北师大版小学数学六年级上册1.5圆的面积 学案

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北师大版小学数学六年级上册1.5圆的面积
知识梳理
1、圆的面积计算公式的推导
将圆转化成学过的平行四边形，求面积。
圆的面积=平行四边形的面积。
如果用S表示圆的面积，r表示圆的半径，那么圆的面积计算公式可以表示为S=πr2
2、圆的面积计算公式的应用
已知半径求面积，直接用公式S=πr2计算；已知周长求面积，用公式S=π（）2计算。
3、圆的面积计算公式的有趣推导
由三角形的面积公式推导圆的面积公式的方法：圆的面积=三角形的面积===πr2
预习真题练
一、选择题
1．一个圆和正方形的周长都是12.56厘米，比较它们的面积（ ）。
A．一样大 B．正方形大 C．圆大 D．无法比较
2．要从一个长2米、宽1米的纸上截取直径为20厘米的圆，最多能截（ ）个。
A．20 B．30 C．40 D．50
3．一张长方形纸的长是3厘米，宽是2厘米，在这张纸里画一个最大的圆（ ）cm2。
A．4 B．6.28 C．3.14 D．12.56
4．一个圆环纸垫的外圆直径是4厘米，内圆直径是2厘米，那么这个纸垫的面积是（ ）平方厘米。
A．37.68 B．9.42 C．6.28 D．3.14
5．如图，正方形的边长是a，求阴影部分面积列式正确的是（ ）。
A．a2－3.14a B．3.14×a2－a2
C．a2－3.14×（）2 D．4a－3.14×（）2
二、填空题
6．惠州市民乐园的自动旋转喷灌装置的射程是4米，它能喷灌的面积有( )平方米。
7．如图，把圆分成若干等份，剪拼成一个近似的长方形。已知长方形的宽是6厘米，则长是( )厘米，这个圆的面积是( )平方厘米。

8．一个挂钟的时针长，从早上8点到晚上8点，时针针尖走过的路程是( )，时针针尖“扫过”的面积是( )。
9．下图中正方形的面积是60平方厘米，圆的面积是( )平方厘米。
10．在推导圆的面积计算公式时，通过把圆等分割拼成近似的平行四边形，这个过程体现的数学思想方法主要是( )思想。
三、计算题
11．求下面图形中阴影部分的周长和面积。
四、作图题
12．请画出一个外圆直径是3cm，内圆半径是1厘米的圆环，并用阴影把圆环的面积表示出来。
五、解答题
13．一根长31.4米的绳子正好绕一棵树的树干5圈，树干横截面的面积是多少平方米？
14．某钟表的时针长8厘米，分针长10厘米，从下午5时到5时30分，分针针尖走过多少厘米？分针扫过的面积是多少平方厘米？
15．一个圆形水池的周长是62.8米，在水池周围修建宽为2米的绿化带。如果每平方米绿化带花费100元，一共需要多少元？
16．如图，一张可折叠的圆桌，直径是1.2米，折叠后便成了一个正方形。
（1）折叠后的桌面的面积是多少平方米？
（2）折叠部分的面积是多少平方米？周长是多少米？（得数保留两位小数）
参考答案
1．C
【分析】由题意可知，正方形和圆的周长相等。根据圆的周长公式和正方形的周长公式，分别求出圆的半径和正方形的边长，然后根据圆的面积公式和正方形的面积公式，求出圆的面积和正方形的面积，再比较。据此解答。
【详解】一个圆和正方形的周长都是12.56厘米，
12.56÷3.14÷2＝2（厘米）
圆的面积：3.14×22
＝3.14×4
＝12.56（平方厘米）
12.56÷4＝3.14（厘米）
正方形的面积：3.14×3.14＝9.8596（平方厘米）
12.56＞9.8596
一个圆和正方形的周长都是12.56厘米，比较它们的面积，圆比较大。
故答案为：C
【点睛】此题考查了圆周长公式、圆面积公式、正方形周长公式、正方形面积公式的灵活应用，要熟练掌握公式。
2．D
【分析】在长2米、宽1米的纸上截取直径为20厘米的圆，可把直径是20厘米的圆看作是边长为20厘米的正方形来计算，分别求出在这个长方形的长和宽上各能剪几个20厘米，然后再相乘，据此解答。
【详解】2米＝200厘米
1米＝100厘米
（200÷20）×（100÷20）
＝10×5
＝50（个）
最多能截50个。
故答案为：D
【点睛】本题的关键是让学生走出用长方形的面积除以圆的面积，就是能剪成圆个数的误区。
3．C
【分析】分析题目，在长方形纸上画一个最大的圆，则这个圆的直径就等于长方形的宽，再根据圆的面积＝πr2列式求出面积即可。
【详解】2÷2＝1（厘米）
3.14×12＝3.14（平方厘米）
故答案为：C
【点睛】确定圆的直径就等于长方形的宽是解答本题的关键。
4．B
【分析】圆环面积＝外圆面积－内圆面积，圆面积＝πr2，据此列式求出这个纸垫的面积。
【详解】3.14×（4÷2）2－3.14×（2÷2）2
＝3.14×4－3.14×1
＝12.56－3.14
＝9.42（平方厘米）
所以，这个纸垫的面积是9.42平方厘米。
故答案为：B
【点睛】本题考查了圆环的面积，掌握圆环和圆的面积计算方法是解题的关键。
5．C
【分析】由于正方形的边长是a，则圆的直径也是a，阴影部分的面积＝正方形的面积－圆的面积，根据正方形的面积公式：边长×边长；圆的面积公式：S＝π（）2，把数代入公式即可求解。
【详解】a×a－3.14×（）2＝a2－3.14×（）2
故答案为：C
【点睛】本题主要考查圆的面积公式和正方形的面积公式，熟练掌握它们的面积公式并灵活运用。
6．50.24
【分析】自动旋转的喷灌装置所能灌溉的面积，是以灌溉射程为半径的圆，即该灌溉面积为一个圆形，同时它的半径是4米，根据圆的面积公式：圆的面积＝r2，代入数据求值即可。
【详解】由分析可得：
3.14×42
＝3.14×16
＝50.24（平方米）
综上所述：惠州市民乐园的自动旋转喷灌装置的射程是4米，它能喷灌的面积有50.24平方米。
【点睛】本题是简单的圆的面积公式应用题，熟记公式是解题的基本要求，解题的关键是要知道旋转的射程就是该圆的半径。
7． 18.84 113.04
【分析】观察图形可知，这个近似的长方形的长等于圆周长的一半，宽等于圆的半径。从图中可知，这个圆的半径是6厘米。圆的周长＝2πr，据此代入数据求出圆的周长，再除以2即可求出长方形的长；圆的面积＝πr2，据此代入数据计算。
【详解】6×2×3.14÷2
＝37.68÷2
＝18.84（厘米）
3.14×62
＝3.14×36
＝113.04（平方厘米）
则长是18.84厘米，这个圆的面积是113.04平方厘米。
【点睛】明确长方形的长、宽与圆的周长、半径的关系，再熟练运用圆的周长和面积公式即可解答。
8． 31.4 78.5
【分析】根据题意可知，时针从早上8点到晚上8点，正好经过12个小时，也就是时针转了一圈，求时针针尖走过的路程，就是求半径是5cm的圆的周长，根据圆的周长公式：周长＝π×半径×2，代入数据，求出周长；求时针扫过的面积，就是求半径是5cm的圆的面积，根据圆的面积公式：面积＝π×半径2，代入数据，即可解答。
【详解】3.14×5×2
＝15.7×2
＝31.4（cm）
3.14×52
＝3.14×25
＝78.5（cm2）
一个挂钟的时针长，从早上8点到晚上8点，时针针尖走过的路程是31.4cm，时针针尖“扫过”的面积是78.5cm2。
【点睛】解答本题的关键是明确时针针尖走过的路程与圆的关系。
9．188.4平方厘米
【分析】通过观察图形可知，正方形的边长等于圆的半径，根据正方形的面积公式：面积＝边长×边长，即正方形的面积＝半径×半径；根据圆的面积公式：面积＝π×半径×半径，由此可知，圆的面积＝3.14×正方形面积，代入数据，即可解答。
【详解】3.14×60＝188.4（平方厘米）
下图中正方形的面积是60平方厘米，圆的面积是188.4平方厘米。
【点睛】本题主要考查正方形的面积公式、圆的面积公式的灵活运用，关键是熟记公式。
10．转化
【分析】根据圆面积公式的推导过程可知，把一个圆平均分成若干份（偶数份），沿半径剪开后再拼成一个近似的平行四边形，将圆的面积转化成平行四边形的面积，这个过程体现的数学思想是“转化”思想，据此解答。
【详解】在推导圆面积公式时，通过把圆等分割拼得到一个近似的平行四边形。这个过程体现的数学思想方法主要是“转化”思想。
【点睛】此题考查的目的是理解掌握圆面积公式的推导过程及应用，以及“转化”思想的应用。
11．（1）51.4cm，21.5cm2；（2）62.8cm，86cm2
【分析】（1）周长等于一个圆的周长加上两个10厘米，面积等于正方形的面积减去一个圆的面积；
（2）周长等于一个圆的周长，面积等于正方形的面积减去一个圆的面积。
【详解】（1）周长：
3.14×10＋10×2
＝31.4＋20
＝51.4（cm）
面积：
10×10－3.14×（10÷2）2
＝100－78.5
＝21.5（cm2）
阴影部分的周长是51.4cm，面积是21.5cm2。
（2）周长：3.14×20＝62.8（cm）
面积：
20×20－3.14×（20÷2）2
＝400－3.14×100
＝400－314
＝86（cm2）
阴影部分的周长是62.8cm，面积是86cm2。
12．见详解
【分析】根据圆的画法，先确定圆规两脚之间的距离（半径），再确定一点为圆心，据此画半径为1.5厘米、1厘米的同心圆，并用阴影把圆环的面积表示出来即可。
【详解】3÷2＝1.5（厘米）
作图如下：
【点睛】此题考查的目的是理解掌握环形的特征及应用。
13．3.14平方米
【分析】先用31.4÷5计算出绕树的树干1圈的长度（即树干的周长），然后根据“圆的半径＝圆的周长÷π÷2”求出圆的半径，进而利用圆的面积公式解答即可。
【详解】31.4÷5＝6.28（米）
6.28÷3.14÷2
＝2÷2
＝1（米）
3.14×12＝3.14（平方米）
答：树干横截面的面积是3.14平方米。
【点睛】解答此题的关键是先计算出树的树干1圈的长度，继而根据圆的周长和面积公式进行解答。
14．31.4厘米；157平方厘米
【分析】根据生活经验可知，分针1小时转一圈，时针12小时转一圈，从下午5时到5时30分，经过了30分钟，也就是分针转了半圈，分针针尖走过的距离等于半径是10厘米的圆周长的一半，分针扫过的面积等于半径是10厘米的圆的面积的一半，根据圆的周长公式：C＝d，圆的面积公式：S＝r2，分别代入数据求解即可。
【详解】由分析可得：
5时30分－5时＝30分
所以分针针尖走过厘米数：
3.14×10＝31.4（厘米）
扫过面积：
3.14×102÷2
＝3.14×100÷2
＝314÷2
＝157（平方厘米）
答：分针针尖走过31.4厘米，分针扫过的面积是157平方厘米。
【点睛】本题主要考查了圆的周长公式、面积公式的灵活运用，根据题目给出的条件，要会分析该分针的运行轨迹，将生活中的一些问题转化到所学的数学公式上来，熟记公式，解决问题。
15．13816元
【分析】根据圆的周长公式：周长＝π×半径×2，半径＝周长÷π÷2，代入数据，求出圆形水池的半径，求出修建宽为2米的绿化带需要的钱数，先求绿化地的面积，绿化带是一个圆环，根据圆环的面积公式：面积＝π×（大圆半径2－小圆半径2），代入数据，求出绿化带的面积，再乘100，即可求出修建宽为2米的绿化带需要的钱数。
【详解】62.8÷3.14÷2
＝20÷2
＝10（米）
10＋2＝12（米）
3.14×（122－102）×100
＝3.14×（144－100）×100
＝3.14×44×100
＝138.16×100
＝13816（元）
答：一共需要13186元。
【点睛】熟练掌握圆环的面积公式是解答本题的关键。
16．（1）0.72平方米
（2）面积：0.41平方米；周长：3.77米
【分析】（1）折叠后的桌面是一个正方形，把正方形看作两个一样的等腰直角三角形，三角形的底是圆的直径，高是圆的半径，根据三角形面积＝底×高÷2，求出一个三角形的面积，再乘2，就是正方形的面积；
（2）先根据圆的面积公式S＝πr2，求出圆的面积，再用圆的面积减去正方形的面积，就是折叠部分的面积；再根据圆的周长公式：周长＝π×直径，代入数据，即可解答。
【详解】（1）1.2×（1.2÷2）÷2×2
＝1.2×0.6÷2×2
＝0.72÷2×2
＝0.36×2
＝0.72（平方米）
答：折叠后的桌面的面积是0.72平方米。
（2）3.14×（1.2÷2）2－0.72
＝3.14×0.62－0.72
＝3.14×0.36－0.72
＝1.1304－0.72
＝0.4104
≈0.41（平方米）
3.14×1.2＝3.768≈3.77（米）
答：折叠部分的面积是0.41平方米，周长是3.77米。
【点睛】无法运用正方形的面积公式求面积时，把正方形分解成两个相等的三角形，找到三角形的底、高与圆的关系，那么正方形的面积就转移到2个三角形的面积上；
观察组合图形，找到要求的面积与哪些图形的面积有关，然后根据面积公式求解。
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