2022-2023学年湖北省十堰市名校高一（下）联考数学试卷（6月份）（含解析）

2022-2023学年下学期湖北省十堰市联考高一数学试卷（6月份）
第I卷（选择题）
一、单选题（本大题共8小题，共40分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 在复平面内，复数对应的点在( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
2. 已知的值是( )
A. B. C. D.
3. 边长为的正三角形中，的值为( )
A. B. C. D.
4. 若用平行于某圆锥底面的平面去截该圆锥，得到的小圆锥与圆台的母线长相等，则该小圆锥与该圆台的侧面积的比值为( )
A. B. C. D.
5. 设函数在上单调且值域为，则函数的值域为( )
A. B. C. D.
6. 设与的夹角为，则在上的投影向量为( )
A. B. C. D.
7. 在中，角，，的对边分别为，，若，，的面积为，则的周长为( )
A. B. C. D.
8. 函数，已知为图象的一个对称中心，直线为图象的一条对称轴，且在上单调递减记满足条件的所有的值的和为，则的值为( )
A. B. C. D.
二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）
9. 下列命题中，正确的是( )
A. 已知向量，，则在上的投影的数量为
B. 若，则或
C. 若不平行的两个非零向量，，满足，则
D. 若与平行，则
10. 在三角形中，若，，边上的高为，满足条件的三角形的个数为，则( )
A. 当时， B. 当时，
C. 当时， D. 当时，
11. 函数的图像关于点中心对称，且在区间内恰有三个极值点，则( )
A. 在区间上单调递增
B. 在区间内有个零点
C. 直线是曲线的对称轴
D. 将图象向左平移个单位，所得图象对应的函数为奇函数
12. 在中，内角，，所对的边分别为，，若，，则下列选项正确的是( )
A. B.
C. D. 为钝角三角形
第II卷（非选择题）
三、填空题（本大题共4小题，共20分）
13. 已知，，若，则 ______ ．
14. 化简 ______ ．
15. 已知中，，，点是边上一点，若，则 ______ ．
16. 在平行四边形中，，，，，分别为直线，上的动点，记，两点之间的最小距离为，将沿折叠，直到三棱锥的体积最大时，不再继续折叠在折叠过程中，的最小值为______ ．
四、解答题（本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. 本小题分
已知非零向量，满足，且．
求与的夹角；
若，求
18. 本小题分
设函数的最小正周期为，且．
求的表达式；
当时，求的单调区间及最值．
19. 本小题分
已知，，求的值；
已知，求的值．
20. 本小题分
在中，内角，，所对的边分别为，，已知，
求的值；
求的值．
21. 本小题分
在锐角中，设角，，的对边分别为，，，且，．
求的值；
求的取值范围．
22. 本小题分
已知函数，现有下列个条件：相邻两个对称中心的距离是；，．
请选择其中两个条件，求出满足这两个条件的函数的解析式；
将中函数的图象向右平移个单位长度，再把横坐标缩小为原来的 纵坐标不变，得到函数的图象，请写出函数的解析式，并求其在
上的值域．
答案和解析
1.【答案】
【解析】
【分析】
根据已知条件，结合复数的乘法原则和复数的几何意义，即可求解．
本题考查了复数的几何意义，以及复数代数形式的乘法运算，需要学生熟练掌握公式，属于基础题．
【解答】
解：对应的点位于第二象限．
故选：．

2.【答案】
【解析】解：，
，
故选：．
由条件利用诱导公式进行化简所给的式子，可得结果．
本题主要考查利用诱导公式进行化简求值，属于基础题．
3.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了向量模的求法，考查了平面向量的数量积运算，是基础题．直接由，然后展开利用平面向量的数量积求得答案．
【解答】
解：如图，
．
故选D．
4.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查圆锥的侧面积，属于基础题．
设该圆锥的底面半径为，母线长为，利用圆锥侧面的面积公式求得大圆锥、小圆锥的侧面积，进而得圆台的侧面积，求比值即可得解．
【解答】
解：设该圆锥的底面半径为，母线长为，
则该圆锥的侧面积，
易知截得的小圆锥的底面半径为，母线长为，其侧面积，
则截得的圆台的侧面积，
则该小圆锥与该圆台的侧面积的比值为．
故选B．

5.【答案】
【解析】解：函数在上单调，
所以，
且，，
可得，，
所以，
故选：．
由函数的单调性及最值，可得的解析式，及的范围，进而可得的取值范围．
本题考查三角函数的化简求值的应用，属于中档题．
6.【答案】
【解析】解：与的夹角为，
，
在上的投影向量为：．
故选：．
直接根据投影向量的公式计算即可．
本题主要考查了投影向量的定义，属于基础题．
7.【答案】
【解析】解：因为，，的面积为，
所以，解得．
所以．
由余弦定理得，
解得，
所以的周长为．
故选：．
根据已知条件及三角形的面积公式，利用余弦定理及三角形的周长公式即可求解．
本题考查余弦定理，考查三角形的面积公式，属中档题．
8.【答案】
【解析】解：函数，
由题意知，，，，
两式相减可求得，，，即，，
因为在上单调递减，
所以，
所以，且，，
解得，所以，，，
时，，此时，符合题意；
时，，此时，不满足在上单调递减，不符合题意；
时，，此时，符合题意；
所以符合条件的值之和为．
故选：．
由题意列方程组求出的值，再利用函数的单调性确定的值，从而求得符合条件值之和．
本题考查了三角函数的图象与性质的应用问题，也考查了分析问题和解决问题的能力，属于中档题．
9.【答案】
【解析】解：对于：向量，，
投影的数量为，故A正确；
对于：，则或或，故B错误；
对于：，故C正确；
对于：与平行，则或，故D错误．
故选：．
根据投影公式计算，即可判断；选项没有考虑，故B错误；根据平面向量数量积的性质，即可判断；选项没有考虑，故D错误．
本题考查平面向量数量积的性质和运算，考查转化思想，考查运算能力，属于中档题．
10.【答案】
【解析】解：作出外接圆如图所示，为外接圆的圆心，．
因为，，故，
所以的外接圆半径为，
又，所以当时，最大为．
对，当时，由圆的对称性可知，此时，故A正确；
对，当时，是唯一的，故B正确；
对，当时，，故C错误；
对，当时，，故D正确；
故选：．
根据正弦定理可得外接圆，再分析高的取值范围与三角形解的个数关系即可．
本题主要考查正弦定理及其应用，三角形个数的确定等知识，属于中等题．
11.【答案】
【解析】解：数的图像关于点中心对称，
，，得，，
当时，，，
在区间内恰有三个极值点，
，
即
得，
，，
当时，，
则，
当时，，，此时不单调，故A错误，
当时，，，此时在区间内有个零点，故B正确，
当时，，此时，即直线是曲线的对称轴，故C正确，
将图象向左平移个单位，得到，此时函数不是奇函数，故D错误．
故选：．
根据对称性，建立方程，根据在区间内恰有三个极值点，求出，利用函数的单调性，对称性以及图象变换关系分别进行判断即可．
本题主要考查三角函数的图像和性质，根据条件求出，利用函数的单调性，对称性以及图象变换关系进行判断是解决本题的关键，是中档题．
12.【答案】
【解析】解：由，得，
又，得，
两式作比得：，
所以，故A正确，
由，得，
由余弦定理，得，故B错误，
由于，可得为钝角，故D正确，
由于，可得，故C正确．
故选：．
由正弦定理得，结合，得，可判断，再由，得，代入余弦定理的推论可求的值，可判断，由，可判断，利用正弦定理可求的值，可判断，从而得解．
本题考查三角形的解法，考查正弦定理和余弦定理在解三角形中的应用，是中档题．
13.【答案】
【解析】解：根据题意，已知，，
若，则有，解可得，
又由，则，
故答案为：．
根据题意，由向量平行的坐标表示方法可得，解可得的值，分析取舍即可得答案．
本题考查向量平行的坐标表示方法，涉及向量的坐标，属于基础题．
14.【答案】
【解析】解：
．
故答案为：．
根据诱导公式计算即可．
本题考查诱导公式，属于基础题．
15.【答案】
【解析】解：由可知，是等腰三角形，
，，所以，
则，点是上的动点，
设，，
故
．
故答案为：．
根据题意，利用余弦定理求出，然后利用平面向量基本定理和数量积的运算即可求解．
本题主要考查平面向量的数量积运算，考查转化能力，属于中档题．
16.【答案】
【解析】解：根据题意可知，如下图所示；
由，，，利用余弦定理可得，
解得，所以满足，即，则，
又，分别为直线，上的动点，记，两点之间的最小距离为，
则表示两直线，之间的距离，在沿折叠过程中，
直线，由两平行线变成两异面直线，且两直线间的距离越来越近，
当三棱锥的体积最大时，此时平面；即此时，两点之间的距离最小，
即为两异面直线，之间的距离，
以点为坐标原点，分别以，为轴，轴，以过点且与平行的直线为轴建立空间直角坐标系，
如下图所示：
则．，，，
即，，
设与垂直的一个向量为，
则，令，则，
可得，不妨取，
由两异面直线间的距离公式可得
的最小值为．
故答案为：．
根据平行四边形的边长即角度可得，再由，两点的位置关系以及的几何意义，确定出沿折叠过程中三棱锥的体积最大时平面，建立空间直角坐标系利用两异面直线间的距离公式即可计算出结果．
本题考查空间几何体的性质，考查两点间距离的最小值的求法，属中档题．
17.【答案】解：，，
，
，，
，，，
，，
向量夹角，与的夹角为．
，，
，又由知，，
，．
【解析】由，得数量积为，再结数量积的公式和，可求得夹角；
由，两边平方，将此式展开，把代入可求得结果．
本题主要考查平面向量的数量积的有关运算，考查计算能力，属于基础题．
18.【答案】解：由题意，函数的最小正周期为，
可得最小正周期，解得，
又由，
因为，所以，
所以函数的解析式为；
由知，，
因为函数在上单调递减，在上单调递增，
令，解得，
令，解得，
令，可得在上单调递增；在上单调递减，
又因为，
所以的最大值为，最小值为．
【解析】由正弦型函数最小正周期求得，再由，求得，即可求解；
由，结合余弦型函数的图象与性质，接口求得函数的单调区间和最值．
本题主要考查了余弦函数的图像和性质，属于中档题．
19.【答案】解：因为，所以，因为，
所以，
所以．
由于，，
故，
，
．
【解析】因为，所以，再由同角三角函数的基本关系结合二倍角公式可求出答案；
由诱导公式可将所求表达式化简为，即可得出答案．
本题主要考查了同角平方关系，和差角公式及二倍角公式的应用，属于基础题．
20.【答案】解：Ⅰ在三角形中，由正弦定理得，所以，
又由，
得，即，
又因为，得，，
由余弦定理可得
；
Ⅱ由Ⅰ得，
从而，
，
故
．
【解析】本题主要考查同角三角函数的基本关系，两角和的正弦公式，二倍角的正余弦公式，以及正弦定理、余弦定理等基础知识，考查运算求解能力，属于中档题．
Ⅰ根据正余弦定理可得；
Ⅱ根据二倍角的正余弦公式以及和角的正弦公式可得．
21.【答案】解：在锐角中，，则，
由正弦定理得，则，，
又，
则．
由余弦定理得，所以，
则，
令，则，
又，
则，
所以，当且仅当时，等号成立，即，
所以，，
因为函数在上单调性递减，所以
即的取值范围时．
【解析】根据正弦定理边化角结合诱导公式与正弦两角和公式化简即可得的值；
根据数量积的定义、用数量积求模长，将转化为，结合基本不等式、换元法求函数值域，即可求得的取值范围．
本题主要考查平面向量的数量积运算，考查转化能力，属于中档题．
22.【答案】解：选择：
因为相邻两个对称中心的距离是，所以最小正周期，所以，
又，所以，
所以，，
因为，所以，
所以函数的解析式为；
选择：
因为相邻两个对称中心的距离是，所以最小正周期，所以，
又，所以，
所以，，
因为，所以，
所以函数的解析式为；
选择：
因为，，
所以或，即或，
所以或，
所以或，
又，所以，
因为，所以，
所以，，
因为，所以，
所以函数的解析式为；
由题意知，，
由知，，
所以，
故在上的值域为．
【解析】选择：易知最小正周期，从而得，再由，求得的值，即可；
选择：易知最小正周期，从而得，再由，求得的值，即可；
选择：由，，推出或，再结合与，求得，然后由，求出的值，得解；
根据函数图象的变换法则，可得，再结合正弦函数的图象与性质，得解．
本题考查三角函数的图象与性质，熟练掌握正弦函数的图象与性质，函数图象的变换法则是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．