3.1.1 函数的概念 课件第2课时(共25张PPT)

(共25张PPT)
第三章
3.1.1函数的概念 第2课时
人教A版（2019)
教学目标
学习目标 数学素养
1.理解区间是表示数集的一种方法，会进行不等式与区间的转化； 1.在初中知识基础上建构新知识.
2.掌握函数的三要素，理解相同函数的含义； 2.从对应观点培养函数的思想.
3.会求简单函数的定义域和值域.
知识回顾
1.函数概念
2．函数的三要素：定义域、________、值域是函数的三要素，缺一不可．
新知导入
(3)满足不等式a≤x研究函数常会用到区间的概念
设a,b是两个实数，而且a(1)满足不等式a≤x≤b的实数x的集合叫做闭区间，表示为 [a,b]；
(2)满足不等式a这里的实数a与b都叫做相应区间的端点.
实数集R可以用区间表示为（-∞，+∞），“∞”读作“无穷大”，”-∞”读作“负无穷大”，“+∞”读作“正无穷大”.
新知形成
集合表示 区间表示 数轴表示
{x|a≤x≤b} [a,b]
{x|a{x|a≤x{x|a满足x≥a,x>a,x≤b,x{x|x≥a} [a,+∞)
{x|x>a} (a,+∞)
{x|x≤b} (-∞,b]
{x|xR (-∞,+∞) 数轴上的所有点
新知讲解
注意：
①区间是一种表示连续性的数集;
②定义域、值域经常用区间表示用;
③数轴上实心点表示包括在区间内的端点，用空心点表示不包括在区间内的端点.
初试身手
把下列集合用区间表示出来:
(1){x|3(2){x|x≤6};
(3){x|1(4){x|x≠0};
(5){x|5≤x<7}.
答案
(1)(3,5)
(2)(-∞,6]
(3)(1,3)∪(7,8)
(4)(-∞,0)∪(0,+∞)
(5)[5,7)
新知讲解
【例1】 已知函数
（1）求函数的定义；
（2）求的值；
（3）当时，求, 的值.
分析：函数的定义域通常由问题的实际背景确定. 如果只给出解析式，而没有指明它的定义域，那么函数的定义域就是指能使这个式子有意义的实数的集合.
解：（1）使根式 有意义的实数 x 的集合是{x|x≥-3}，使分式 有意义的实数x的集合是{x|x≠-2} , 所以，这个函数的定义域为{x|x≥-3}∩{x|x≠-2}={x|x≥-3且x≠-2}. 即[-3,-2)∪(-2,+∞).
拓展：用使解析式有意义的方法求函数定义域常用依据有哪些？
① 分式中分母不能为零；② 二次根式中的被开方数要大于或等于零； ③ 零次幂的底数不能为零
新知讲解
【例1】 已知函数
（1）求函数的定义；
（2）求的值；
（3）当时，求, 的值.
解：（2）将与分别代入解析式，有
.
说明：在函数定义中，我们用符号表示函数，其中表示 x 对应的函数值，而不是 乘 x.
新知讲解
【例1】 已知函数
（1）求函数的定义；
（2）求的值；
（3）当时，求, 的值.
解：（3）因为，所以有意义.
.
说明：当自变量取值含有字母参数时，计算函数值之前需检验取值是否在定义域的范围内.
初试身手
求下列函数的定义域.
注意
①研究一个函数一定在其定义域内研究，所以求定义域是研究任何函数的前提；②函数的定义域常常由其实际背景决定，若只给出解析式时,定义域就是使这个式子有意义的实数x的集合.
新知讲解
【例2】 下列函数中哪个与函数是同一个函数？
(1); (2); (3); (4)
解： 函数的定义域为R，
方法一，从定义域和对应关系的角度
函数序号 定义域 对应关系 是否与函数相同 不相同的原因
（1） ) 否 定义域不同
（2） R 是
（3） R 否 对应关系不同
（4） 否 定义域不同
新知讲解
【例2】 下列函数中哪个与函数是同一个函数？
(1); (2); (3); (4)
解： 方法二，从函数图象的角度,
利用电脑软件Geogebra绘图
y=x
新知讲解
【例3】已知f(x)的定义域为[0,1], 求下列函数的定义域：
⑴f(x+2); ⑵f(-x).
解： ⑴要使函数f(x+2)有意义，必须满足0≤x+2≤1，即-2≤x≤-1.
所以函数f(x+2)的定义域为[-2,-1].
⑵要使函数f(-x)有意义，必须满足0≤-x≤1,即-1≤x≤0.
所以函数f(-x)的定义域为[-1,0].
分析：对于f(x+2)中的x+2必须满足f(x)的定义域，即0≤x+2≤1,
抽象函数求定义域的原则——
(1)同一题中f(…)括号中的部分范围相同；
(2)定义域特指x单个字母的范围！
初试身手
已知函数f(x)的定义域是[0，2]，则函数g(x)＝f(x+)＋f(x-)的定义域是(　　)
A.[,] B.[] C.[] D．[0，2]
提示：为函数f(x)的定义域是[0，2]，所以有 ，解得 ≤x≤ .
故选A.
新知讲解
【例4】已知函数f(x)=x2,x∈{-1,0,1},则函数f(x)的值域为（ ）
A.{-1,0,1} B.[0,1] C.{0,1} D.[0,+∞)
解： 将x＝－1，0，1分别代入f(x)＝x2中，得f(－1)＝1，f(0)＝0，f(1)＝1.根据集合中元素的互异性可知函数的值域为{0，1}，故选C.
注意：函数值的集合 叫做函数的值域
新知讲解
【例5】求下列函数的函数值域：
⑴ ；
⑵ .
解： ⑴
∵x>1,∴x+1>2, , .
∴ ,f(x)的值域为（-2，0）.
⑵f(x)的定义域为{x|x≠0}
方法1： ，则f(x)值域为{y|y≠-2}
(也可写为（-∞，0）∪（0，+∞））
方法2：设 ,可得 ，要使 有意义，y+2≠0,即y≠-2.
则f(x)值域为{y|y≠-2}.
新知讲解
【例6】⑴已知x∈[0, ],则函数f(x)=x+ 的值域为 ;
⑵求函数f(x)=x+ 的值域.
解： ⑴因为x∈[0, ],所以1-3x∈[0,1], ∈[0,1],令t= ,则t∈[0,1],
,y= ,t∈[0,1].
因为函数 的对称轴为t= ,所以t∈[0,1]时，y随t的增大而增大，可得 ≤y≤1,所以此函数的值域为[ ,1].
⑵函数f(x)=x+ 的定义域为x∈(-∞, ],1-3x∈[0,+∞), ∈[0,+∞)
令t= ,则t∈[0,+∞), , ,当t= 时，y取最大值 ，即y≤ ,
所以此函数值域为（-∞， ].
注意：⑴求函数值域时，首先要考虑定义域；⑵用换元法求函数值域时，一定要考虑换元后自变量的范围.
新知讲解
【例7】已知函数f(x)= ,求函数f(x)的值域
解：设y= ,可得（y-1)x2-2x+y+3=0,当x=2时，y=1;当y≠1时，若关于x的一元二次方程y-1)x2-2x+y+3=0有解，则 =（-2）2-4（y-1)(y+3)≥0,即
y2+2y-4≤0,方程y2+2y-4=0的根y1=-1+ ,y2=-1- ,所以-1- ≤y≤-1+ ,
则此函数值域为[-1- ,-1+ ].
初试身手
1.求下列函数的定义域：
⑴y= ; ⑵
2.求下列函数的值域：
⑴f(x)= ; ⑵g(x)=2x+4 .
P67 练习 1，2，3.
答案：1.⑴{x|x≠-2且x≠4};⑵[4,+∞)
2.⑴{y|y≠1}；⑵[2,+∞).
课堂总结
1.函数的三要素
1)定义域
2)对应关系
3)值域
3.求函数值域：首先要注意定义域，定义域不同值域不同；
第二要掌握求值域的基本方法.
2.求函数定义域就是求使函数有意义的自变量的范围.
作业布置
作业：p72 习题3.1 1，2，3,4.
补充题：
1.已知f(x)的定义域为[-1,1],求函数f(1-2x)的定义域.
2.已知函数f(x)的定义域为（0，1），f(a-x)的定义域为（1，2），求实数a的值.
3.求下列函数的值域：
⑴y= ⑵
尽情享受学习数学的快乐吧！
我们下节课再见！
谢谢
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