1.2 空间向量基本定理2023-2024学年高二数学同步精讲课件（人教A版2019选择性必修第一册）(共24张PPT)

(共24张PPT)
1.2 空间向量基本定理
LET’S START
·复习回顾·
平面向量基本定理：
　　如果 e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量 a，有且只有一对实数 λ1，λ2，使
a＝λ1e1＋λ2e2．
若 e1，e2不共线，我们把{e1，e2}叫做表示这一平面内所有向量的一个基底．
问题探究
我们知道，平面内的任意一个向量p都可以用两个不共线的向量a，b来表示. 类似地，任意一个空间向量能否用任意几个向量a，b，c来表示呢？
思考
平面内的任意一个向量p都可以用两个不共线的向量a，b来表示. 那么任意一个空间向量还可以用两个向量来表示吗？
a
b
c
思考
那么任意一个空间向量可以用任意三个向量来表示吗？
三个向量共面
三个向量不共面
a
b
c
？
问题探究
对于任意三个不共面的向量能否表示空间中任意向量，我们先从空间中三个不共面的向量两两垂直这一特殊情况开始讨论.
p
i
j
k
P
Q
O
α
问题探究
对于任意三个不共面的向量能否表示空间中任意向量，我们先从空间中三个不共面的向量两两垂直这一特殊情况开始讨论.
xi
p
i
j
k
P
Q
O
yj
zk
α
我们称 xi，yj，zk 分别为向量 p 在 i，j，k 上的分向量．
问题探究
对于任意三个不共面的向量能否表示空间中任意向量，我们先从空间中三个不共面的向量两两垂直这一特殊情况开始讨论.
我们称 xi，yj，zk 分别为向量 p 在 i，j，k 上的分向量．
xi
p
i
j
k
P
Q
yj
zk
α
O
问题探究
在空间中，如果用任意三个不共面的向量a，b，c代替两两垂直的向量i，j，k，你能得出类似的结论吗？
a
b
c
p
问题探究
在空间中，如果用任意三个不共面的向量a，b，c代替两两垂直的向量i，j，k，你能得出类似的结论吗？
a
b
c
O
P
α
p
a
c
b
B
C
A
Q
问题探究
在空间中，如果用任意三个不共面的向量a，b，c代替两两垂直的向量i，j，k，你能得出类似的结论吗？
Q
α
a
b
c
O
P
p
a
c
b
B
C
A
问题探究
在空间中，如果用任意三个不共面的向量a，b，c代替两两垂直的向量i，j，k，你能得出类似的结论吗？
O
Q
P
p
a
c
b
B
C
A
α
a
b
c
问题探究
在空间中，如果用任意三个不共面的向量a，b，c代替两两垂直的向量i，j，k，你能得出类似的结论吗？
xa
O
Q
P
p
a
c
b
yb
zc
B
C
A
α
a
b
c
问题探究
在空间中，如果用任意三个不共面的向量a，b，c代替两两垂直的向量i，j，k，你能得出类似的结论吗？
xa
O
Q
P
p
a
c
b
yb
zc
B
C
A
α
a
b
c
请类比平面向量基本定理，写出空间向量基本定理。
如果 e1，e2 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量 a，有且只有一对实数 λ1，λ2，
使a＝λ1e1＋λ2e2．
空间向量基本定理
平面向量基本定理
如果三个向量 a，b，c 不共面，
那么对任意一个空间向量 p，
存在唯一的有序实数组 (x，y，z)，
使得 p＝xa＋yb＋zc．
一、空间向量基本定理
如果三个向量 a，b，c 不共面，那么对任意一个空间向量 p，存在唯一的有序实数组 (x，y，z)，使得
p＝xa＋yb＋zc．
那么，所有空间向量组成的集合就是
{ p | p＝xa＋yb＋zc，x，y，z∈R}．
我们把{a，b，c}叫做空间的一个基底，a，b，c 都叫做基向量．
空间的基底有多少个，需要满足什么条件？
一、空间向量基本定理
特别地，如果空间的一个基底中的三个基向量两两垂直，且长度都为1，那么这个基底叫做单位正交基底，常用{i，j，k}表示．
把一个空间向量分解为三个两两垂直的向量，叫做把空间向量进行正交分解．
a
i
j
k
P
Q
O
给我一个支点，我可以撬起地球．
——阿基米德
给我一个基底，
我还你一个空间！
练习巩固
例1 下列说法正确的是（ ）
A.若向量共线，则向量所在的直线平行
B. 若是空间三个向量，则对空间任意向量，总存在唯一的有序数组{x，y，z}，使.
C. 若向量所在的直线是异面直线，则向量一定不共线.
D. 若三个向量两两共面，则三个向量一定共面.
C
练习巩固
练习1 若{}构成空间的一个基底，则下列向量能构成空间的一个基底的是（ ）
A. , , B. , ,
C. , , D. , ,
B
练习巩固
例2 如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，已知，，，M,N分别是BC1，B1C1的中点，试用基底{}表示向量，.
A
B
C
A1
B1
C1
M
N
练习2 如图所示，已知空间四边形ABCD的每条边和对角线都等于1，点E，F，G分别是AB，AD，CD的中点，设，{a，b，c}为空间向量的一个基底，求：
(1)
(2)
练习巩固
A
B
C
D
E
G
F
课堂小结
空间向量基本定理：如果三个向量 a，b，c 不共面，那么对任意一个空间向量 p，存在唯一的有序实数组 (x，y，z)，使得p＝xa＋yb＋zc．
用向量方法解决立体几何问题的路径：
立体几何问题
向量问题
向量问题的解
立体几何问题的解
①适当选取基底
②用基向量表示相关向量
③将相关向量的问题转化为基向量的问题