第三章 整式及其加减单元检测题（含解析）

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2023-2024学年度七年级上册数学第三章整式及其加减单元综合检测题
一、单选题
1．式子中，单项式有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．下列各式符合代数式书写规则的是（　　）
A．a×5 B．a7 C． D．
3．某品牌冰箱进价为每台m元，提高20%作为标价．元旦期间按标价的9折出售，则出售一台这种冰箱可获得利润（ ）
A．m元 B．m元 C．m元 D．m元
4．多项式与多项式的和不含二次项，则m为（　　）
A．2 B． C．4 D．
5．如图，用规格相同的小棒按照图案规律摆放，2022根小棒最多可以摆出多少个小正方形？（ ）
A．503 B．124 C．808 D．252
6．如图，用相同的圆点按照一定的规律拼出图形．第一幅图4个圆点，第二幅图7个圆点，第三幅图10个圆点，第四幅图13个圆点……按照此规律，第一百幅图中圆点的个数是（ ）
A．297 B．301 C．303 D．400
7．如图1，将一个边长为a的正方形纸片剪去两个小矩形，得到一个“”的图案，如图2所示，再将剪下的两个小矩形拼成一个新的矩形，如图3所示，则新矩形的周长可表示为（　　）
A．2a﹣3b B．4a﹣8b C．2a﹣4b D．4a﹣10b
8．观察下列各式及其展开式
……
请你猜想的展开式从左往右第三项的系数是（ ）
A．35 B．45 C．55 D．66
二、填空题
9．单项式的系数是 ________，次数是_______．
10．多项式﹣3x+7是关于x的四次三项式，则m的值是_____．
11．按规律排列的单项式：﹣x，x3，﹣x5，x7，﹣x9，…，那么第15个单项式是 _____．
12．设甲数为x，乙数比甲数的3倍少6，则乙数用代数式表示为______．
13．一个三位数的十位为m，个位数比十位数的3倍多2，百位数比个位数少3，则这个三位数可表示为________．
14．若关于a，b的多项式中不含项，则m＝_____．
15．若，则_____；
16．填在下面各正方形中的四个数之间都有一定的规律，按此规律得出a+b+c=____．
17．如图，每个图案均由边长相等的黑、白两色正方形按规律拼接而成，照此规律，第n个图案中白色正方形比黑色正方形多________个.（用含n的代数式表示）
18．下面是一组数值转换机，写出（1）的输出结果_____（写在横线上），找出（2）的转换步骤（填写在框内）_____．
19．如图所示，南宋数学家杨辉在《详解九章算法》中出现的三角形状的数阵，又称为“杨辉三角形”．该三角形中的数据排列有着一定的规律，按此规律排列下去，第行的左边第个数是_____________．
20．已知，根据前面各式的规律，可得：_________；的值的个位数字是_______________．
21．观察下列等式：
；
；
；
；
；
根据以上等式总结规律并计算，则______．
三、解答题
22．计算
(1)；
(2)；
(3)；
(4)；
(5)．
23．计算：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
24．已知，，求：
(1)A+B；
(2)2A-B．
25．已知：，求的值．
26．化简：
(1)5（3a2b﹣ab2）﹣4（﹣ab2+3a2b）；
(2)5x2﹣[3x﹣2（2x﹣3）+7x2]；
(3)先化简再求值：3a2b﹣[3a2b﹣（2abc﹣a2c）﹣4a2c]﹣abc．（若a＝﹣2，b＝﹣1，c＝）．
27．某同学做一道数学题：已知两个多项式A、B，计算，他误将“”看成“”，求得的结果是，已知，求的正确答案．
28．已知（m+3）x3y|m+1|是关于x，y的七次单项式，求m2﹣3m+1的值．
29．已知，a与b互为倒数，c与d互为相反数，求的值．
30．如图，若图中平面展开图折叠成正方体后，相对面上的两个数字互为相反数，求的值．
31．初一年级学生在名教师的带领下去公园秋游，公园的门票为每人元．现有两种优惠方案，甲方案：带队教师免费，学生按折收费；乙方案：师生都折收费．
若有名学生，用代数式表示两种优惠方案各需多少元？
当时，采用哪种方案优惠？
当时，采用哪种方案优惠？
32．如图，正方形和正方形的边长分别为a和6，点在一条直线上，点在一条直线上，将依次连接所围成的阴影部分的面积记为S阴影
(1)试用含a的代数式表示S阴影；
(2)当时，比较S阴影与面积的大小；当时，结论是否改变？为什么？
33．阅读下列材料：小明为了计算的值 ，采用以下方法：
设 ①
则 ②
②-①得
∴
（1）= ;
（2） = ;
（3）求的和（ ，是正整数，请写出计算过程 ）.
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参考答案：
1．B
【分析】根据单项式定义逐个判断即可
【详解】解：题中的式子中单项式有、2x，共2个.
故选B．
【点睛】本题主要考查了单项式的定义，数字或字母的积组成的式子叫做单项式，单独的一个数或字母也是单项式．
2．D
【分析】根据代数式的书写要求判断各项．
【详解】解：A、数与字母相乘，数应该写在前边，乘号通常简写成“ ”或者省略不写，故此选项不符合题意；
B、数与字母相乘，数应该写在前边，故此选项不符合题意；
C、分数与字母相乘，带分数应该写成假分数的形式，故此选项不符合题意；
D、符合代数式的书写要求，故此选项符合题意．
故选：D．
【点睛】此题考查了代数式的书写，解题的关键是掌握代数式的书写要求．代数式的书写要求：（1）在代数式中出现的乘号，通常简写成“ ”或者省略不写；（2）数字与字母相乘时，数字要写在字母的前面；（3）在代数式中出现的除法运算，一般按照分数的写法来写，带分数要写成假分数的形式．
3．D
【分析】先求出标价，再求出销售价，利用公式利润=售价-进价计算即可．
【详解】某品牌冰箱进价为每台m元，
提高20%作标价为：（1+20%）m元，
按标价的9折出售的售价为：1.2m×=1.08m元，
出售一台这种冰箱可获得利润=1.08m-m=0.08m元，
故答案为：D．
【点睛】本题考查销售利润问题，掌握标价，进价与利润率关系，标价折数与售价关系，售价进价与利润关系是解题关键．
4．C
【分析】由题意可以得到关于m的方程，解方程即可得到问题答案．
【详解】解：由题意可得：，
，
∵它们的和不含二次项
∴，
解之可得：，
故选：C．
【点睛】本题考查多项式的应用，熟练掌握多项式的相关概念是解题关键．
5．D
【分析】仔细观察发现，出现1个正六边形和1个小正方形时，需要小棒的根数是9根；出现2个正六边形和2个小正方形时，需要小棒的根数是17根；出现3个正六边形和3个小正方形时，需要小棒的根数是25根；……由此得出规律．
【详解】解：出现1个正六边形和1个小正方形时，需要小棒的根数是9根；
出现2个正六边形和2个小正方形时，需要小棒的根数是17根；
出现3个正六边形和3个小正方形时，需要小棒的根数是25根；
…，
则出现n个正六边形和n个小正方形时，需要小棒的根数是（8n+1）根；
（2022-1）÷8=252……5，
故选：D．
【点睛】本题主要考查图形的变化规律，根据图案的变化归纳出出现n个正六边形和n个小正方形时，需要小棒的根数是（8n+1）根是解题的关键．
6．B
【分析】首先根据前几个图形圆点的个数规律即可发现规律，从而得到第100个图摆放圆点的个数．
【详解】解：观察图形可知：第1幅图案需要4个圆点，即4＋3×0，
第2幅图7个圆点，即4+3=4+3×1；
第3幅图10个圆点，即4＋3＋3=4＋3×2；
第4幅图13个圆点，即4＋3＋3＋3=4＋3×3；
第n幅图中，圆点的个数为：4+3(n-1)=3n+1，
……，
第100幅图，圆中点的个数为：3×100+1=301．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了图形的变化规律，解答的关键是由所给的图形总结出存在的规律．
7．B
【分析】剪下的两个小矩形的长为a b，宽为（a 3b），所以这两个小矩形拼成的新矩形的长为(a b)，宽为(a 3b)，然后计算这个新矩形的周长．
【详解】解：根据题意得：2（a﹣b+a﹣3b）=2（2a﹣4b）=4a﹣8b，
故选B．
【点睛】本题考查了列代数式：把问题中与数量有关的词语，用含有数字、字母和运算符号的式子表示出来，就是列代数式．解题的关键用a和b表示出剪下的两个小矩形的长与宽．
8．C
【分析】利用所给展开式探求各项系数的关系，特别是上面的展开式与下面的展开式中的各项系数的关系，可推出的展开式从左往右第三项的系数．
【详解】解：
∴依据规律可得到：
第三项的系数为1，
第三项的系数为，
第三项的系数为，
第三项的系数为：．
故选：C．
【点睛】此题考查了数字规律型，理解题意，找到系数的规律是解题的关键．
9．
【分析】直接根据单项式的系数与次数的定义得出答案，单项式中的数字因数叫做单项式的系数，一个单项式中所有字母的指数的和叫做单项式的次数．
【详解】解：单项式的系数和次数分别是：,．
故答案为：，6．
【点睛】本题考查了单项式的系数，单项式的次数，理解单项式的系数与次数是解题的关键．
10．5
【分析】根据多项式中次数最高的项的次数叫做多项式的次数进行分析即可．
【详解】解：∵多项式﹣3x+7是关于x的四次三项式，
∴m﹣1＝4，
解得m＝5，
故答案为：5．
【点睛】此题考查的是多项式的次数,掌握多项式的次数的定义是解决此题的关键.
11．
【分析】由题意可得第n个单项式是（﹣1）nx2n﹣1，当n＝15时代入即可求解．
【详解】解：∵﹣x，x3，﹣x5，x7，﹣x9，…，
∴第n个单项式是（﹣1）nx2n﹣1，
∴第15个单项式是（﹣1）15x2×15﹣1
∴第15个单项式是﹣x29，
故答案为：﹣x29．
【点睛】本题考查数字的变化规律，根据所给的单项式的特点，探索出单项式的一般规律是解题的关键．
12．3x-6
【分析】根据题意列出代数式即可．
【详解】∵乙数比甲数的3倍少6，设甲数为x，
∴乙数是：3x-6.
故答案是：3x-6.
【点睛】考查了列代数式，解决问题的关键是读懂题意，找到所求的量的等量关系，列出代数式．
13．
【分析】根据题意先表示个位数为：再表示百位数为：从而可得答案.
【详解】解： 一个三位数的十位为m，个位数比十位数的3倍多2，百位数比个位数少3，
个位数为： 百位数为：
所以这个三位数为：
故答案为：
【点睛】本题考查的是列代数式，整式的加减运算，一个三位数的百位，十位，个位为分别为 则这个三位数表示为： 掌握列式的方法是解题的关键.
14．2
【分析】原式去括号合并得到最简结果，根据结果不含ab项，求出m的值即可．
【详解】原式，
由结果不含项，得到，
解得：．
故答案为：2．
【点睛】本题考查整式的运算，解题的关键是熟练运用整式的运算法则，本题属于基础题型．
15．2029
【分析】先由，得，然后将变形为x[2(x2-2x)-3x+12]+2020，代入得x(-3x+6)+2020，再变形为-3(x2-2x)+2020，再代入则可求解．
【详解】解：∵,
∴,
∴
=x(2x2-4x-3x+12)+2020
=x[2(x2-2x)-3x+12]+2020
= x[2×（-3）-3x+12]+2020
=x(-3x+6)+2020
=-3(x2-2x)+2020
=-3×（-3）+2020
=9+2020
=2029
故答案为：2029．
【点睛】本题考查代数式求值，将代数式变形为已知式子形式是解题的关键．
16．110
【详解】试题分析：根据前三个正方形中的数字规律可知：C所处的位置上的数字是连续的奇数，所以c=9，而a所处的位置上的数字是连续的偶数，所以a=10，而b=ac+1=9×10+1=91，所以a+b+c=9+10+91=110．
考点：数字规律．
17．4n+3
【分析】利用给出的三个图形寻找规律，发现白色正方形个数=总的正方形个数-黑色正方形个数，而黑色正方形个数第1个为1，第二个为2，由此寻找规律，总个数只要找到边与黑色正方形个数之间关系即可，依此类推，寻找规律．
【详解】解：方法一：
第1个图形黑、白两色正方形共3×3个，其中黑色1个，白色3×3-1个，
第2个图形黑、白两色正方形共3×5个，其中黑色2个，白色3×5-2个，
第3个图形黑、白两色正方形共3×7个，其中黑色3个，白色3×7-3个，
依此类推，
第n个图形黑、白两色正方形共3×（2n+1）个，其中黑色n个，白色3×（2n+1）-n个，
即：白色正方形5n+3个，黑色正方形n个，
故第n个图案中白色正方形比黑色正方形多4n+3个，
方法二
第1个图形白色正方形共8个，黑色1个，白色比黑色多7个，
第2个图形比第1个图形白色比黑色又多了4个，即白色比黑色多（7+4）个，
第3个图形比第2个图形白色比黑色又多了4个，即白色比黑色多（7+4×2）个，
类推，第n个图案中白色正方形比黑色正方形多[7+4（n-1）]个，即（4n+3）个，
故第n个图案中白色正方形比黑色正方形多4n+3个．
【点睛】本题考查了几何图形的变化规律，是探索型问题，图中的变化规律是解题的关键．
18． 2x-3 +3；2
【分析】根据图（1）可得：2x﹣3；图（2）中所表现出来的规律是x先加3，然后再让x加3的和除以2，即（x+3）÷2=．
【详解】（1）先算乘法，再减3，为：2x﹣3；
（2）先算加法，再除以2．先填“+3”，接下来填“÷2”．
故答案为（1）2x-3；(2)+3；2．
【点睛】要学会读图，能从图中找到规律，例如，（1）中所揭示的规律为：2x﹣3；（2）中可由结果判断出是x先加2，然后再让x加3的和除以2，此题主要考查阅读思考能力的灵活性．
19．
【分析】观察前几行左边第个数的排列规律，进而推出第100行的左边第个数.
【详解】解：从第3行开始：
第3行：左边第个数是1==；
第4行：左边第个数是3==；
第5行：左边第个数是6==；
第6行：左边第个数是10==；
……
第100行：左边第个数是==4851.
故答案为：4851.
【点睛】本题的关键是找出从第3行开始，每行的左边第3个数的排列规律：1，3，6，10，15…，进而得出第n行左边第个数是，由此得解.
20． ； 7
【分析】仿照阅读材料中的等式写出的结果即可；利用得出的规律化简，计算即可求出值．
【详解】解：由题意可得：；
由以上过程可知：，
∴，
∵，个位数字为2，，个位数字为4，，个位数字为8，，个位数字为6；
，个位数字为2，，个位数字为4，，个位数字为8，，个位数字为6；
…；
∴的各位数字与的各位数字相同，都是8，
∴的值的个位数字是8-1=7．
故答案为：； 7．
【点睛】本题考查规律问题等知识，解题的关键是学会或转化的思想思考问题，学会从特殊到一般的探究规律的方法．
21．255
【分析】根据所给出的等式找到规律，再利用式子的规律进行逆用即可求解．
【详解】解：由给出等式可知，，
∴
故答案为：255．
【点睛】本题考查数字的变化规律，能够根据题中所给式子探索出式子的规律是解题的关键．
22．(1)2ab；
(2)；
(3)；
(4)；
(5)
【分析】原式各项去括号合并即可得到结果．
（1）=2ab；
（2）==；
（3）==；
（4）==；
（5）==．
【点睛】此题考查了整式的加减，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
23．（1）；（2）；（3）；（4）．
【分析】（1）先去括号，然后再合并同类项即可；
（2）先去括号，然后再合并同类项即可；
（3）先去括号，然后再合并同类项即可；
（4）先去括号，然后再合并同类项即可．
【详解】解：（1）
=
=
=；
（2）
=
=
=；
（3）
=
=
=；
（4）
=
=
=．
【点睛】本题主要考查了整式的加减运算，掌握去括号法则和合并同类项法则成为解答本题的关键．
24．(1)-2x+3
(2)
【分析】（1）根据整式加法的运算法则计算即可；
（2）根据整式减法的运算法则计算即可；
【详解】（1）
；
（2）
【点睛】本题考查整式的加法和减法．掌握整式的加法和减法的运算法则是解题关键．
25．；
【分析】先根据绝对值和平方的非负性求出x，y，再根据整式的混和运算法则化成最简，然后代入数值计算即可．
【详解】解：∵，
，
解得：，，
∴原式
．
当，时，
原式
．
【点睛】本题主要考查了整式的化简求值，根据非负性求出x，y的值是解题的关键．
26．(1)
(2)
(3)abc+3a2c，7
【分析】（1）先去括号，然后合并同类项，即可得到答案；
（2）先去括号，然后合并同类项，即可得到答案；
（3）先去括号，然后合并同类项进行化简，再把a＝﹣2，b＝﹣1，c＝代入计算，即可求出答案．
【详解】（1）解：原式=
=；
（2）解：原式=
=
=；
（3）解：3a2b﹣[3a2b﹣（2abc﹣a2c）﹣4a2c]﹣abc
＝3a2b﹣3a2b+（2abc﹣a2c）+4a2c﹣abc
＝3a2b﹣3a2b+2abc﹣a2c+4a2c﹣abc
＝abc+3a2c，
当a＝﹣2，b＝﹣1，时，
原式＝﹣2×（﹣1）×+3×（﹣2）2×＝1+6＝7；
【点睛】本题考查了整式的加减运算，整式的化简求值，解题的关键是熟练掌握运算法则，正确的进行化简．
27．
【分析】根据题意得，求出A的值，代入后求出即可．
【详解】解：∵
，
∴
．
【点睛】本题考查了整式的加减的应用，关键是求出A的值．
28．1或41
【分析】直接利用单项式的系数和次数确定方法分析得出答案．
【详解】解：∵（m+3）x3y|m+1|是关于x，y的七次单项式，
∴3+|m+1|＝7且m+3≠0，
解得：m＝3，或m＝﹣5，
∴m2﹣3m+1＝9﹣9+1＝1，
或m2﹣3m+1＝25+15+1＝41．
故m2﹣3m+1的值是1或41．
【点睛】此题主要考查了单项式，正确把握单项式的系数和次数确定方法是解题关键．
29．-2
【分析】根据绝对值的性质、平方的性质可知，，再由相反数的性质，倒数的性质得出ab、c+d的值，再代入代数式计算可得．
【详解】解：，
，
，
因为与互为倒数，所以
因为与互为相反数，所以
原式
=-2．
【点睛】本题主要考查非负数的性质，互为倒数，互为相反数，代数式求值，含乘方的有理数混合运算，解题的关键是熟练掌握混合运算顺序和运算法则．
30．
【分析】根据正方体的展开图，判断出相对的面，利用相对面上的两个数字互为相反数，求出x、y、z，进而计算出x-y+z的值即可．
【详解】解：由题意得与，与，与分别是相对面上的两个数，
所以，，，
所以．
【点睛】考查正方体的展开与折叠，正方体的展开图中“相间、Z端是对面”判断对面．
31．(1) 甲16m, 乙:;(2) 甲方案优惠,理由见解析;(3) 乙方案优惠,理由见解析
【分析】 根据题意确定两种优惠方案所需的钱数；
把代入计算，比较即可；
把代入计算，比较即可得到答案.
【详解】解：甲方案需要的钱数为：，
乙方案需要的钱数为：；
当时，
乙方案：（元），
甲方案：（元），
∵，
∴甲方案优惠；
(3)当时，
乙方案：（元），
甲方案：（元），
∵，
∴乙方案优惠．
【点睛】本题主要考查代数式的计算，根据题意选择有效数据列出代数式是解题的关键.
32．(1)
(2)；改变，见解析
【分析】（1）根据图形，把阴影的面积表示出来，化简即可解得．
（2）把当和分别代入求值，分情况讨论即可解得．
【详解】（1）
（2）当时，
当时，
∴结论改变．
当时，
当时，
当时，
【点睛】此题考查了列代数式求阴影的面积，解题的关键是把阴影部分的面积表示出来．
33．（1）; （2） ; （3）n+1或 .
【分析】（1）利用题中的方法设S=1+2+22+…+29，两边乘以2得到2S=2+22+…+29，然后把两式相减计算出S即可；
（2）利用题中的方法设S=1+3+32+33+34+…+310 ，两边乘以3得到3S=3+32+33+34+35+…+311 ，然后把两式相减计算出S即可；
（3）利用（2）的方法计算．
【详解】（1）设S=1+2+22+…+29①
则2S=2+22+…+210 ②
②-①得2S-S=S=210-1
∴S=1+2+22+…+29=210-1；
故答案为210-1
（2）设S=3+3+32+33+34+…+310 ①，
则3S=32+33+34+35+…+311 ②，
②-①得2S=311-3，
所以S=，
即3+32+33+34+…+310=；
故答案为；
（3）设S=1+a+a2+a3+a4+..+an①，
则aS=a+a2+a3+a4+..+an+an+1②，
②-①得：（a-1）S=an+1-1，
a=1时，不能直接除以a-1，此时原式等于n+1；
a不等于1时，a-1才能做分母，所以S=，
即1+a+a2+a3+a4+..+an=.
【点睛】本题考查了规律型：数字的变化类：认真观察、仔细思考，善用联想，利用类比的方法是解决这类问题的方法．
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