第二章 一元二次方程单元检测题（含解析）

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2023-2024学年度九年级上册数学第二章一元二次方程单元综合检测题
一、单选题
1．若m、n是一元二次方程x2＋3x﹣9＝0的两个根，则的值是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．12
2．在一次酒会上，每两人都只碰一次杯，如果一共碰杯55次，则参加酒会的人数为（ ）
A．9人 B．10人 C．11人 D．12人
3．若a是关于x的方程3x2﹣x﹣1=0的一个根，则2021﹣6a2＋2a的值是（ ）
A．2023 B．2022 C．2020 D．2019
4．已知 ，则 的值为( )
A．-5或1 B．1 C．5 D．5或-1
5．设α、β是方程 的两个实数根，则 的值为（ ）
A．－2014 B．2014 C．2013 D．－2013
6．某校办工厂生产的某种产品，今年产量为200件，计划通过改革技术，使今后两年的产量都比前一年增长一个相同的百分数，使得三年的总产量达到1 400件．若设这个百分数为，则可列方程（　　）
A． B．
C． D．
7．如图，一农户要建一个矩形花圃，花圃的一边利用长为12m的住房墙，另外三边用25m长的篱笆围成，为方便进出，在垂直于住房墙的一边留一个1m宽的门，花圃面积为80m2，设与墙垂直的一边长为xm，则可以列出关于x的方程是（　　）
A．x（26﹣2x）=80 B．x（24﹣2x）=80
C．（x﹣1）（26﹣2x）=80 D．（x-1）（25﹣2x）=80
二、填空题
8．若两个最简二次根式与是同类二次根式，则=_____________．
9．已知实数， 满足等式，，则的值是______．
10．方程的两个根为、，则的值等于______．
11．数学活动课上，小云和小王在讨论张老师出示的一道代数式求值问题：
已知实数同时满足，求代数式的值．
结合他们的对话，请解答下列问题：
（1）当时，a的值是__________．
（2）当时，代数式的值是__________．
三、解答题
12．用适当的方法解下列一元二次方程
(1)
(2)
(3)
(4)
13．按要求解方程：
(1)直接开平方法： 4（t-3）2=9（2t-3）2；
(2)配方法：2x2-7x-4=0；
(3)公式法： 3x2+5（2x+1）=0；
(4)因式分解法：3（x-5）2=2（5-x）；
(5)因式分解法：abx2-（a2+b2）x+ab=0 （ab≠0） ；
(6)用配方法求最值：6x2-x-12．
14．解下列方程
(1)（x﹣1）2＝4；
(2)x2﹣4x+2＝0；（配方法）
(3)（x+1）（x﹣2）＝x+1；
(4)2x2+3x﹣1=0 （公式法）
15．一商店销售某种商品，平均每天可售出20件，每件盈利40元.为了扩大销售、增加盈利，该店采取了降价措施，在每件盈利不少于25元的前提下，经过一段时间销售，发现销售单价每降低1元，平均每天可多售出2件.
（1）若降价3元，则平均每天销售数量为________件；
（2）当每件商品降价多少元时，该商店每天销售利润为1200元？
16．已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，．
(1)求m的取值范围；
(2)当时，求m的值．
17．水果店张阿姨以每斤2元的价格购进某种水果若干斤，然后以每斤4元的价格出售，每天可售出100斤，通过调查发现，这种水果每斤的售价每降低0.1元，每天可多售出20斤，为保证每天至少售出260斤，张阿姨决定降价销售．
（1）若将这种水果每斤的售价降低x元，则每天的销售量是 斤（用含x的代数式表示）；
（2）销售这种水果要想每天盈利300元，张阿姨需将每斤的售价降低多少元？
18．有一人患了流感，经过两轮传染后共有64人患了流感．
（1）求每轮传染中平均一个人传染了几个人？
（2）如果不及时控制，第三轮将又有多少人被传染？
19．一元二次方程．
(1)若方程有两实数根，求m的范围．
(2)设方程两实根为，，且，求m．
20．读诗词解题：（通过列方程式，算出周瑜去世时的年龄）
大江东去浪淘尽，千古风流数人物；
而立之年督东吴，早逝英年两位数；
十位恰小个位三，个位平方与寿符；
哪位学子算得快，多少年华属周瑜？
21．已知关于x的一元二次方程（a＋c）x2＋2bx＋（a﹣c）＝0，其中a，b，c分别为△ABC三边的长．
(1)如果x＝﹣1是方程的根，试判断△ABC的形状，并说明理由；
(2)如果△ABC是等边三角形，试求这个一元二次方程的根．
22．已知关于x的一元二次方程x2﹣6x+（2m+1）=0有实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）如果方程的两个实数根为x1，x2，且2x1x2+x1+x2≥20，求m的取值范围．
23．关于x的方程
(1)求证：方程恒有两个不相等的实数根．
(2)若此方程的一个根为1，求m的值：
(3)求出以此方程两根为直角边的直角三角形的周长
24．某新建火车站站前广场需要绿化的面积为46000平方米，施工队绿化了22000平方米后，将每天的工作量增加为原来的1.5倍，结果提前4天完成了该项绿化工程．
(1)该项绿化工程原计划每天完成多少平方米？
(2)该项绿化工程中有一块长为20米，宽为8米的矩形空地，计划在其中修建两块相同的矩形绿地，它们的面积之和为56平方米，两块绿地之间及周边留有宽度相等的人行通道（如图所示），求人行通道的宽度是多少米？
25．某商场销售一批衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了扩大销售，增加利润，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件，若商场每天要获得利润1200元，请计算出每件衬衫应降价多少元？
26．受益于国家支持新能源汽车发展和“一带一路”发展战略等多重利好因素，我市某汽车零部件生产企业的利润逐年提高，据统计，2014年利润为2亿元，2016年利润为2.88亿元．
（1）求该企业从2014年到2016年利润的年平均增长率；
（2）若2017年保持前两年利润的年平均增长率不变，该企业2017年的利润能否超过3.4亿元？
27．李明准备进行如下操作实验，把一根长40cm的铁丝剪成两段，并把每段首尾相连各围成一个正方形．
(1)要使这两个正方形的面积之和等于58cm2，李明应该怎么剪这根铁丝？
(2)李明认为这两个正方形的面积之和不可能等于48cm2，你认为他的说法正确吗？请说明理由．
28．某烘焙店生产的蛋糕礼盒分为六个档次，第一档次(即最低档次)的产品每天生产76件，每件利润为10元．调查表明：生产提高一个档次的蛋糕产品，该产品每件利润增加2元．
(1)若生产的某批次蛋糕每件利润为14元，此批次蛋糕属于第几档次产品？
(2)由于生产工序不同，蛋糕产品每提高一个档次，一天产量会减少4件．若生产的某档次产品一天的总利润为1080元，该烘焙店生产的是第几档次的产品？
29．随着人们经济收入的不断提高及汽车产业的快速发展，汽车已越来越多地进入普通家庭．据某市交通部门统计，2008年底该市汽车拥有量为75万辆，而截止到2010年底，该市的汽车拥有量已达108万辆．
（1）求2008年底至2010年底该市汽车拥有量的年平均增长率；
（2）为了保护城市环境，缓解汽车拥堵状况，该市交通部门拟控制汽车总量，要求到2012年底全市汽车拥有量不超过125.48万辆；另据统计，从2011年初起，该市此后每年报废的汽车数量是上年底汽车拥有量的10%.假设每年新增汽车数量相同，请你估算出该市从2011年初起每年新增汽车数量最多不超过多少万辆．
30．如图所示，A、B、C、D是矩形的四个顶点，，，动点P，Q分别从点A，C同时出发，点P以的速度向点B移动，一直到达点B为止，点Q以的速度向点D移动
(1)P，Q两点从出发开始到几秒时，四边形的面积为？
(2)P，Q两点从出发开始到几秒时，点和点Q的距离第一次是？
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参考答案：
1．C
【分析】由于m、n是一元二次方程x2＋3x 9＝0的两个根，根据根与系数的关系可得m＋n= 3，mn= 9，而m是方程的一个根，可得m2＋3m 9=0，即m2＋3m=9，那么m2＋4m＋n=m2＋3m＋m＋n，再把m2＋3m、m＋n的值整体代入计算即可．
【详解】解：∵m、n是一元二次方程x2＋3x 9＝0的两个根，
∴m＋n＝ 3，mn＝ 9，
∵m是x2＋3x 9＝0的一个根，
∴m2＋3m 9＝0，
∴m2＋3m＝9，
∴m2＋4m＋n＝m2＋3m＋m＋n＝9＋（m＋n）＝9 3＝6．
故选：C．
【点睛】本题考查了根与系数的关系，解题的关键是熟练掌握一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）两根x1、x2之间的关系：x1＋x2= ，x1 x2=．
2．C
【分析】设参加酒会的人数为x人，每人碰杯次数为次，如果一共碰杯55次，列出一元二次方程，解之即可得出答案.
【详解】设参加酒会的人数为x人，依题可得：
x（x-1）=55，
化简得：x2-x-110=0，
解得：x1=11，x2=-10（舍去），
故答案为C.
【点睛】考查了一元二次方程的应用，解题的关键是根据题中的等量关系列出方程.
3．D
【分析】先把a代入方程得到3a2-a=1，然后方程两边都乘以-2得-6a2+2a=-2，从而求出答案．
【详解】解：由题意得：3a2-a-1=0，
∴3a2-a=1，
∴-6a2+2a=-2，
∴2021﹣6a2＋2a =2021-2=2019．
故选：D．
【点睛】本题考查的是逆用一元二次方程解的定义得出-6a2+2a的值，因此在解题时要重视解题思路的逆向分析．
4．B
【分析】将设为a，分解因式即可得（a-1）（a+5）=0，即可求出的值.
【详解】解：设a=，则原式=（a+1）（a+3）=8，
去括号得a2+4a+3=8,
移项得a2+4a-5=0，
分解因式得（a-1）（a+5）=0,
解得a=1或a=-5，
∵=a≥0
∴a=-5（舍去），
故选B.
【点睛】本题考查了代数式求值的方法，同时还隐含了整体的数学思想和正确运算的能力．关键是将设为一个整体．
5．D
【分析】先根据一元二次方程的解的定义得到x2+x+2012=0，即α2+α=-2012，则α2+2α+可化为α2+α+α+β=-2012+α+β，然后利用根与系数的关系得到α+β=-1，再利用整体代入的方法计算即可．
【详解】∵α是方程x2+x+2012=0的根，
∴α2+α+2012=0，即α2+α=-2012，
∴α2+2α+β=α2+α+α+β=-2012+α+β，
∵α，β是方程x2+x+2012=0的两个实数根，
∴α+β=-1，
∴α2+2α+β=-2012-1=-2013．
故选D．
【点睛】考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与系数的关系：x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时，x1+x2=，x1x2=．
6．B
【分析】根据题意：第一年的产量+第二年的产量+第三年的产量=1400且今后两年的产量都比前一年增长一个相同的百分数x．
【详解】解：已设这个百分数为x．
200+200（1+x）+200（1+x）2=1400．
故选B．
【点睛】本题考查对增长率问题的掌握情况，理解题意后以三年的总产量做等量关系可列出方程．
7．A
【分析】设与墙垂直的一边长为xm，则与墙平行的一边长为（26-2x）m，然后根据花圃面积为80m2列关于x的一元一次方程即可．
【详解】解：设与墙垂直的一边长为xm，则与墙平行的一边长为（26-2x）m
由题意得：x（26-2x）=80．
故答案为A．
【点睛】本题考查了根据题意列一元二次方程，理解题意、设出未知数、表示出相关的量、找到等量关系列方程是解答本题的关键．
8．-3
【分析】根据同类二次根式的定义可得，由此求解即可
【详解】解：∵两个最简二次根式与是同类二次根式，
∴，
∴
∴或，
∵两个根式都是最简根式，
∴时，不符合题意，
当a=3时，二次根式有意义且符合题意，
故答案为-3．
【点睛】本题考查了同类二次根式的定义和解一元二次方程，熟练掌握同类二次根式的定义是解答本题的关键.化成最简二次根式后，如果被开方式相同，那么这几个二次根式叫做同类二次根式
9．
【分析】根据已知判断出m，n是方程的两实数根，然后利用根与系数关系即可求解．
【详解】解：∵实数， 满足等式，，
∴m，n是方程的两实数根，
∴，，
∴，
故答案为：
【点睛】本题考查了方程的解以及一元二次方程的根与系数关系，能熟练利用方程解的定义得到m，n是方程的两实数根是解题的关键．
10．3．
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系求解即可.
【详解】解：根据题意得，，
所以===3．
故答案为3．
【点睛】本题考查了根与系数的关系：若、是一元二次方程（a≠0）的两根时，，．
11． 或1 7
【分析】（1）将代入解方程求出，的值，再代入进行验证即可；
（2）当时，求出，再把通分变形，最后进行整体代入求值即可．
【详解】解：已知，实数，同时满足①，②，
①-②得，
∴
∴或
①+②得，
（1）当时，将代入得，
解得，，
∴，
把代入得，3=3，成立；
把代入得，0=0，成立；
∴当时，a的值是1或-2
故答案为：1或-2；
（2）当时，则，即
∵
∴
∴
∴
∴
故答案为：7．
【点睛】此题主要考查了用因式分解法解一元二次方程，完全平方公式以及求代数式的值和分式的运算等知识，熟练掌握运算法则和乘法公式是解答此题的关键．
12．(1)，
(2)，
(3)，
(4)，
【分析】（1）本题利用直接开平方法解方程即可；
（2）本题将移项到等号的左边，通过因式分解法解方程即可；
（3）先将移项到等号左边，化成一般式，利用公式法解方程即可；
（4）将移项到等号左边，利用因式分解法解方程即可．
（1）解：直接开平方得，解得，；
（2）解：由已知得，则，解得，；
（3）解：由已知得，，∴，解得，；
（4）解：由已知得，利用因式分解法可得，解得，．
【点睛】本题考查解一元二次方程的方法，可以利用直接开平方法，公式法或因式分解法，选择恰当的方法解方程是解题的关键．
13．(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)时，有最小值
【分析】（1）两边开方，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可；
（2）等式两边同时除以2，然后移项，将常数项移到等式右边，左右两边同时加上一次项系数一半的平方，再开方求解即可；
（3）整理为一般式后，代入求根公式求解即可；
（4）分解因式，即可得出两个两个一元一次方程，求出方程的解即可；
（5）分解因式，即可得出两个两个一元一次方程，求出方程的解即可；
（6）将原式进行配方变形即可得出答案．
【详解】（1）解：4（t-3）2=9（2t-3）2
开方得：，
∴或，
∴；
（2）解：2x2-7x-4=0
方程两边同时除以2得：
，
，
，
，
，
∴；
（3）解：3x2+5（2x+1）=0，
方程整理为一般式为：，
∴，
∴，
∴，
∴；
（4）解：3（x-5）2=2（5-x）
方程变形为：，
∴，
∴，
∴；
（5）解：abx2-（a2+b2）x+ab=0
，
∵，
∴，
∴；
（6）解：6x2-x-12，
∴当时，原式有最小值．
【点睛】本题考查的知识点是解一元二次方程，掌握解一元二次方程的多种方法：直接开方法、配方法、公式法、因式分解法是解此题的关键．
14．(1)x1＝3，x2＝﹣1
(2)x1＝2+，x2＝2﹣
(3)x1＝﹣1，x2＝3
(4)x1＝，x2＝
【分析】（1）直接开平方，可得出两个一元一次方程，分别求出解即可；
（2）移项，配方，开方，即可得到两个一元一次方程，分别求出解即可；
（3）移项后分解因式，即可得到两个一元一次方程，分别求出解即可；
（4）求出b2－4ac的值，然后代入公式即可求解；
(1)
解：∵（x﹣1）2＝4，
∴x﹣1＝±2，
则x1＝3，x2＝﹣1；
(2)
x2-4x+2=0
移项得：x2﹣4x＝-2
x2﹣4x+4＝-2+4
（x﹣2）2＝2，
x﹣2=±
则x1＝2+，x2＝2﹣；
(3)
∵（x+1）（x﹣2）＝x+1，
∴（x+1）（x﹣2﹣1）＝0，
则x+1＝0或x﹣3＝0，
解得x1＝﹣1，x2＝3；
(4)
2x2+3x﹣1=0
解：a＝2，b＝3，c＝-1，
则△＝32﹣4×2×(-1)＝17，
∴x＝＝．
即x1＝，x2＝．
【点睛】本题考查了解一元二次方程的应用，解此题的关键是能选择适当的方法解一元二次方程，本题难度适中．解一元二次方程的方法有：直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法．
15．（1）26；（2）每件商品降价10元时，该商店每天销售利润为1200元.
【分析】（1）根据销售单价每降低1元，平均每天可多售出2件，可得若降价3元，则平均每天可多售出2×3=6件，即平均每天销售数量为20+6=26件；
（2）利用商品平均每天售出的件数×每件盈利=每天销售这种商品利润列出方程解答即可．
【详解】（1）若降价3元，则平均每天销售数量为20+2×3=26件．
（2）设每件商品应降价x元时，该商店每天销售利润为1200元．
根据题意，得（40-x）（20+2x）=1200，
整理，得x2-30x+200=0，
解得：x1=10，x2=20．
∵要求每件盈利不少于25元，
∴x2=20应舍去，
∴x=10．
答：每件商品应降价10元时，该商店每天销售利润为1200元．
【点睛】此题主要考查了一元二次方程的应用，利用基本数量关系：平均每天售出的件数×每件盈利=每天销售的利润是解题关键．
16．(1)m＞-1，且m≠0
(2)m的值为4
【分析】（1）由条件可知该方程的判别式大于0，可得到关于m的不等式，解不等式即可求解；
（2）利用根与系数的关系可用m表示出已知等式，可求得m的值．
【详解】（1）∵原一元二次方程有两个不相等的实数根，
∴，且m≠0，
整理，得：，
解得：，且m≠0，
即m的取值范围为，且m≠0；
（2）∵，，
∴，
∵，
即，即，
设，则有：，
利用因式分解法，解得：，，
根据，得，
可得m为4或者-1，
又∵，且m≠0，
∴m的值为4．
【点睛】本题考查了根据一元二次方程的根与判别式的关系来确定未知系数的取值范围，以及根据根与系数的关系来确定未知系数的值．
17．（1）100+200x；（2）1
【分析】（1）销售量=原来销售量+增加销售量，列式即可得到结论；
（2）根据销售量×每斤利润=总利润列出方程求解即可得到结论．
【详解】解：（1）将这种水果每斤的售价降低x元，
则每天的销售量是100+×20=100+200x斤；
故答案为：100+200x；
（2）根据题意得：，
解得：x=或x=1，
∵每天至少售出260斤，
∴100+200x≥260，
∴x≥0.8，
∴x=1．
答：张阿姨需将每斤的售价降低1元．
18．（1）每轮传染中平均一个人传染了7个人；（2）第三轮将又有448人被传染
【分析】（1）设每轮传染中平均每人传染了人，根据经过两轮传染后共有64人患了流感，可求出，
（2）进而求出第三轮过后，又被感染的人数．
【详解】解：（1）设每轮传染中平均每人传染了人，
或（舍去）．
答：每轮传染中平均一个人传染了7个人；
（2）（人．
答：第三轮将又有448人被传染．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，先求出每轮传染中平均每人传染了多少人数是解题关键．
19．(1)；
(2)．
【分析】（1）根据关于x的一元二次方程有两个实数根，得出且，求出m的取值范围即可；
（2）根据方程两实根为，，求出，，再根据，得出，再代入计算即可．
【详解】（1）∵关于x的一元二次方程有两个实数根，
∴且，即，
解得且，
∴m的取值范围为．
（2）∵方程两实根为，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
解得：；
经检验是原方程的解．
【点睛】此题考查了一元二次方程根的判别式和一元二次方程根与系数的关系．熟练掌握相关概念，正确计算是关键.
20．周瑜去世的年龄为36岁．
【分析】设周瑜逝世时的年龄的个位数字为x，则十位数字为x﹣3．根据题意建立方程求出其值就可以求出其结论．
【详解】设周瑜逝世时的年龄的个位数字为x，则十位数字为x﹣3．由题意得；
10（x﹣3）+x＝x2，
解得：x1＝5，x2＝6
当x＝5时，周瑜的年龄25岁，非而立之年，不合题意，舍去；
当x＝6时，周瑜年龄为36岁，完全符合题意．
答：周瑜去世的年龄为36岁．
【点睛】本题是一道数字问题的运用题，考查了列一元二次方程解实际问题的运用，在解答中理解而立之年是一个人30岁的年龄是关键．
21．(1)是等腰三角形，理由见解析
(2)，
【分析】（1）把代入方程得，整理得，从而可判断三角形的形状；
（2）利用等边三角形的性质得，方程化为，然后利用因式分解法解方程．
【详解】（1）解：是等腰三角形；
理由：把代入方程得，则，所以为等腰三角形；
（2）解：为等边三角形，
，
方程化为，
解得，．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解，解一元二次方程，等腰三角形、等边三角形，解题的关键是掌握一元二次方程的解是能使式子成立的未知数的值．
22．（1）m≤4；（2）3≤m≤4．
【详解】试题分析：（1）根据判别式的意义得到△=（-6）2-4（2m+1）≥0，然后解不等式即可；
（2）根据根与系数的关系得到x1+x2=6，x1x2=2m+1，再利用2x1x2+x1+x2≥20得到2（2m+1）+6≥20，然后解不等式和利用（1）中的结论可确定满足条件的m的取值范围．
试题解析：
（1）根据题意得△＝（－6）2－4（2m＋1）≥0，
解得m≤4；
（2）根据题意得x1＋x2＝6，x1x2＝2m＋1，
而2x1x2＋x1＋x2≥20，所以2（2m＋1）＋6≥20， 解得m≥3，
而m≤4，所以m的范围为3≤m≤4．
23．(1)答案见解析
(2)2
(3)4+
【分析】（1）根据一元二次方程根的判别式证明即可；
（2）将x=1代入方程可确定m的值；
（3）由m的值可得一元二次方程，解方程得出方程的另一个解，可得直角三角形的两直角边，再由勾股定理求出得直角三角形的斜边，即可得答案．
【详解】（1）证明：x2 (m+2)x+(2m 1)=0，
∵a=1，b= (m+2)，c=2m 1，
∴b2 4ac=[ (m+2)]2 4×1×(2m 1)=(m 2)2+4，
∵在实数范围内，m无论取何值，(m 2)2+4>0，
即b2 4ac＞0，
∴关于x的方程x2 (m+2)x+(2m 1)=0恒有两个不相等的实数根；
（2）将x=1代入方程可得：
12 (m+2)+(2m 1)=0，
解得：m=2；
（3）∵m=2，
∴方程为x2 4x+3=0，
解得：x1=1或x2=3，
∴方程的另一个根为x=3；
∴直角三角形的两直角边是1、3，
∵，
∴斜边的长度为，
∴直角三角形的周长为1＋3＋=4＋．
【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，解一元一次方程，解一元二次方程，勾股定理，理解题意、熟练掌握一元二次方程的解法是解题关键．
24．(1)2000平方米
(2)2米
【分析】（1）利用原工作时间-现工作时间|=4这一等量关系列出分式方程求解即可；
（2）根据矩形的面积和为56平方米列出一元二次方程求解即可．
（1）
设该项绿化工程原计划每天完成x平方米，根据题意得：
，
解得：x=2000，
经检验，x=2000是原方程的解，
答：该绿化项目原计划每天完成2000平方米；
（2）
设人行道的宽度为a米，根据题意得：
（20-3a）(8 2a)=56，
解得：a=2或a=（不合题意，舍去）．
答：人行道的宽为2米．
【点睛】本题考查分式方程和一元二次方程的综合应用，熟练掌握分式方程和一元二次方程的列法和解法是解题关键．
25．每件衬衫应降价20元．
【分析】设每件衬衫应降价x元，根据题意，列出一元二次方程进行求解即可．
【详解】解：设每件衬衫应降价x元，由题意得：
，
解得：，，
∵要尽快减少库存，
∴每件衬衫应降价20元．
【点睛】本题考查一元二次方程的应用：销售利润问题，根据题意准确的列出方程式解题的关键．
26．（1）20%；（2）能
【分析】（1）设年平均增长率为x，则2015年利润为2(1+x)亿元，则2016年的年利润为2(1+x)2，根据2016年利润为2.88亿元列方程即可；
（2）2017年的利润在2016年的基础上再增加(1+x)，据此计算即可．
【详解】(1)设该企业从2014年到2016年利润的年平均增长率为x．
根据题意，得2(1＋x)2＝2.88，
解得x1＝0.2＝20%，x2＝－2.2(不合题意，舍去)．
答：该企业从2014年到2016年利润的年平均增长率为20%.
(2)如果2017年仍保持相同的年平均增长率，那么2017年该企业年利润为2.88×(1＋20%)＝3.456(亿元)，因为3.456＞3.4，
所以该企业2017年的利润能超过3.4亿元．
【点睛】此题考查一元二次方程的应用---增长率问题，根据题意寻找相等关系列方程是关键，难度不大．
27．(1) 李明应该把铁丝剪成12cm和28cm的两段；(2) 李明的说法正确，理由见解析.
【分析】（1）设剪成的较短的这段为xcm，较长的这段就为（40﹣x）cm．就可以表示出这两个正方形的面积，根据两个正方形的面积之和等于58cm2建立方程求出其解即可；
（2）设剪成的较短的这段为mcm，较长的这段就为（40﹣m）cm．就可以表示出这两个正方形的面积，根据两个正方形的面积之和等于48cm2建立方程，如果方程有解就说明李明的说法错误，否则正确．
【详解】解：（1）设其中一段的长度为xcm，两个正方形面积之和为scm2，
则，
即(其中0当s=58时，
，
解得，，
∴应将之剪成12cm和28cm的两段；
（2）两正方形面积之和为48时，
，
整理得：，
∵，
∴该方程无实数解，也就是不可能使得两正方形面积之和为48cm2，李明的说法正确．
【点睛】题目主要考查一元二次方程及二次函数的应用，理解题意，列出相应方程及函数关系式是解题关键．
28．(1) 第3档次；(2) 第5档次
【分析】（1）根据生产提高一个档次的蛋糕产品，该产品每件利润增加2元，即可求出每件利润为14元的蛋糕属第几档次产品；
（2）设烘焙店生产的是第x档次的产品，根据单件利润×销售数量=总利润，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出结论．
【详解】（1）（14﹣10）÷2+1=3（档次）．
答：此批次蛋糕属第3档次产品．
（2）设烘焙店生产的是第x档次的产品，则第x档次每件利润为：10+2（x-1）=（2x+8）元，生产的件数为：76-4（x-1）=（80-4x）
总利润为：（2x+8）×（80﹣4x）=1080，
整理得：x2﹣16x+55=0，
解得：x1=5，x2=11（舍去）．
答：该烘焙店生产的是第5档次的产品．
【点睛】考点：一元二次方程的应用．
29．（1）2008年底至2010年底该市汽车拥有量的年平均增长率是20% ；（2）从2011年初起每年新增汽车数量最多不超过20万辆.
【分析】（1）设2008年底至2010年底该市汽车拥有量的年平均增长率是x，根据2008年底该市汽车拥有量为75万辆，而截止到2010年底，该市的汽车拥有量已达108万辆可列方程求解；
（2）设从2011年初起每年新增汽车数量为y万辆，根据要求到2012年底全市汽车拥有量不超过125.48万辆；另据统计，从2011年初起，该市此后每年报废的汽车数量是上年底汽车拥有量的10%，假设每年新增汽车数量相同，可列出不等式求解．
【详解】（1）设该市汽车拥有量的年平均增长率为x，
根据题意，得75（1+x）2=108，
则1+x=±1.2，
解得x1=0.2=20%，x2=﹣2.2（不合题意，舍去）．
答：该市汽车拥有量的年平均增长率为20%；
（2）设从2011年初起每年新增汽车数量为y万辆，
根据题意得（108×90%+y）×90%+y≤125.48，
解得y≤20．
答：该市每年新增汽车数量最多不能超过20万辆．
【点睛】本题第一问考查的是一个增长率问题，知道2008年的辆数，知道2010年的辆数，发生了两年变化，可列方程求解．第二问以汽车总量做为不等量关系，根据增加的和报废的，可求出结果．
30．(1)5秒
(2)秒
【分析】当运动时间为秒时，cm，cm．
（1）利用梯形的面积公式结合四边形的面积为，即可得出关于t的一元一次方程，解之即可得出结论；
（2）过点Q作于点，则cm，cm，利用勾股定理结合cm，即可得出关于的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论．
【详解】（1）解：当运动时间为t秒时，cm，cm．
依题意，得：，
解得：．
答：P，Q两点从出发开始到5秒时，四边形的面积为．
（2）（2）过点作于点，如图所示．
cm，cm，
，即，
解得：，（不合题意，舍去）．
答：P，Q两点从出发开始到秒时，点P和点Q的距离第一次是10cm．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用以及一元二次方程的应用，解题的关键是：（1）根据梯形的面积公式，得出关于t的一元一次方程；（2）利用勾股定理，得出关于t的一元二次方程．
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