亳州市二完中2022-2023学年高二下学期期末考试
参考答案：
1．C
【分析】首先解一元二次不等式求出集合，再根据补集、交集的定义计算可得.
【详解】由，即，解得，
所以，
，又，．
故选：C．
2．B
【分析】由可得或，再由充分条件和必要条件的定义进行判断.
【详解】由可得，或，
“”是“”的充分不必要条件.
故选：B．
3．B
【分析】根据题意可得函数的图象关于直线对称，从而利用其单调性可将不等式转化为，亦即，即可解出．
【详解】因为函数是偶函数，所以函数的图象关于直线对称，且在上单调递减，在上单调递增，而不等式对任意的恒成立，由于，所以，即原不等式等价于，又，所以，解得：．
故选：B．
4．B
【分析】根据题意可知热气球在每分钟上升的高度构成等比数列，，公比，再根据等比数列的前项和公式可求得，然后由即可解出．
【详解】由题意知，热气球在每分钟上升的高度构成等比数列，则表示热气球在第分钟上升的高度（单位：米），且，公比.
经过分钟，热气球上升的总高度.
因为，，所以该气球至少要经过4分钟才能上升到70米.
故选：B.
5．B
【分析】根据奇函数的性质和导数的定义即可求出结果.
【详解】因为是奇函数，所以.
故选：B.
6．B
【分析】根据给定的导函数图象可得导函数值的变化情况，再结合原函数的变化率情况判断作答.
【详解】由导函数图象知，，恒成立，即函数在上单调递增，
而函数在上单调递增，在上单调递减，
因此在上，函数的变化率逐渐增大，即函数图象逐渐由缓变陡，选项AD不满足，
在上，函数的变化率逐渐减小，即函数图象逐渐由陡变缓，选项C不满足，选项B符合题意.
故选：B.
7．C
【分析】用替换已知式中的，然后两式相减求得，然后由裂项相消法求和．
【详解】因为，
所以时，，
两式相减得，，
又，满足此式，所以，
，
所以数列的前10项和为．
故选：C．
8．D
【分析】存在性问题转化为在上能成立，利用导数求的最大值即可得解.
【详解】在上为增函数，
由知，，
令，则，
当时，，
即在上单调递增，
所以，即，
所以在上单调递增，即在上单调递增，
不妨设，则，，
可化为，
即，
令，
则，
， 使能成立，
在上能成立，
即在上能成立，
，，
令，，
则，令，
则，当时，，
故在上单调递增，所以，
故，在上单调递增，
，
.
故选：D
【点睛】关键点点睛：根据题意转化为存在，使能成立是其一，其二需要构造函数后分离参数转化为在上能成立，再次构造函数，多次利用导数求其最大值.
9．BCD
【分析】利用不等式的基本性质逐项判断，可得出合适的选项.
【详解】对于A选项，因为，，则，，所以，，A错；
对于B选项，因为，所以，
因为，所以，所以，则，，
所以，，B对；
对于C选项，因为，则，因为，则，C对；
对于D选项，因为，，所以，，D对.
故选：BCD.
10．ACD
【分析】根据分段函数值、零点、不等式、图象等知识确定正确答案.
【详解】A选项，，A选项正确.
B选项，当时，方程的，
无实数根；
当时，由解得，
所以的零点有个，B选项错误.
C选项，当时，由得，解得；
当时，由得，
所以的解集为或，C选项正确.
D选项，画出的图象如下图所示，
不妨设，则，
，由解得，
所以，所以，D选项正确.
故选：ACD
11．ABC
【分析】判断出周期性、对称性、奇偶性，根据解析式的求法判断A选项，结合图象判断CD选项.
【详解】是周期为的周期函数，
的对称轴为，B正确.
，
则，为偶函数.
时，，
，A正确.
由此画出在区间的图象如下图所示，
当时，.
结合图象可知C正确，D错误.
故选：ABC
12．ABC
【分析】根据分类加法原理求，由此判断A，根据等比数列定义判断B，利用累加法求，判断C，由泰勒定理求，结合比差法判断D.
【详解】设封信分别为，，，，当在第二个信箱时，
有，，共种错投方式，
同理可得在第与第个信箱时，也分别有种错投方式，
故共有种错投方式，
所以，故A正确；
因为，
所以，
又，
所以为等比数列，首项为，公比为，故B正确；
所以，
所以，
因为，
所以时，，故C正确；
装错信封的概率为，
，
则，
当为奇数时，，
当为偶数时，，
综上所述：当为奇数时，，
当为偶数时，，故D错误．
故选：ABC．
13．4
【分析】由题意结合代数式的特点和均值不等式的结论整理计算即可求得最终结果.
【详解】.
当且仅当时等号成立.
据此可知：的最小值为4.
【点睛】条件最值的求解通常有两种方法：一是消元法，即根据条件建立两个量之间的函数关系，然后代入代数式转化为函数的最值求解；二是将条件灵活变形，利用常数代换的方法构造和或积为常数的式子，然后利用基本不等式求解最值．
14．
【分析】根据题意可得，，进而将原不等式转换为不等式组，解之即可.
【详解】由题意知，
，，
故答案为：.
15．2
【解析】先由题意列出关于的方程，求得的通项公式，再表示出即可求解.
【详解】解：设公比为，且，
时，上式有最小值，
故答案为：2.
【点睛】本题考查等比数列、等差数列的有关性质以及等比数列求积、求最值的有关运算，中档题.
16．
【分析】首先判断函数的单调性及奇偶性，将脱掉“f”，得到，然后构造函数，利用导数研究函数的单调性即可得解.
【详解】由，得，
∵，，等号不会同时取得，
∴，
∴函数为增函数.
∵，
∴函数为奇函数；
故，即，
∴，可得，
令，则，
且，
当时，， 单调递增，此时时，，
当时，，单调递减，此时时，，
所以不等式的解集为.
17．(1)
(2)
【分析】（1）根据充分不必要条件得出集合的包含关系，根据包含关系可求答案；
（2）根据二次函数区间最值，及二次不等式恒成立可求答案.
【详解】（1）若“”是“”的充分不必要条件，
则B是A的真子集，而不为空集，
则（等号不同时成立），解得，
即m的取值范围是.
（2）设，
则，
∵，
∴，
由题意得，即，
即a的取值范围为.
18．(1)
(2)证明见详解.
【分析】（1）转化为分段函数解不等式即可；
（2）由（1）知t，运用基本不等式证明即可.
【详解】（1）由条件可知：，
当时，，
当时，，
当时，，
综上的解集为；
（2）由（1）可知当时，，时取得最小值，
当时，，当时，，时取得最小值，
综上，故，即，
则，
∵a，b，c均为正实数，
∴，
当且仅当时取得等号，
即，
故.
19．(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）利用，作差得到是首项为，公差的等差数列，从而求出其通项公式；
（2）由（1）可得，利用裂项相消法计算可得.
【详解】（1）由，可知
两式相减得，
即，
∵，∴，
∵当时，，∴（舍）或，
则是首项为，公差的等差数列，
∴的通项公式；
（2）∵，
∴，
∴数列的前项和
.
20．(1)；
(2)；
(3).
【分析】(1)由奇函数的定义可得，解得，再由奇函数的定义检验，即可得出答案；(2) 将问题转化为方程在上有解，即在上有解，即可得出答案；（3）将问题转化为恒成立，即可求解.
【详解】（1）因为为奇函数，所以
所以所以
所以
所以
所以所以是奇函数，所．
（2）由(1)可知，，
因为方程在上有解,
所以方程在上有解，
所以在上有解，
所以在上有解，
令
函数在上单调递增，
所以
所以的值域为，
所以，
所以的取值范围为．
（3）因为当时，恒成立，
所以当时，恒成立，
所以当时，恒成立，
令,，
令
在上单调递减，
所以当时，，
所以，
所以的取值范围为．
21．(1)证明见解析，
(2)
【分析】（1）依题意可得，即可得到是以为首项，为公比的等比数列，从而求出的通项公式，即可求出的通项公式；
（2）依题意可得，再利用错位相减法求出，则，再根据指数函数的性质对分奇偶两种情况讨论，即可求出参数的取值范围；
【详解】（1）解：因为，，所以，所以，所以是以为首项，为公比的等比数列，所以，所以
（2）解：因为，所以，
所以
两式相减得，
所以，所以．
令，易知单调递增，
若为偶数，则，所以；
若为奇数，则，所以，所以．
所以．
22．（1）分类讨论，答案见解析；（2）
【分析】（1）对函数求导可得，令，求得后，按照、分类，求得、的解集即可得解；
（2）令函数，由函数单调性的定义可得在上递减，由导数可得在上恒成立，设，由导数求得函数即可得解.
【详解】（1）由题意，
令，则，
当时，，所以在上单调递减；
当时，若时，，单调递增，
若，则，单调递减；
综上，当时，在上单调递减；
当时，在上单调递增，在上单调递减；
（2）不妨设，若，
则即，
令，则在递减，
∴即在上恒成立，
设，则，
再设，函数单调递增，
∴，
∴，在上单调递减，∴，
∴的取值范围是.
【点睛】本题考查了函数单调性的定义及导数在研究函数单调性和最值中的应用，考查了分类讨论思想和转化思想，属于中档题.亳州市二完中2022-2023学年高二下学期期末考试
数学试题（A）
一、单选题
1．若集合，，则（ ）
A． B． C． D．
2．设，则“”是“”的（ ）
A．充分必要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
3．已知定义域为R的函数在上单调递减，且是偶函数，不等式对任意的恒成立，则实数m的取值范围是（ ）
A． B．[-1，1] C． D．[-1，0]
4．某单位制作了一个热气球用于广告宣传.已知热气球在第一分钟内能上升30米，以后每分钟上升的高度都是前一分钟的，则该气球上升到70米至少要经过（ ）
A．3分钟 B．4分钟 C．5分钟 D．6分钟
5．已知奇函数满足，则=（ ）
A． B． C．1 D． 1
6．已知函数的图象是下列四个图象之一，且其导函数的图象如下图所示，则该函数的大致图象是（ ）
A． B． C． D
7．已知数列满足，则数列的前10项和是（ ）
A． B． C． D．
8．已知函数，，，使（为常数）成立，则常数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．若，，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
10．已知函数下列叙述正确的是（ ）
A．
B．的零点有3个
C．的解集为或
D．若a，b，c互不相等，且，则的取值范围是
11．已知是定义域为的函数，满足，，当时，，则下列说法正确的是（ ）
A．函数在的解析式为
B．函数的图象关于直线对称
C．当时，的最大值为2
D．当时，的最小值为
12．历史上著名的伯努利错排问题指的是：一个人有封不同的信，投入个对应的不同的信箱，他把每封信都投错了信箱，投错的方法数为例如两封信都投错有种方法，三封信都投错有种方法，通过推理可得：.高等数学给出了泰勒公式：，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．为等比数列
C．
D．信封均被投错的概率大于
三、填空题
13．已知正实数满足，则的最小值为_____．
14．已知定义域为的减函数满足，且，则不等式的解集为___________.
15．正项等比数列|满足，且成等差数列，则取得最小值时的值为_____
16．已知函数，则不等式的解集为______.四、解答题
17．已知集合.
(1)若“”是“”的充分不必要条件，求m的取值范围；
(2)若成立，求a的取值范围.
18已知函数.
(1)求不等式的解集；
(2)已知a，b，c均为正实数，若函数的最小值为，且满足，求证：.
19．为数列的前项和，已知，.
(1)求证：数列为等差数列；
(2)设，求数列的前n项和.
20．已知函数为奇函数．
(1)求的值；
(2)若方程在上有解，求实数的取值范围；
(3)当时，恒成立，求实数的取值范围．
21．已知数列中，，.
(1)求证：是等比数列，并求的通项公式；
(2)数列满足，数列的前项和为，若不等式对一切恒成立，求的取值范围.
22．已知函数.
（1）讨论函数的导函数的单调性：
（2）若对，，,都有，求的取值范围
