3.4相似三角形的判定和性质
3.4.1 相似三角形的判定
学习目标：
了解相似三角形的判定方法： 用平行法判定三角形相似；
会用平行法判定两个三角形相似。
学习重点： 用平行法判定两个三角形相似
学习难点：平行法判定三角形相似定理的推导
学习过程：
问题导入：
同学们，还记得什么是相似图形吗？相似的图形具有怎样的特征呢？
在实际生活中你见过的哪些三角形是相似的？怎样判定两个三角形相似呢？
问题探究：
如图，在△ABC中，D为AB任意一点，过点D作BC的平行线DE，交AC于点E。
（1）△ADE与△ABC的三个角分别相等吗？
（2）分别度量△ADE与△ABC的边长，它们的边长是否对应成比例？
（3）△ADE与△ABC之间有什么关系？平行移动DE的位置，你的结论还成立吗？
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学生探究：
交流展示：
探究点拨：
利用DE∥BC和公共角可得∠A=∠A，∠ADE=∠B，∠AED=∠C；作DF∥AC，利用平行线分线段成比例及等量代换可推，从而得出△ADE∽△ABC.
相似三角形的判定方法：平行于三角形的直线与其它两边相交，截得的三角形与原三角形相似。
三、实践交流
例1、如图，点D为△ABC的边AB的中点，过点D作DE∥BC，交AC于点E，延长DE至点F，使DE=EF，求证：△CFE∽△ABC.
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学生解答：
交流汇报：
教师点拨规范解答：
思路点拨：先证△ADE≌△CFE，再利用平行法证△ADE∽△ABC.从而得到△CFE∽△ABC.
例2、如图，在ABCD中AE=EB，AF=2，则FC等于＿＿＿＿＿。
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学生解答：
交流汇报：
教师点拨规范解答：
思路点拨：利用平行四边形的性质得到AB∥CD，再用平行法证
AEF～△CDF，从而得到，由AE=EB，得，所以CF=2AF=4。
四、课堂小结：
本节课你有什么收获？
1、平行法证三角形相似的内容是什么？
2、在什么情况下首先想到用平行法来证明两个三角形相似？
五、达标检测：
必做题：
1、如图，在平行四边形ABCD中，EF∥AB，则图中有相似三角形 （ ）
A. 1对 B.2对 C. 3对 D. 4对
2、在ABCD中，AE=，连接BE交AC于点F，AC=12，则AF=＿＿＿＿＿。
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3、如图，已知矩形ABCD中，AB=1， ( http: / / www.21cnjy.com )在BC上取一点E，沿AE将△ABE向上折叠，使B落在AD的F处，若四边形EFDC～四边形ABCD，则AD=＿＿＿＿＿。
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4、已知Rt△ABC～Rt△BDC,且AB=3，AC=4，求CD的长。
5、矩形草坪的长为50m,宽为20m,沿草坪四周修等宽的小路， 能否使小路内外边缘的两个矩形相似，说明理由。
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选做题：
如图，梯形ABCD中，AD∥BC，点E是边AD的中点，连接BE交AC于点F，BE的延长线交CD的延长线于点G.
(1)求证：；
（2）若GE=2，BF=3，求线段EF的长。
( http: / / www.21cnjy.com )3.4.2相似三角形的性质
学习目标：
1、使学生了解相似三角形的性质定理，相似三角形对应线段的比等于相似比；面积比等于相似比的平方。
2、能运用相似三角形的性质定理解决数学问题。
学习重点：相似三角形性质定理的证明与应用
学习难点：相似三角形性质定理的推导过程
学习过程：
一、问题引入：
如图，已知△ABC～△，根据相似的定义，我们可以得出哪些结论？
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两个三角形除了对应边成比例、对应角相等以外，还能得出其它什么结论吗？
二、自主探究：
1、如图：△～△ABC，相似比为k,分别作BC，上的高AD，，探究 的值与k的关系。
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探究交流：
交流汇报：
探究点拨：
由△～△ABC可得∠B=∠，结合∠ADB=∠，可得△ABD～△，从而有==k
由上述探究可得：相似三角形对应边上的高之比等于相似比。
思考：相似三角形对应角的角平分线之比与相似比有什么关系呢？
2．若△ABC～△ABC，相似比为k,那么它们的周长比是多少？面积比是多少？
探究交流：
交流汇报：
交流点拨：
相似三角形周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方。
三、实践应用：
例1、在ABCD中，延长BC到E，使CE∶BC=1∶2，连接AE交DC于F， 求证： S△AFD ∶ S△EFC=4∶1
学生尝试解答：
交流汇报：
教师点拨规范解答：
思路点拨：可先证明△AFD ( http: / / www.21cnjy.com )～△EFC，可得相似比为2：1，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，可得：S△AFD ∶ S△EFC=4∶1。
例2、已知△ABC～△，它们的周长分别是60cm和72cm,且AB=15cm， =24cm，求BC，AC，，的长度。
学生尝试解答：
交流汇报：
教师点拨规范解答：可根据相似三角形的周长比等于相似比，先求出周长之比为 60：72=5：6，从而得到相似比为5：6 ，即=，所以=18，BC =20，再利用周长可得AC=25，=30 。
四、课堂小结：
通过本节课的学习，你有哪些收获？
1、相似三角形对应线段的比等于相似比；
2、相似三角形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方。
五、达标检测：
必做题：
1、如果两个相似三角形对应边的比为3：5，那么它们的相似比为 ，
周长比为 ，面积比为 。
2、连结三角形两边中点的线段把三角形截成的一个小三角形与原三角形的周长比为 ，面积比等于 。
3、两个相似三角形对应的角平分线 ( http: / / www.21cnjy.com )长分别是6cm和18cm,若较大的三角形的周长是42cm，面积是12cm2,则较小三角形的周长为 cm，面积为 cm2。
4、在正方形网络上有△A2B2C2和△A1B1C1，这两个三角形相似吗？如果相似，求出△A1B1C1和△A2B2C2的面积比。
选做题：
在△ABC中，DE∥AB，已知△ADE和△EFC的面积分别为4和9，求△ABC的面积。
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六、链接中考：
已知矩形ABCD的边长AB=2，BC=3，点P是AD边上的一个动点（P异于
A、D），Q是BC边上的任意一点，连结AQ，DQ，过点P作PE∥DQ交AQ于E，作PF∥AQ交DQ于F。
（1）求证：△APE～△ADQ；
（2）设AP的长为，试求△PEF的面积关于的函数关系式。
( http: / / www.21cnjy.com )相似三角形的判定定理2
学习目标：
1、使学生了解相似三角形的判定定理2；
2、会运用相似三角形的判定定理2判定两个三角形相似。
学习重点：会运用相似三角形的判定定理2判定两个三角形相似。
学习难点：理解相似三角形的判定定理2的推导过程
学习过程：
一、问题引入：
1、相似三角形有哪些性质？
2、相似三角形的判定方法有哪些？还有其它的方法判定两三角形相似吗？
二、问题探究：
自主探究一：
如图，若满足以下条件：，∠A=∠A′，那么△ABC与△相似吗？
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自主探究：
探究交流：
教师点拨：
判定定理2：如果一个三角形 ( http: / / www.21cnjy.com )的两条边和另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似，简称为：两边对应成比例，且夹角相等的两个三角形相似。
4、思考：
对于△ABC和△，如果有，∠B=∠B′，这两个三角形一定相似吗？
注意：用判定定理2证明两三角形相似时，那个角必须是对应成比例的两边的夹角。
自主探究二：
两条直角边对应成比例的两个直角三角形相似吗？
如图，在Rt△ABC与Rt△中，∠C=∠C′=90°，且，求证：△～△ABC。
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自主探究：
探究交流：
3、 教师点拨：利用勾股定理可得：
BC2=AB2-AC2
=（2A′B′）2-（2A′C′）2
=4A′B′2-4A′C′2
=4（A′′2-A′C′2）
=4B′C′2
=（2B′C′）2
由此可得出：BC=2B′C′，从而，且∠C=∠C′，由相似三角形的判定定理2可得：△～△ABC。
4、教师归纳：斜边和直角边对应成比例的两个直角三角形相似。
5、讨论：有两边对应成比例的两个直角三角形相似，对吗？
三、实践应用：
例1：已知在△ABC和 ( http: / / www.21cnjy.com )△DEF中，∠C=∠F=70°，AC=3.5cm,BC=2.5cm,DF=2.1cm,EF=1.5cm,求证：△DEF～△ABC。
学生解答：
交流展示：
教师点拨规范解答：由已知条件可得，且∠C=∠F，从而依判定3可得△DEF～△ABC。
例2、如图，在△ABC中，CD是AB边上的高，且，求证：∠ACB=90°.
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学生解答：
交流展示：
教师点拨规范解答：
利用及∠ADC=∠CDB证明△ACD～△CBD，从而得到
∠ACD=∠B，用等量代换得到∠ACB=90°。
四、课堂小结：
本节课你有哪些收获？
判定两三角形相似的方法有：
平行法→三角形相似；
两角对应相等→三角形相似；
两边对应成比例且夹角相等→三角形相似。
特别注意：用判定③时一定要注意是两边的夹角。
五、达标检测：
必做题
1、如图，D，E分别在AB，AC上，添一个条件后，△ADE与△ABC仍不一定会相似的是（ ）
A．∠ADE=∠C B. ∠AED=∠B C. D.
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2.如图，BC平分∠ABD，AB=4，BD=5，当BC= 时，△ABC～△CBD。
3、在△ABC中，∠B=25°，AD是BC边上的高，并且AD2=BD.DC，则
∠BCA的度数为 。
2、 教材P82练习题。
选做题：
已知矩形ABCD，折叠矩形一边AD，使点D落在点FTH ，已知折痕AE=5cm,且=, ⑴求证：△AFB～△FEC； （2）求矩形ABCD的周长。
( http: / / www.21cnjy.com )相似三角形的判定定理1
学习目标：
1、了解相似三角形的判定定理1：两角分别相等的两个三角形相似；
2、会用相似三角形的判定定理1判定两个三角形相似。
学习重点：运用相似三角形的判定定理1证明两个三角形相似
学习难点：理角相似三角形判定定理1的推导过程
学习过程：
问题导入：
观察你与老师的一个三角板（含30°，60°角的），这两个三角板的外围的三角形的三个内角有什么关系？它们所在的三角形相似吗？
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二、问题探究：
探究一：
任意画△ABC和△，使∠A′=∠A，∠B′=∠B.
(1) ∠C=∠C′吗？
（2）分别度量这两个三角形的边长，它们是否对应成比例？
（3）把你的结果与同学交流，你们的结论相同吗？由此你有什么收获？
学生动手操作：
交流汇报：两个三角形相似
探究二：
如何证明上题中两个三角形相似呢？
学生探究：
交流展示：
教师点拨：
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1、思路点拨：
在△的边A′B′上截取点D，使A′D=AB，过点D作DE∥B′C′，交A′C′于点E.证△A′DE≌△ABC，再用平行法证明△A′DE ～△，
从而得到△ABC ～△。
2、相似三角形的判定定理1：两角分别相等的两个三角形相似。
三、实践交流：
例1、在△ABC中，∠C=900，从点D分别作边AB，BC的垂线，垂足分别为点E、F，DF与AB交于点H，求证：△DEH ～△BCA。
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学生解答：
交流汇报：
教师点拨规范解答：
思路点拨：证明∠DHE=∠A，∠DEH=∠C，然后得用两角对应相等得到两个三角形相似。
例2、如图，在Rt△ABC和Rt△DEF中，∠C=900，∠F=900，若∠A=∠D，AB=5，BC=4，DE=3，求EF的长.
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学生解答：
交流汇报：
教师点拨规范解答：
思路点拨：由∠C=∠F，∠A=∠D，可得△ABC ～△DEF，从而得到，代入已知线段的值就可求出EF的长度为2.4.
四、课堂小结：
本节课你有什么收获？
证明三角形相似的方法你学会了哪一些？
五、达标检测：
必做题：
1、如图：在△ABC中，DE∥BC，若，DE=4，则BC= （ ）
A．9 B 10 C 11 D 12
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2、如图：△ABC中，∠ABD=∠C，AB=6，AC=9，则AD= 。
3、如图；D，E分别在△ABC的边 ( http: / / www.21cnjy.com )AB，AC上，请添加一个条件，使△ABC与△ADE相似，你添加的条件是 。
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4、如图：△ABC的高AD，BE交于点F，求证：。
选做题：
如图：△ABC为直角三角形，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，E是AC的中点，ED的延长线与CB的延长线交于点F，
⑴求证：FD2=FB.FC；
⑵若G是BC中点，连结GD，求证：GD⊥EF。
( http: / / www.21cnjy.com )相似三角形的判定定理3
学习目标：
1、了解相似三角形的判定定理3；
2、会运用相似三角形的判定定理3判定两个三角形相似。
学习重点：运用相似三角形的判定定理3证明两个三角形相似
学习难点：理解相似三角形的判定定理3的推导
学习过程：
一、问题引入
1、相似三角形的判定方法有哪些？
2、能否只利用边的条件去判定两个三角形相似呢？
二、问题探究：
任意画两个三角形△ABC与△，使△ABC的边长是△的边长的k 倍.分别度量∠A和∠A′，∠B和∠B′，∠C和∠C′的大小，它们分别相等吗？由此你有什么发现？
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学生探究：
交流展示：
教师点拨：在△的边A′B′上截取点D，使A′D=AB，过点D作D
E∥B′C′，交A′C′于点E. 证△A′DE ～△，得，又且使A′D=AB，从而可得A′E=AC，DE=BC，则△A′DE≌△ABC，所以△ABC ～△。
相似三角形的判定定理3：三边对应成比例的两个三角形相似。
三、实践交流
例1、在在Rt△ABC与Rt△中，∠C=∠C′=90°，且，求证：△～△ABC。
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1、自主探究：
2、探究交流：
3、教师点拨：已有两边对应成比例，只要得到三边成比例，即可完成证明。设=k,利用勾股定理求出=k,从而得到三边对应成比例，证明两个三角形相似。
例2、图中的两个三角形是否相似，为什么？
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学生解答：
交流展示：
教师点拨规范解答：
思路点拨：①先将两个三角形的三边按大小排列：△ABC中，AB＞BC＞CA，
DEF中，DE＞EF＞FD；②计算对应边的比值：，，③由相似三角形的判定定理3可得△ABC～△DEF.
四、课堂小结
本节课你有什么收获？
相似三角形的判定方法你掌握了哪几种了？
五、达标检测：
必做题：
1、△ABC～△DEF，AB=3，DE=4，∠A=30°，则∠D= ，△ABC与△DEF的相似比为 .
2、若△ABC的三条边的比为3：5：6，与其相似的△的最大边长为9cm,那么△ABC的最大边长为 .
3、下面不相似的一组三角形是： （ ）
A． 两个等边三角形；B. 三角形的三条中位线围成的三角形与原三角形；
C．两个直角三角形； D. 有一底角对应相等的两个等腰三角形。
4、如图：线段AD与BC交于点O，△AOB～△COD，且∠A=∠C，下列各式中正确的有（ ）个.
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① ② ③ ④
A 1 B 2 C 3 D 4
5、教材P89 A组4、5题
选做题：
已知如图：正方形ABCD中，P是BC边上的一点，且BP=3PC，Q是CD的中点，△ADQ与△QCP相似吗？试说明理由.
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课外作业
如图：，试说明∠BAD=∠CAE.
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