安徽省定远重点中学2022-2023学年高二年级下学期7月第一次教学质量检测数学试卷（含解析）

2022-2023学年下学期7月高二年级教学质量检测
数学试卷
一、单选题（本大题共8小题，共40分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 已知直线的一个方向向量为，则直线的斜率为．( )
A. B. C. D.
2. 如图，在四面体中，是的中点，设，，，则( )
A. B.
C. D.
3. 某书院数科考试中有这样一道题：那年春，夫子游桃山，一路摘花饮酒而行，始切一斤桃花，饮一壶酒，复切一斤桃花，又饮一壶酒，后夫子惜酒故再切一斤桃花，只饮半壶酒，再切一斤桃花，饮半半壶酒，如是而行，终夫子切六斤桃花而醉卧桃山问：夫子切了六斤桃花一共饮了几壶酒( )
A. B. C. D.
4. 第十四届全国人民代表大会第一次会议于年月日在北京召开，月日各代表团分组审议政府工作报告某媒体名记者到甲、乙、丙个小组进行宣传报道，每个小组至少一名记者，则记者被安排到甲组的概率为( )
A. B. C. D.
5. 某市教体局对全市高三年级学生的身高进行抽样调查，随机抽取了名学生，他们的身高都处在，，，，五个层次内，根据抽样结果得到统计图，则样本中层人数是( )
A. B. C. D.
6. “点在圆外”是“直线与圆相交”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
7. 设，，，是半径为的球的球面上的四个点设，则不可能等于( )
A. B. C. D.
8. 古希腊数学家阿波罗尼奥斯在研究圆锥曲线时发现了椭圆的光学性质：从椭圆的一个焦点射出的光线，经椭圆反射，其反射光线必经过椭圆的另一焦点，设椭圆方程，，为其左、右焦点，若从右焦点发出的光线经椭圆上的点和点反射后，满足，，则该椭圆的离心率为( )
A. B. C. D.
二、多选题（本大题共4小题，共20分。在每小题有多项符合题目要求）
9. 已知函数，则( )
A. 是函数的一个零点 B. 是函数的一个极值点
C. 函数在区间上单调递减 D. 函数在处切线的斜率为
10. 抛掷一枚质地均匀的骰子六个面上的数字是，，，，，，抛掷两次设事件“两次向上的点数之和大于”，事件“两次向上的点数之积大于”，事件“两次向上的点数之和小于”，则( )
A. 事件与事件互斥 B.
C. D. 事件与事件相互独立
11. 关于函数，，下列说法正确的是( )
A. 当时，在处的切线方程为；
B. 当时，存在唯一极小值点，且；
C. 对任意，在上均存在零点；
D. 存在，在上有且只有两个零点．
12. 设双曲线，直线与双曲线的右支交于点，，则下列说法中正确的是( )
A. 双曲线离心率的最小值为
B. 离心率最小时双曲线的渐近线方程为
C. 若直线同时与两条渐近线交于点，，则
D. 若，点处的切线与两条渐近线交于点，，则为定值
三、填空题（本大题共4小题，共20分）
13. 在的展开式中，项的系数为 ．
14. 已知函数及其导数，若存在，使得，则称是的一个“巧值点”，给出下列四个函数：；；；，其中有“巧值点”的函数是
15. 在数列中，，；等比数列的前项和为当时，使得恒成立的实数的最小值是 ．
16. 已知函数为定义在上的奇函数，则不等式的解集为 ．
四、解答题（本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. 本小题分
如图，在四面体中，，，，，．
求证：，，，四点共面．
若，设是和的交点，是空间任意一点，用，，，表示．
18. 本小题分
已知等差数列和等比数列满足，．
求数列，的通项公式；
设数列中不在数列中的项按从小到大的顺序构成数列，记数列的前项和为，求．
19. 本小题分
如图，在四棱锥中，底面为正方形，平面，，为线段的中点，为线段上的动点．
求证：平面平面
求平面与平面夹角的最小值．
20. 本小题分
第届亚运会将于年月日在杭州拉开帷幕，为了更好地迎接亚运会，杭州市政府大举加强了城市交通基础设施的建设至年地铁运行的里程数达到公里，排位全国第六同时，一张总长公里、“四纵五横”为骨架、通达“东西南北中”十城区的快速路网也顺利完工准备接待世界各地的来宾现杭州公共出行的主流方式为地铁、公交、打车、共享单车这四种，基本可以覆盖大众的出行需求．
一个兴趣小组发现，来自不同的城市的游客选择出行的习惯会有很大差异，为了验证这一猜想该小组进行了研究请完成下列列联表，并根据小概率值的独立性检验，分析城市规模是否与出行偏好地铁有关精确到
出行方式 国际大都市 中小型城市 合计
偏好地铁
偏好其他
合计
国际友人来杭游玩，每日的行程分成段，为了更好的体验文化，相邻两段的出行方式不能相同，且选择地铁、公交、打车、共享单车的概率是等可能的已知他每日从酒店出行的方式一定是从地铁开始，记第段行程上坐地铁的概率为，易知，．
试证明为等比数列
设第次选择共享单车的概率为，比较与的大小．
附：，．
21. 本小题分
已知点在抛物线的准线上，过点作直线与抛物线交于，两点，斜率为的直线与抛物线交于，两点．
求抛物线的标准方程
求证：直线过定点
(ⅱ)记(ⅰ)中的定点为，设的面积为，且满足，求直线的斜率的取值范围．
22. 本小题分
已知函数．
讨论的零点个数
当有两个零点时，分别设为，，试判断与的大小关系，并证明．
答案和解析
1.
【解析】因为直线的一个方向向量为，
所以直线的斜率．故选D．
2.
【解析】，
，
．
故选：．
3.
【解析】由题意可知，数列前项都是，从第二项开始，构成以公比为的等比数列，
所以前项和为：．
故选B．
4.
【解析】名记者到甲、乙、丙个小组进行宣传报道，每个小组至少一名记者，共有种不同情况，记者被安排到甲组有种，所求概率为
5.
【解析】由图可知女生的人数为，
男生的人数为，
其中女生层人数为，男生层人数为；
故样本中层人数是；故选D．
6.
【解析】若点在圆外，则，
圆的圆心到直线的距离，
与半径的大小无法确定，
不能得到直线与圆相交，充分性不成立，
若直线与圆相交，
则圆的圆心到直线的距离，
即，点在圆外．
点在圆外是直线与圆相交的必要不充分条件．
故选：．

7.
【解析】，，，是以为球心，半径为的球面上的四点，，
、、、四点共面，为等边三角形，．
当点和、、中其一重合时得到
极限状态，不能重合，
当平面时，，
，不可能．故选：．
8.
【解析】由题意，可作图如下：
则，，
即，
可设，，，
由，
则，即，
，在中，，
则．
故选C．

9.
【解析】解：根据题意，
，则无零点，故A错误；
当时，，不是极值点，故B错误；
当，则，
根据余弦函数单调性可知函数在此区间单调递减，故C正确；
，则，故D正确
故选CD．
10.
【解析】抛掷一枚质地均匀的骰子两次，基本事件总共有个，
事件 为“两次向上的点数之和大于”则共有、、、、、、、、、、、、、、，共种，
则．
事件表示“两次向上的点数之积大于”，则共有、、、、、，共种，
则．
事件表示“两次向上的点数之和小于”的对立事件为“两次向上的点数之和大于等于”，则共有、，、、、共种，
．
由于，故事件与事件互斥，故A正确；
，故B错误；
概率 ，故C正确；
，，
，故事件与事件不相互独立，故D错误．
故选AC．

11.
【解析】对于，当时，
，，
，，
在处的切线方程为，即，故A正确；
对于，当时，
，，
，令，得，
由与图象可得存在唯一，使得，即，
且当，，单调递减，
当，，单调递增，
存在唯一极小值点，
且，，
，故B正确；
对于，，令，当时，
分离参数可得，
设，，
令，解得，，
作出的图象，
当时，取极小值，也是上的最小值为，
当时，取极大值，也是上的最大值为，
由图像可知当时，在上没有零点，故C错误，
当时，在上有两个零点，故D正确．
综上，正确的是．
故选ABD．

12.
【解析】由双曲线的方程可得
所以双曲线的离心率
当且仅当，即时取等号，所以不正确
离心率最小时，，这时双曲线的标准方程为：，此时渐近线方程为，所以B正确
双曲线的两条渐近线可以看作一条退化的二次曲线，方程为
设直线过点，倾斜角为，则直线的方程为
，其中参数为直线上的动点到定点的距离，
将上述，代入双曲线方程，若整理后得到的关于的二次方程为，
那么将，代入渐近线方程，整理后得到的关于的二次方程则为，
由解得、对应的、，及的中点所对应的参数
由解得、对应的、，及的中点所对应的参数
可见的中点与的中点重合，故 AC，故C正确；
若，设，则，
对两边便于求导可得：，，
切线方程为，整理得，
切线方程也可表示为，
综合可得过的切线方程为，与渐近线联立解得：
，故F，将其代入渐近线中，
得，
，故选项D正确，
故选：．

13.
【解析】展开式的通项公式，
令可得，，
则项的系数为．
故答案为：．

14.
【解析】
【分析】
本题主要考查导数的应用，以及函数的方程的判断，考查学生的运算能力属于基础题．
分别求函数的导数，根据条件，确实是否有解即可．
【解答】
解：中的函数，要使，则，解得或，可见函数有巧值点，故成立；
对于中的函数，要使，则，由对任意的，有，可知方程无解，原函数没有巧值点，故不成立；
对于中的函数，要使，则， 由函数与 的图象它们有交点，因此方程有解，原函数有巧值点，故成立；
对于中的函数，要使，则 ，即，显然无解，原函数没有巧值点，故不成立．
故答案为：．

15.
【解析】由已知易知是以为首项，以为公差的等差数列，
，
当时，，
是等比数列
也适合，即
对，恒成立，即恒成立．
，令
由得，又
；
即，
．
故最小值为．

16.
【解析】函数为定义在上的奇函数，
，
即
且定义域应对称，则，
，，
即为定义在上的奇函数，
在上单调递增，在上单调递增，
在上单调递增，
，即
解得，
即不等式的解集为
故答案为：．

17.解：因为，
，
所以，因此，，，四点共面．
由知，，，
因此，则，所以，
18.解：设等差数列的公差为，等比数列的公比为，
由，可得，
则，，
所以，，；
由知
即是数列中的第项，
设数列的前项和为，数列的前项和为，
因为，
所以数列的前项是由数列的前项去掉数列的前项后构成的，
所以．
【解析】本题考查等差数列与等比数列的通项公式，等差数列与等比数列的前项和公式，属于中档题．
直接利用条件分别求得，的公差与公比，即可得到通项公式；
求得数列的前项，去除掉数列的前项即可得到．
19.解：中，为的中点，所以．
在正方形中，．
因为平面，平面，即．
又因为，，平面，所以平面．
平面，即，又因为，，，平面．
所以平面，平面，
即平面平面．
因为平面，底面是正方形，
所以易知，，两两垂直．
以为原点，，，所在直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系．
有，，，，，中点，
设，
，，，．
设平面的法向量，由，
得，取．
设平面的法向量，
由，得，取
所以平面与平面的夹角的余弦值为
，
令，，
则，
所以当即时，平面与平面的夹角的余弦值取得最大值，
此时平面与平面的夹角取得最小值．

【解析】本题考查利用空间向量求平面与平面的夹角，考查计算能力，属于中档题．
20.解：
出行方式 国际大都市 中小型城市 合计
首选地铁
首选其他
合计
零假设为城市规模与出行偏好地铁无关．
经计算，根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，即认为城市规模与出行偏好地铁有关，此推断犯错误的概率不大于．
证明：第段行程上坐地铁的概率为，
则当时，第段行程上坐地铁的概率为，不坐地铁的概率为
则，
从而，
又，所以是首项为，公比为的等比数列．
解：由可知，
则，又，故．

21.解：由题意可知的准线方程为：，
即，所以．
抛物线的标准方程为．
设，，，
由题意知直线不与轴垂直，故直线方程可设为：，
与抛物线方程联立，化简得：，
根据根与系数的关系可得：，
即，
，直线方程为，
整理得：．
又因为，即．
将代入化简可得：，
故直线方程可化为．
故直线过定点．
由知与轴平行，直线的斜率一定存在，
，，
由知
所以，
又因为，
即，化简得或
又由，得：且，
即或
综上所述，
22.解：函数，，
则，
因为，，则，
所以当时，，则单调递减
当时，，则单调递增，
所以，
因为当时，；当时，，
所以当，即时，的零点个数为
当，即时，的零点个数为
当，即时，根据零点存在定理可得的零点个数为，
综上，当时，的零点个数为；当时，的零点个数为；当时，的零点个数为；
证明如下：
由可知，当时，函数有两个零点，且，，
令，，
则，
当时，，
所以在区间上单调递增，
所以，
所以，
因为，所以，
由知在区间上单调递增，
所以，
故得证．