1.1.1 空间向量及线性运算-【高效课堂】2023-2024学年高二数学同步精讲课件（人教A版2019选择性必修第一册）(共30张PPT)

(共30张PPT)
1.1.1 空间向量及其线性运算
LET’S START
这是一个做滑翔伞运动的场景.可以想象,在滑翔过程中,飞行员会受到来自不同方向、大小各异的力.
问题探究
我们已经学面向量，那么你还记得平面向量的概念吗？可以用类比法，总结出空间向量的概念和线性运算吗？
一、空间向量的概念
平面向量的概念：平面内，既有大小又有方向的量，称为平面向量，平面向量的大小叫做向量的长度或模，记作或.
问题探究
回顾一下，平面向量都有哪些表示方法？你可以类比平面向量的表示方法，给出空间向量的表示方法吗？
二、空间向量的表示
平面向量的表示
A (起点)
B
(终点)
a，b，c，…
a＝(x，y)
字母表示
坐标表示
二、空间向量的表示
空间向量的表示
a
c
b
a，b，c，…
a＝(x，y)
字母表示
坐标表示
三、特殊向量
零向量：
单位向量：
相等向量：
相反向量：
模为0的向量，记作0；零向量的方向任意；
模为1的向量；
模和方向都相同的两个向量，记作 a＝b；
模相同，方向相反的两个向量，记作a=-b ；
三、特殊向量
共线向量：
若表示空间向量的有向线段所在直线平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量，记作 a∥b；
规定，零向量和任意向量共线.
练习巩固
例1 给出下列命题：
①若将空间中所有的单位向量的起点移到同一个点，则它们的终点构成一个圆；②若空间向量满足，则；③若空间向量，满足，，则 ；④空间中任意两个单位向量必相等；⑤零向量没有方向.
其中假命题的个数是（ ）.
A．1 B．2 C．3 D．4
D
练习巩固
练习1 下列关于单位向量与零向量的叙述正确的是（ ）
A. 零向量是没有方向的向量，两个单位向量的模相等
B. 零向量的方向是任意的，所有单位向量都相等
C. 零向量的长度为0，单位向量不一定是相等向量
D. 零向量只有一个方向，模相等的单位向量的方向不一定相同
C
问题探究
数学中，引进一种量后，一个很自然的问题就是要研究它们的运算. 那么在学习了空间向量的概念之后，空间向量如何进行线性运算呢？
复习回顾·平面向量的线性运算
(1)加减运算
三角形法则:
首尾相连
平行四边形法则：
共起点
减法法则：
共起点，
连终点，
指被减
复习回顾·平面向量的线性运算
(2)数乘运算
实数λ与平面向量a的积是一个向量，记作λa，其长度和方向规定如下：
① |λa|＝|λ||a|；
②若λ > 0，λa与a的方向相同；
若λ < 0，λa与a的方向相反；
若λ＝0，λa＝0.
O
A
Q
P
M
N
a
λa
(λ>0)
λa
(λ<0)
问题探究
如何进行空间向量的线性运算？
a
b
.
O
α
转化
平面向量的线性运算
空间向量的线性运算
四、空间向量的线性运算
(1)加减运算：
(2)数乘运算：
三角形法则、平行四边形法则
实数λ与空间向量a的积是一个向量，记作λa，其长度和方向规定如下：
① |λa|＝|λ||a|；
②若λ > 0，λa与a的方向相同；
若λ < 0，λa与a的方向相反；
若λ＝0，λa＝0.
五、空间向量线性运算的运算律
①交换律： a + b＝b + a；
②结合律： a + (b + c)
＝(a + b) + c，
λ(μa)＝(λμ)a；
③分配律： (λ+μ)a＝λa + μa，
λ(a+b)＝λa + λb.
如何证明空间向量的加法结合律
a
c
b
在平行六面体ABCD－A'B'C'D'中，记
则 a + (b + c)＝
(a + b ) + c＝
所以有：a + (b + c)＝(a + b ) + c.
a， b， c .
练习巩固
例2 如图，E、F分别是长方体ABCD-A1B1C1D1的棱AB，CD的中点，化简下列表达式，并在图中标出化简结果的向量
(1)
(2)
(3)
(4)
练习巩固
练习2 用表示.
问题探究
对任意两个空间向量a与b，如果a=λb(λ∈R)，a与b有什么位置关系？反过来，a与b有什么位置关系时，a=λb？
六、空间向量共线的充要条件
与平面向量共线的充要条件类似，对任意两个空间向量 a， b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使a＝λb .
O
P
l
a
a
七、共面向量
如图，如果表示向量a的有向线段所在的直线OA与直线l平行或重合，那么称向量a平行于直线l.
如果直线OA平行于平面α或在平面α内，那么称向量a平行于平面α. 平行于同一个平面的向量，叫做共面向量
a
a
a
α
O
A
l
问题探究
任意两个空间向量都可以通过平移，移到同一平面内，任意三个向量是否共面呢？
a
b
.
O
α
c
p
可能共面，也可能不共面
问题探究
什么情况下空间中的三个向量是共面的呢？
平面向量基本定理： 若向量 a，b是平面α内两个不共线的向量， 则α内任意一个向量 p，存在唯一的有序实数对 (x，y) ， 使得： p＝xa +yb.
向量a、b、p什么关系？
平面向量基本定理： 若向量 a，b是平面α内两个不共线的向量， 则α内任意一个向量 p，存在唯一的有序实数对 (x，y) ， 使得： p＝xa +yb.
空间向量共面的充要条件
空间向量共面的充要条件：两个向量 a，b不共线，那么向量 p与
向量 a ，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对
(x，y)，使得： p＝xa +yb.
空间向量共面的推论
①空间一点P位于平面ABC内的充要条件是存在有序实数对(x,y)，使
②P、A、B、C四点共面的充要条件是对空间任意一点O，
O
A
C
B
P
练习巩固
例3 下列说法正确的是（ ）
A.平面内的任意两个向量都共线
B.空间中的任意三个向量都不共面
C.空间中的任意两个向量都共面
D.空间中的任意三个向量都共面
C
练习巩固
练习3 已知非零向量，不共线，则使与共线的k的值是_____
±1
课堂小结
定义；表示法；相关概念.
加、减、数乘运算及其运算律.
直线的方向向量；向量共面.
空间向量的概念
空间向量
的线性运算
线性运算的应用