安徽省定远中学2022-2023学年高一（下）7月第一次检测数学试卷（含答案）

2022-2023学年高一（下）7月检测试卷
数学试题
一、单选题（本大题共8小题，共40分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 若集合，，则( )
A. B. C. D.
2. 若复数满足，则( )
A. B. C. D.
3. 随机抽取骑行共享单车的市民进行问卷调查，得到样本的频率分布直方图如图所示再从这些市民中用分层抽样的方法抽取一个样本进行调查，若第二次抽取的样本中年龄段的人数为，则第二次抽取的样本中年龄段的人数为( )
A. B. C. D.
4. 某学校在校学生有人，为了增强学生的体质，学校举行了跑步和登山比赛，每人都参加且只参加其中一项比赛，高一、高二、高三年级参加跑步的人数分别为，，，且：：：：，全校参加登山的人数占总人数的为了了解学生对本次比赛的满意程度，按分层抽样的方法从中抽取一个容量为的样本进行调查，则应从高二年级参加跑步的学生中抽取( )
A. 人 B. 人 C. 人 D. 人
5. 为 两条对角线的交点，，，则( )
A. B. C. D.
6. 已知，为两条不同的直线，，为两个不同的平面，则下列结论中正确的是( )
A. 若，，则
B. 若，，则
C. 若，，则
D. 若，，，则
7. 已知向量，，若，则实数( )
A. B. C. D.
8. 中国古建筑闻名于世，源远流长如图所示的五脊殿是中国传统建筑中的一种屋顶形式，该屋顶的结构示意图如图所示，在结构示意图中，已知四边形为矩形，，，与都是边长为的等边三角形，若点，，，，，都在球的球面上，则球的表面积为( )
A. B. C. D.
二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）
9. 欧拉公式是由瑞士著名数学家欧拉创立，该公式将指数函数的定义域扩大到复数集，建立了三角函数与指数函数的关联，在复变函数论里面占有非常重要的地位，被誉为数学中的天桥依据欧拉公式，下列说法中正确的是( )
A. 对应的点位于第二象限 B. 为纯虚数
C. 的模长等于 D. 的共轭复数为
10. 景德镇号称“千年瓷都”，因陶瓷而享誉全世界景德镇陶瓷以白瓷著称，而白瓷素有“白如玉，明如镜，薄如纸，声如磐”的美誉，如图，某陶瓷展览会举办方计划在长方形空地上举办陶瓷展览会，已知，，为边的中点，分别为边，上的动点，，举办方计划将区域作为白瓷展览区，则白瓷展览区的面积可能是( )
A. B. C. D.
11. 已知向量，，则( )
A. B. 向量，的夹角为
C. D. 在方向上的投影向量是
12. 已知图中，正方形的边长为，、、、是各边的中点，分别沿着、、、把、、、向上折起，使得每个三角形所在的平面都与平面垂直，再顺次连接，得到一个如图所示的多面体，则( )
A. 平面平面
B. 直线与直线所成的角为
C. 直线与平面所成角的正切值为
D. 多面体的体积为
三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13. 一组数据的平均值为，方差为，记的平均值为，方差为，则_________．
14. 向量在向量方向上的投影向量的模为______ ．
15. 已知非零向量，的夹角为，，，则 ______ ．
16. 奋进新时代，扬帆新航程在南海海域的某次海上阅兵上，一大批国产先进舰船和军用飞机接受了党和人民的检阅歼舰载飞机从辽宁舰航空母舰上起飞，以千米小时的速度在同一水平高度向正东方向飞行，在阅兵舰“长沙号”导弹驱逐舰上第一次观察到歼舰载飞机在北偏西方向，分钟后第二次观察到歼舰载飞机在北偏东方向，仰角为，则歼飞机飞行高度为______ 千米结果保留根号．
四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. 本小题分
已知复数，且为实数．
Ⅰ求的值；
Ⅱ设，若复数在复平面内对应的点位于第四象限，求的取值范围．
18. 本小题分
年月日，第十三届全国人民代表大会第五次会议在北京人民大会堂开幕，会议报告指出，年，国内生产总值和居民人均可支配收入明显增长．某地为了解居民可支配收入情况，随机抽取人，经统计，这人去年可支配收入单位：万元均在区间内，按，，，，，分成组，频率分布直方图如图所示，若上述居民可支配收入数据的第百分位数为．
求，的值，并估计这位居民可支配收入的平均值同一组中的数据用该组区间的中点值作代表；
用样本的频率估计概率，从该地居民中抽取甲、乙、丙人，若每次抽取的结果互不影响，求抽取的人中至少有两人去年可支配收入在内的概率．
19. 本小题分
在三棱柱中，，平面，、分别是棱中点．
求证：平面；
求证：平面．
20. 本小题分
指出函数的最大值，及函数取得最大值时所对应的的值，并画出该函数在一个最小正周期内的大致图像；
指出正弦函数的单调性，并以此为依据证明：余弦函数在区间是严格增函数．
21. 本小题分
如图，四棱锥的底面是正方形，平面，点是的中点，作，交于点．
设平面与平面的交线为，试判断直线与直线的位置关系，并给出证明；
求平面与平面所成的较小的二面角的余弦值；
求直线与平面所成角的正切值．
22. 本小题分
在锐角中，角，，所对的边分别是，，，已知，．
求角；
若是内的一动点，且满足，则是否存在最大值？若存在，请求出最大值及取最大值的条件；若不存在，请说明理由；
若是中上的一点，且满足，求：的取值范围．
答案和解析
1.
【解析】，，
．
故选：．
2.
【解析】设，
则，
，
，即，解得，，
，
．
故选：．
3.
【解析】由题意，
样本中年龄段的频率为，
则第二次抽取的样本中年龄段的人数为，
故选：．
4.
【解析】可知全校参加跑步的人数为，
因为：：：：，，
所以，
按分层抽样的方法从中抽取一个容量为的样本，
故应从高二年级参加跑步的学生中抽取的人数为．
故选：．
5.
【解析】由已知可得
．
故选：．

6.
【解析】如图，长方体中，平面视为平面，
对于，直线视为，直线视为，
满足，，而，不正确；
对于，直线视为，直线视为，
满足，，而与相交，不正确；
对于，直线视为，直线视为，
满足，，显然与是异面直线，不正确；
对于，由直线与平面平行的性质定理知，D正确．故选D．
7.
【解析】由可得，
则有，
即，解得．
故选：．
8.
【解析】如图，
连接，，设，
因为四边形为矩形，
所以为矩形外接圆的圆心．连接，
则平面，
分别取，，的中点，，，
根据几何体的对称性可知，直线交于点．
连接，则，且为的中点，
因为，
所以，
连接，，在与中，易知，
所以梯形为等腰梯形，
所以，且．
设，球的半径为，连接，，
当在线段上时，由球的性质可知，
易得，
则，此时无解．
当在线段的延长线上时，由球的性质可知，，
解得，
所以，
所以球的表面积．故选：．
9.
【解析】对于，由题意知，则其对应的点为，且，，
所以对应的点位于第二象限，选项A正确；
对于，由题意知为实数，选项B错误；
对于，，
所以的模长为，选项C错误；
对于，由题意知，
所以的共轭复数为，选项D正确．故选：．
10.
【解析】设，则，
由，，得，
易得，，
则
，
由，得，得，
则．
因为，，
所以白瓷展览区的面积可能是，．
故选：．
11.
【解析】对于，，，
，
，
，故A错误；
对于，，
则向量的夹角为，故B正确；
对于，，
，故C错误；
对于，在方向上的投影向量为，故D正确．
故选：．
12.
【解析】取、的中点、，连接、，如图，、、、是正方形各边的中点，
则，为的中点，
．
平面平面，平面平面，平面，
平面，
四边形是边长为的正方形，
、分别为、的中点，则且，且，
所以四边形为矩形，所以，
以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，
则，，，，
，，，．
选项 A，设平面的一个法向量为，
由，取，则，，则．
设平面的一个法向量为，
由，取，可得，则，
，所以平面与平面不垂直，故A错误；
选项B，，
所以直线与所成的角为，故B正确；
选项D，以为底面，以为高将几何体 补成长方体，
则、、、分别为，，，的中点，
因为，，长方体的体积为，
，
因此，多面体的体积为，故D正确；
选项C，，设直线与平面所成角为，
则，
所以，故C正确．
故选：．
13.
【解析】因为一组数据，，，的平均值为，方差为，
则，，，，的平均值为，
14.
【解析】所求向量的模为．
故答案为：．
15.
【解析】，
，，
，
，
非零向量，的夹角为，
．
故答案为：．
16.
【解析】如图，是阅兵舰，，是歼舰载飞机被观察的起始位置，，是飞机在地面上的射影，
由已知千米，，是正北方向，
因此，，，
，，
由正弦定理，可得，
解得，
可得在直角三角形中，．
故答案为：．
17.Ⅰ为实数，
，即．
；
Ⅱ，
复数在复平面内对应的点位于第四象限，
，解得．
的取值范围是．
18.由频率分布直方图，可得，
则，
居民收入数据的第百分位数为，
，
则，
联立，解得，．
估计这位居民可支配收入的平均值为：
．
根据题意，设事件，，分别为甲，乙，丙在内，
则，
“抽取人中有人在内”，且互斥，
根据概率的加法公式和事件独立性定义得：
；
“抽取人中有人在内”，
根据概率的加法公式和事件独立性定义得：
，
抽取的人中至少有两人去年可支配收入在内的概率为：
．
19.证明：因为、分别是棱中点，
所以，
因为平面，平面，
所以平面
证明：因为平面，平面，
所以，
又，平面，
所以平面，
在三棱柱中，，
所以平面．
20.由题意，，
当，即时，函数取得最大值．
取，列表如下：



该函数在一个最小正周期内的大致图象如右图所示．
正弦函数在上的单调增区间为，
单调减区间为，
证明：任取、，令，，则，，
由于是正弦函数的单调增区间，
所以，，即，
故余弦函数在区间是严格增函数．
21.证明：连结交交于，
是正方形，为的中点，
又是的中点，，
又平面，平面，平面，
又平面，平面平面，．
平面，平面，
，
设正方形的边长为，
，
的中线，，，
同理，，，
，，
为正三角形，中线，且，
，，
，同理，
是二面角的一个平面角，
又在正三角形中，
，
则平面与平面所成的较小的面角的余弦值为．
同中，得，
又在正方形中，，，平面，平面，
平面，
同理平面
同理面
是直线与平面所成的角，
在和中得，
直线与平面所成角的正切值为．
22.，，
由正弦定理得，
即，
，
，又，，，
又，；
点是内的一动点，，
，，
由余弦定理可知，，，
由基本不等式可得，即，，
，当且仅当时等号成立，
；
，，，
又余弦函数在上单调递减，，即平分，
又，，，
又，，，
由可得，所以，
，
又，且为锐角三角形，，
，，
．