点，其中点P从点A开始沿A→B方向运动，且速度为每秒1cm，点Q从点B开始沿B→C→A方向运动，且速度为每秒2cm，它们同时出发，设出发的时间为ts．
(1)出发3s后，求PQ的长；
(2)当点Q在边BC上运动时，出发多久后，△PQB能形成等腰三角形？
(3)当点Q在边CA上运动时，求能使△BCQ成为等腰三角形的运动时间．
32．如图，将边长为a与b、对角线长为c的长方形纸片ABCD，绕点C顺时针旋转90°得到长方形FGCE，连接AF．通过用不同方法计算梯形ABEF的面积可验证勾股定理，请你写出验证的过程．
33．如图，公路MN和公路PQ在点P处交会，公路PQ上点A处有学校，点A到公路MN的距离为80m，现有一拖拉机在公路MN上以18km/h的速度沿PN方向行驶，拖拉机行驶时周围100m以内都会受到噪音的影响，试问该校受影响的时间为多长？
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参考答案：
1．B
【分析】如图，利用勾股定理得到a2+b2=c2，再根据正方形的面积公式得到a2=21，c2=169，则可计算出b2=144，从而得到字母B所代表的正方形的面积．
【详解】解：如图，
∵a2+b2=c2，
而a2=25，c2=169，
∴b2=169-25=144，
∴字母B所代表的正方形的面积为144．
故选：B．
【点睛】本题考查了勾股定理：会利用勾股定理进行几何计算．
2．D
【分析】由三角形内角和定理及勾股定理的逆定理进行判断即可．
【详解】解：A、∠A＋∠B＝∠C，又∠A＋∠B＋∠C＝180°，则∠C＝90°，是直角三角形；
B、∠A：∠B：∠C＝1：2：3，又∠A＋∠B＋∠C＝180°，则∠C＝90°，是直角三角形；
C、由a2＝c2 b2，得a2＋b2＝c2，符合勾股定理的逆定理，是直角三角形；
D、32＋42≠62，不符合勾股定理的逆定理，不是直角三角形．
故选：D．
【点睛】本题考查了直角三角形的判定，注意在应用勾股定理的逆定理时，应先认真分析所给边的大小关系，确定最大边后，再验证两条较小边的平方和与最大边的平方之间的关系，进而作出判断．
3．A
【分析】根据直角三角形的判定和勾股定理的逆定理解答即可．
【详解】解：A、如果 a2=b2-c2，即b2=a2+c2，那么△ABC 是直角三角形且∠B=90°，选项错误，符合题意；
B、如果∠A：∠B：∠C=1：2：3，由∠A+∠B+∠C=180°，可得∠A=90°，那么△ABC 是直角三角形，选项正确，不符合题意；
C、如果 a2：b2：c2=9：16：25，满足a2+b2=c2，那么△ABC 是直角三角形，选项正确，不符合题意；
D、如果∠A-∠B=∠C，由∠A+∠B+∠C=180°，可得∠A=90°，那么△ABC 是直角三角形，选项正确，不符合题意；
故选：A．
【点睛】本题考查的是直角三角形的判定和勾股定理的逆定理的应用，如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形就是直角三角形．
4．C
【分析】设这跟芦苇的长度为 x 尺，根据勾股定理，即可求解．
【详解】解：设这跟芦苇的长度为 x 尺，根据题意得：
52＋(x－1)2 ＝x2
故选：C
【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用，明确题意，准确构造直角三角形是解题的关键．
5．A
【详解】运用直角三角形的勾股定理，设正方形D的边长为，则
，（负值已舍），故选A
6．D
【分析】首先根据绝对值，平方数与算术平方根的非负性，求出a，b，c的值，在根据勾股定理的逆定理判断其形状是直角三角形．
【详解】∵（a-6）2≥0，≥0，|c-10|≥0，
∴a-6=0，b-8=0，c-10=0，
解得：a=6，b=8，c=10，
∵62+82=36+64=100=102，
∴这个三角形是直角三角形．
故选D．
【点睛】本题主要考查了非负数的性质与勾股定理的逆定理，此类题目在考试中经常出现，是考试的重点．
7．C
【分析】由题意可知东北方向和东南方向间刚好是一直角，利用勾股定理解图中直角三角形即可．
【详解】解：∵OA是东北方向，OB是东南方向，
∴∠AOB=90°，
又∵OA=24m，OB=18m，
∴30m．
故选：C．
【点睛】本题考查的知识点是解直角三角形的应用，正确运用勾股定理，善于观察题目的信息是解题以及学好数学的关键．
8．C
【详解】根据题意，可得图形如下图，因此可构成直角三角形，因此可得.
故选C
9．A
【分析】根据折叠的条件可得：，在中，利用勾股定理就可以求解．
【详解】将此长方形折叠，使点与点重合，，
，
根据勾股定理得：，
解得：．
．
故选：A．
【点睛】本题考查了利用勾股定理解直角三角形，掌握直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方是解题的关键．
10．2.4或
【分析】分两种情况：直角三角形的两直角边为3、4或直角三角形一条直角边为3，斜边为4，首先根据勾股定理即可求第三边的长度，再根据三角形的面积即可解题．
【详解】若直角三角形的两直角边为3、4，则斜边长为，
设直角三角形斜边上的高为h，
，
∴．
若直角三角形一条直角边为3，斜边为4，则另一条直角边为
设直角三角形斜边上的高为h，
，
∴．
故答案为：2.4或．
【点睛】本题考查了勾股定理和直角三角形的面积，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
11．15
【分析】过作于，作关于的对称点，连接交于，连接，则就是蚂蚁到达蜂蜜的最短距离，求出，，根据勾股定理求出即可．
【详解】解：沿过的圆柱的高剪开，得出矩形，
过作于，作关于的对称点，连接交于，连接，
则就是蚂蚁到达蜂蜜的最短距离，
，，
，
，，
在△中，由勾股定理得：，
故答案为：15．
【点睛】本题考查了勾股定理，轴对称最短路线问题的应用，解题的关键是找出最短路线．
12．70
【分析】根据勾股定理以及圆面积公式，可以证明：S1+S2=S3．故S3=70．
【详解】设直角三角形三边分别为a、b、c，如图所示：
则，，.
∵a2+b2=c2，
∴．
即S1+S2=S3．
∴S3=70．
故答案为70.
【点睛】本题考查了圆的面积公式和勾股定理的应用，注意发现此图中的结论：S1+S2=S3．
13．4
【分析】如图（见解析），先根据正方形的性质、三角形全等的判定定理与性质可得，再根据勾股定理、等量代换可得，同理可得其他正方形的对应等式，然后代入求和即可得．
【详解】解：设正放置的四个正方形的边长分别为，，，，
则
如图，由正方形的性质得：，
，
，即
在和中，
，，
在中，，即
同理可得：
故答案为：4．
【点睛】本题考查了正方形的性质、三角形全等的判定定理与性质、勾股定理等知识点，解题的关键是根据三角形全等的判定方法找出全等三角形．
14．
【分析】连接，根据勾股定理求得的长，根据勾股定理的逆定理可得，根据，即可求解．
【详解】解：连接，
∵
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
又∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了勾股定理以及勾股定理的逆定理，掌握勾股定理是解题的关键．
15．这棵树在离地面6米处被折断
【分析】设，利用勾股定理列方程求解即可.
【详解】解：设，
∵在中，，
∴，
∴．
答：这棵树在离地面6米处被折断
【点睛】本题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解答本题的关键．直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方． 当题目中出现直角三角形，且该直角三角形的一边为待求量时，常使用勾股定理进行求解．有时也可以利用勾股定理列方程求解．
16．
【分析】设秋千的绳索长为，则，，利用勾股定理得，再解方程即可得出答案．
【详解】解：设秋千的绳索长为，则，
，
在中，
，即，
解得，
答：绳索的长度是．
【点睛】此题主要考查了勾股定理的应用，关键是正确理解题意，表示出AC、AB的长，掌握直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方．
17．73cm
【分析】首先把楼梯展开得到平面几何图，根据“两点之间，线段最短”得到蚂蚁所走的最短路线为AB，则问题是求AB的长，根据已知数据得出AC、BC的长，再利用勾股定理求出AB的长，即可完成解答.
【详解】解：如图所示，将这个台阶展开成一个平面图形，则蚂蚁爬行的最短路程就是线段的长.
在中，，.
由勾股定理，得.所以.
因此，蚂蚁从点爬到点的最短路程是73cm.
【点睛】此题考查勾股定理的应用，把立体几何图中的问题转化为平面几何图中的问题是解题的关键.
18．（1）2.4米；（2）1.3m
【分析】（1）直接利用勾股定理求出AC的长，进而得出答案；
（2）直接利用勾股定理得出B′C，进而得出答案．
【详解】解：（1）∵∠C＝90°，AB＝2.5，BC＝0.7，
∴AC＝=（米），
答：此时梯顶A距地面的高度AC是2.4米；
（2）∵梯子的顶端A下滑了0.9米至点A′，
∴A′C＝AC A′A＝2.4 0.9＝1.5（m），
在Rt△A′CB′中，由勾股定理得：A′C2＋B′C2＝A′B′2，
∴1.52＋B′C2＝2.52，
∴B′C＝2（m），
∴BB′＝CB′ BC＝2 0.7＝1.3（m），
答：梯子的底端B在水平方向滑动了1.3m．
【点睛】此题主要考查了勾股定理的实际应用，熟练掌握勾股定理是解题关键．
19．登陆点A与宝藏埋藏点B之间的距离是6.5 km.
【分析】过点B作BC⊥AD于点C,根据题意可得AC＝4－2＋0.5＝2.5(km),BC＝4.5＋1.5＝6(km),然后根据勾股定理可得AB2＝AC2＋BC2＝2.52＋62＝6.52,继而求出AB.
【详解】解：如图,过点B作BC⊥AD于点C,
则AC＝4－2＋0.5＝2.5(km),BC＝4.5＋1.5＝6(km),
在Rt△ABC中,由勾股定理,得:
AB2＝AC2＋BC2＝2.52＋62＝6.52,
∴AB＝6.5(km)．
答:登陆点A与宝藏埋藏点B之间的距离是6.5 km.
【点睛】本题主要考查勾股定理的应用,解决本题的关键是要熟练掌握利用勾股定理进行解答.
20．这辆小汽车超速了．
【分析】求出BC的距离，根据时间求出速度，从而可知道是否超速．
【详解】解：根据题意：∠ACB= 90°
由勾股定理可得：
BC=米
40米= 0.04千米，
2秒=小时；
0.04÷= 72千米/时> 70千米/时；
所以超速了．
【点睛】本题考查勾股定理的应用，解题的关键是掌握构造直角三角形，确定直角边，斜边即可．
21．有危险，需要暂时封锁
【分析】如图，本题需要判断点C到AB的距离是否小于250米，如果小于则有危险，大于则没有危险．因此过C作CD⊥AB于D，然后根据勾股定理在直角三角形ABC中即可求出AB的长度，然后利用三角形的面积公式即可求出CD，然后和250米比较大小即可判断需要暂时封锁．
【详解】解：如图所示，过点C作CD⊥AB于点D．
∵BC＝400米，AC＝300米，∠ACB＝90°，
在△ABC中，
∴米．
∵S△ABC＝AB·CD＝BC·AC，
∴CD＝＝240米．
∵240米＜250米，
∴在进行爆破时，公路AB段有危险，需要暂时封锁．
【点睛】本题考查了勾股定理的应用，解题的关键是构造直角三角形，以便利用勾股定理．
22．(1)能通过，理由见解析；(2) 桥洞的宽至少应增加到2.6米.
【分析】（1）如图①，当桥洞中心线两边各为0.8米时，由勾股定理得方程，解出x的值，再用x+2.3与卡车的高2.5作比较即可；
（2）如图②，在直角三角形AOB中，已知OB=1.2，AB=2.8－2.3=0.5，由此可求OA的长，即桥洞的半径，再乘以2即得结果.
【详解】解：（1）能通过.理由如下：如图①所示，当桥洞中心线两边各为0.8米时，由勾股定理得，解得，∵，∴卡车能通过.
（2）如图②所示，在直角三角形AOB中，已知OB=1.2，AB=2.8－2.3=0.5，由勾股定理得：，∴，
∴桥洞的宽至少应增加到（米）.
① ②
【点睛】本题考查了勾股定理的应用，解题的关键是正确理解题意，画出图形，弄清相关线段所表示的实际数据.
23．（1）证明见解析；（2）5cm．
【分析】（1）根据题意可知AC=BC，∠ACB=90°，AD⊥DE，BE⊥DE，进而得到∠ADC=∠CEB=90°，再根据等角的余角相等可得∠BCE=∠DAC，从而得到结论；
（2）根据题意得：AD=4a，BE=3a，根据全等可得DC=BE=3a，由勾股定理可得（4a）2+（3a）2=252，再解即可．
【详解】解：（1）根据题意得：AC=BC，∠ACB=90°，AD⊥DE，BE⊥DE，
∴∠ADC=∠CEB=90°，
∴∠ACD+∠BCE=90°，∠ACD+∠DAC=90°，
∴∠BCE=∠DAC，
在△ADC和△CEB中，
，
∴△ADC≌△CEB（AAS）；
（2）由题意得：AD=4a，BE=3a，
由（1）得：△ADC≌△CEB，
∴DC=BE=3a，
在Rt△ACD中：AD2+CD2=AC2，
∴（4a）2+（3a）2=252，
∵a＞0，
解得a=5，
答：砌墙砖块的厚度a为5cm．
【点睛】本题考查了三角形全等的判定，余角的性质和勾股定理，其中熟练掌握三角形全等的判定方法和勾股定理是解题关键.
24．3m和2m
【分析】根据题意结合勾股定理得出AB2+BE2=EC2+DC2，进而得出答案．
【详解】由题意可得：AE=DE，
则，
故，
解得：BE=3，
则EC=5 3=2(m)，
答：两杆杆底到E处的水平距离分别是3m和2m.
【点睛】这道题主要考查勾股定理的应用，根据题意以及勾股定理建立方程并求解是解答的关键，勾股定理:直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方.
25．x值为12.5
【分析】根据旗杆、绳子、地面正好构成直角三角形，再利用勾股定理解答即可．
【详解】由左图，根据勾股定理得，绳长的平方=x2+12，
右图，根据勾股定理得，绳长的平方=（x-1）2+52，
∴x2 +12=（x-1）2+52，解得x=12.5.
答x值为12.5.
【点睛】本题考查的知识点是勾股定理的应用，解题的关键是熟练的掌握勾股定理的应用.
26．4.5尺．
【详解】试题分析：首先画出示意图，设水深为h尺，则AB＝h尺，然后表示出AC、BC的长度，由勾股定理列方程求解即可.
试题解析：
设水深为h尺，根据题意画出图形，如图：
在Rt△ABC中，AB＝h尺，AC＝(h＋3)尺，BC＝6尺．
由勾股定理，得AC2＝AB2＋BC2，即(h＋3)2＝h2＋62，解得h＝4.5.
∴水深4.5尺．
点睛：本题关键在于设出未知数，找出等量关系列方程求解.
27．（1）；（2）直角三角形.
【分析】（1）利用勾股定理计算AB、BC、AC的长即可求出△ABC的周长；
（2）利用勾股定理的逆定理证明△ABC为直角三角形.
【详解】（1）AB=，BC=，AC=
所以，△ABC的周长AB+BC+AC=；
（3）∵（2）2+（）2=52，
∴AC2+AB2=BC2，
∴△ABC为直角三角形，
【点睛】此题主要考查了勾股定理及其逆定理的应用，熟练掌握定理是解决本题的关键.
28．这根藤条有29尺.
【分析】由于树可以近似看作圆柱，藤条绕树缠绕，我们可以按如图所示的方法，转化为平面图形利用勾股定理来解决．
【详解】如图所示，在RtΔABC中，
由勾股定理得AB2=BC2+AC2，
因为BC=20，AC=3×7=21，
所以AB2=202+212=841，
所以AB=29，
所以这根藤条有29尺.
【点睛】本题考查了勾股定理的应用，能够把实际问题抽象成数学问题是解题的关键.
29．元
【分析】直接利用勾股定理求出AC2的值，再利用勾股定理求出AD的值，进而得出答案.
【详解】连接AC，将四边形分割成两个三角形，其面积为两个三角形的面积之和，
在直角△ABC中，AC为斜边，
则AC=，
在直角△ACD中，AC为斜边，
则AD=，
四边形ABCD面积S=AB×BC+AD×CD=234米2，
234×1000＝234000=2.34×105 (元)．
答：学校征收这块地需要2.34×105元
30．见解析
【分析】首先连结BD，过点B作DE边上的高BF，则BF=b-a，用两种方法表示出S四边形ADEB，两者相等，整理即可得证．
【详解】证明：如图，连接BD，过点B作DE边上的高BF，可得BF=b-a
∵S四边形ADEB ，
S四边形ADEB
【点睛】本题考查了勾股定理的证明，用两种方法表示出四边形是解题的关键．
31．(1)PQ＝cm
(2)出发秒后△PQB能形成等腰三角形
(3)当t为11秒或12秒或13.2秒时，△BCQ为等腰三角形．
【分析】（1）可求得AP和BQ，则可求得BP，由勾股定理即可得出结论；
（2）用t可分别表示出BP和BQ，根据等腰三角形的性质可得到BP=BQ，可得到关于t的方程，可求得t；
（3）用t分别表示出BQ和CQ，利用等腰三角形的性质可分BQ=BC、CQ=BC和BQ=CQ三种情况，分别得到关于t的方程，可求得t的值．
【详解】（1）当t＝3时，则AP＝3，BQ＝2t＝6，
∵AB＝16cm，
∴BP＝AB﹣AP＝16﹣3＝13（cm），
在Rt△BPQ中，PQ＝＝＝（cm）．
（2）由题意可知AP＝t，BQ＝2t，
∵AB＝16，
∴BP＝AB﹣AP＝16﹣t，
当△PQB为等腰三角形时，则有BP＝BQ，
即16﹣t＝2t，解得t＝，
∴出发秒后△PQB能形成等腰三角形；
（3）①当CQ＝BQ时，如图1所示，
则∠C＝∠CBQ，
∵∠ABC＝90°，
∴∠CBQ+∠ABQ＝90°．
∠A+∠C＝90°，
∴∠A＝∠ABQ，
∴BQ＝AQ，
∴CQ＝AQ＝10，
∴BC+CQ＝22，
∴t＝22÷2＝11秒．
②当CQ＝BC时，如图2所示，
则BC+CQ＝24，
∴t＝24÷2＝12秒．
③当BC＝BQ时，如图3所示，
过B点作BE⊥AC于点E，
则BE＝，
∴CE＝＝＝，
∴CQ＝2CE＝14.4，
∴BC+CQ＝26.4，
∴t＝26.4÷2＝13.2秒．
综上所述：当t为11秒或12秒或13.2秒时，△BCQ为等腰三角形．
【点睛】本题考查了勾股定理、等腰三角形的性质、方程思想及分类讨论思想等知识.用时间t表示出相应线段的长，化“动”为“静”是解决这类问题的一般思路，注意方程思想的应用．
32．见解析
【分析】根据S梯形ABEF=S△ABC+S△CEF+S△ACF，利用三角形以及梯形的面积公式即可证明．
【详解】证明：∵S梯形ABEF=（EF+AB） BE=（a+b） （a+b）=（a+b）2，
∵Rt△CDA≌Rt△CGF，
∴∠ACD=∠CFG，
∵∠CFG+∠GCF=90°，
∴∠ACD+∠GCF=90°，
即∠ACF=90°，
∵S梯形ABEF=S△ABC+S△CEF+S△ACF，
∴S梯形ABEF=ab+ab+c2，
∴（a+b）2=ab+ab+c2
∴a2+2ab+b2=2ab+c2，
∴a2+b2=c2．
考点：勾股定理的证明．
33．24s.
【详解】试题分析：设拖拉机开到C处刚好开始受到影响，行驶到D处时结束，在Rt△ACB中求出CB，继而得出CD，再由拖拉机的速度可得出所需时间．
试题解析：设拖拉机开到C处刚好开始受到影响，行驶到D处时结束了噪声的影响．
则有CA=DA=100m，
在Rt△ABC中，CB＝＝60(m)，
∴CD=2CB=120m，
∵18km/h=18000m/3600s=5m/s，
∴该校受影响的时间为：120÷5=24（s）．
答：该校受影响拖拉机产生的噪声的影响时间为24秒．
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