2022-2023学年北京市大兴区高二（下）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1．（4分）设f（x）＝（x+1）2，则f′（1）＝（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
【答案】B
【解答】解：∵f′（x）＝2（x+1），
∴f′（1）＝2×2＝4．
故选：B．
2．（4分）（a+b）4的展开式中二项式系数的最大值为（ ）
A．1 B．4 C．6 D．12
【答案】C
【解答】解：根据二项式系数的性质，可得（a+b）4的展开式中二项式系数的最大值为＝6．
故选：C．
3．（4分）设随机变量X服从正态分布N（0，1），则P（X≤0）＝（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解答】解：根据对称性可知，随机变量X服从正态分布N（0，1），则P（X≤0）＝．
故选：D．
4．（4分）从7本不同的书中选3本送给3个人，每人1本，不同方法的种数是（ ）
A． B． C．37 D．73
【答案】B
【解答】解：从7本不同的书中选3本送给3个人，每人1本，
则有＝A．
故选：B．
5．（4分）根据分类变量x与y的成对样本数据，计算得到χ2＝7.52．已知P（χ2≥6.635）＝0.01，则依据小概率值α＝0.01的χ2独立性检验，可以推断变量x与y（ ）
A．独立，此推断犯错误的概率是0.01
B．不独立，此推断犯错误的概率是0.01
C．独立，此推断犯错误的概率不超过0.01
D．不独立，此推断犯错误的概率不超过0.01
【答案】D
【解答】解：χ2＝7.52＞6.635，
故依据小概率值α＝0.01的χ2独立性检验，
可以推断变量x与y不独立，此推断犯错误的概率不超过0.01．
故选：D．
6．（4分）两批同种规格的产品，第一批占40%，次品率为5%；第二批占60%，次品率为4%．将两批产品混合，从混合产品中任取1件，则这件产品不是次品的概率（ ）
A．0.956 B．0.966 C．0.044 D．0.036
【答案】A
【解答】解：设事件B＝“任取一件产品不是次品”，事件AI＝“产品取自第i批，i＝1，2”，A1与A2互斥，
由题意可知P（A1）＝0.4，P（A2）＝0.6，P（B|A1）＝0.95，P（B|A2）＝0.96，
∴这件产品不是次品的概率为P（B）＝40%×95%+60%×96%＝0.956．
故选：A．
7．（4分）设函数f（x）＝x3+ax2+bx+c，则“a2＞3b”是“f（x）有3个零点”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解答】解：由题意，f′（x）＝3x2+2ax+b，
若f′（x）＝3x2+2ax+b＝0，且Δ＝4a2﹣12b＞0，即a2＞3b时，
设 f'（x）＝0 两根为 x1，x2，且x1＜x2，
当x＜x1或x＞x2时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，
当x1＜x＜x2时，f′（x）＜0，f（x）单调递减，
所以当Δ＝4（a2﹣3b）＞0，f（x1）＞0，f（x2）＜0时，f（x）有三个不同的零点，
所以，“a2＞3b”是“f（x）有3个零点”的必要不充分条件．
故选：B．
8．（4分）根据如下样本数据：
x 3 4 5 6 7 8
y 4.0 2.5 ﹣0.5 0.5 ﹣2.0 ﹣3.0
由最小二乘法得到经验回归方程＝x+，则（ ）
A．＜0 B．＞0 C．＜0 D．＞0
【答案】C
【解答】解：样本平均数＝5.5，＝0.25，
∴＝﹣24.5，＝17.5，∴＝﹣＝﹣1.4，
∴＝0.25﹣（﹣1.4） 5.5＝7.95．
故选：C．
9．（4分）设a＝1315，b＝1414，c＝1513，则a，b，c的大小关系是（ ）
A．c＜a＜b B．b＜c＜a C．a＜c＜b D．c＜b＜a
【答案】D
【解答】解：＝（）14÷13＝（）12×＜×…××＝＜1，所以b＜a，
＝（）13÷14＝（）14×＜×…××＝1，所以c＜b，
所以c＜b＜a．
故选：D．
10．（4分）已知函数f（x）＝eax+3x有大于零的极值点，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C．a＞3 D．a＜﹣3
【答案】D
【解答】解：f（x）＝eax+3x，
f′（x）＝3+aeax，
因为函数f（x）有大于零的极值点，
所以f′（x）＝3+aeax有正根，
当a≥0时，f′（x）＝3+aeax＞0，
所以f′（x）＝3+aeax＝0无实数根，
所以函数y＝eax+3x，x∈R无极值点，
当a＜0时，由f′（x）＝3+aeax＝0得x＝ln（﹣），
所以在（ln（﹣），+∞）上f′（x）＞0，f（x）单调递增，
在（﹣∞，ln（﹣））上f′（x）＜0，f（x）单调递减，
所以f（x）在x＝ln（﹣）处取得极大值点，
所以ln（﹣）＞0，
解得a＜﹣3，
所以a的取值范围为（﹣∞，﹣3），
故选：D．
二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。
11．（5分）函数f（x）＝xex的最小值为 ﹣ ．
【答案】﹣．
【解答】解：求导函数，可得f′（x）＝ex+xex，令f′（x）＝0可得x＝﹣1，
令f′（x）＞0，可得x＞﹣1，令f′（x）＜0，可得x＜﹣1
∴函数在（﹣∞，﹣1）上单调减，在（﹣1，+∞）上单调增
∴x＝﹣1时，函数y＝xex取得最小值，最小值是﹣．
故答案为：﹣．
12．（5分）用数字1，2可以组成的四位数的个数是 16 ．
【答案】16．
【解答】解：四位数每个位置都可以选1或2，
则共有2×2×2×2＝16个不同的四位数．
故答案为：16．
13．（5分）若P（A）＝0.6，P（B）＝0.3，P（B|A）＝0.2，则P（AB）＝ 0.12 ；P（A B）＝ 0.78 ．
【答案】0.12；0.78．
【解答】解：∵P（A）＝0.6，P（B）＝0.3，P（B|A）＝0.2，
∴P（AB）＝P（B|A）P（A）＝0.2×0.6＝0.12，
P（A∪B）＝P（A）+P（B）﹣P（AB）＝0.6+0.3﹣0.12＝0.78．
故答案为：0.12；0.78．
14．（5分）已知随机变量X1和X2的分布列分别是
X1 0 1
P 1﹣p1 p1
X2 0 1
P 1﹣p2 p2
能说明D（X1）≤D（X2）不成立的一组p1，p2的值可以是p1＝ 0.3 ；p2＝ 0.2 ．
【答案】0.3；0.2（答案不唯一）．
【解答】解：依题意，随机变量X1和X2的期望分别为E（X1）＝p1，E（X2）＝p2，
则，同理，
由D（X1）≤D（X2），得，
整理得（p1﹣p2）[1﹣（p1+p2）]≤0，
因此p1≥p2且p1+p2≥1或者p1≤p2且p1+p2≤1，
所以D（X1）≤D（X2）不成立的一组p1，p2的值可以为p1＝0.3，p2＝0.2．
故答案为：0.3；0.2．
15．（5分）已知函数f（x）＝lnx，且f（x）在x＝x0处的瞬时变化率为．
①x0＝ e ；
②令g（x）＝若函数g（x）的图象与直线y＝有且只有一个公共点，则实数a的取值范围是 （0，e] ．
【答案】①e；
②（0，e]．
【解答】解：①因为函数f（x）＝lnx，所以f′（x）＝，所以f（x）在x＝x0处的瞬时变化率为＝，解得x0＝e；
②令g（x）＝若a≥e，则函数图像大致如下：
令1≤≤lna，不妨令g（x）＝lnx﹣，则当x≥e，g′（x）＝，
所以g（x）单调递减，即g（x）≤g（e）＝0，所以有lna≤，所以1≤≤lna的解为a＝e，
同理，若a＜e，函数图像大致如下：
令lna＜＜1，当a＜e，g′（x）＞0，所以g（x）单调递增，
即g（x）＜g（e）＝0，所以有lna＜，所以lna＜＜1的解集为a＜e，
综上a≤e，即a的取值范围为（0，e]．
故答案为：e；（0，e]．
三、解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。
16．（14分）已知（x+2）4＝a4x4+a3x3+a2x2+a1x+a0．
（Ⅰ）求a4+a2+a0的值；
（Ⅱ）求（x﹣1）（x+2）4的展开式中含x4项的系数．
【答案】（Ⅰ）41．
（Ⅱ）7．
【解答】解：（Ⅰ）（x+2）4＝a4x4+a3x3+a2x2+a1x+a0．
令x＝1，可得a4+a3+a2+a1+a0＝81，
令x＝﹣1，可得 a4﹣a3+a2﹣a1+a0＝1，
两式相加除以2，可得a4+a2+a0＝41．
（Ⅱ）直接根据（x+2）4的展开式的通项公式，
可得（x﹣1）（x+2）4的展开式中含x4项的系数为×2﹣＝8﹣1＝7．
17．（14分）在5道试题中有3道代数题和2道几何题，每次从中不放回地随机抽出1道题．
（Ⅰ）求第1次抽到代数题且第2次也抽到代数题的概率；
（Ⅱ）求在第1次抽到代数题的条件下，第2次抽到代数题的概率；
（Ⅲ）判断事件“第1次抽到代数题”与“第2次抽到代数题”是否互相独立．
【答案】（Ⅰ）；
（Ⅱ）；
（Ⅲ）不互相独立，理由见解析．
【解答】解：（Ⅰ）设事件A表示“第1次抽到代数题”，事件B表示“第2次抽到几何题”，
则，；
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得，在第1次抽到代数题的条件下，第 2次抽到几何题的概率P（B|A）＝＝＝；
（Ⅲ）由（Ⅰ）可知P（A）＝，P（AB）＝，
又因为P（B）＝＝，
所以P（AB）≠P（A）P（B），
所以事件“第1次抽到代数题”与“第2次抽到代数题”不互相独立．
18．（14分）已知6件产品中有4件合格品和2件次品，现从这6件产品中分别采用有放回和不放回的方式随机抽取2件，设采用有放回的方式抽取的2件产品中合格品数为X，采用无放回的方式抽取的2件产品中合格品数为Y．
（Ⅰ）求P（X≤1）；
（Ⅱ）求Y的分布列及数学期望E（Y）；
（Ⅲ）比较数学期望E（X）与E（Y）的大小．
【答案】（Ⅰ）；
（Ⅱ）Y的分布列为：
Y 0 1 2
P
E（Y）＝；
（Ⅲ）E（X）＝E（Y）．
【解答】解：（Ⅰ）采用有放回的方式，每次抽到正品的概率都是，
所以；
（Ⅱ）采用无放回的方式，Y的可能取值为0，1，2，
，
，
，
Y的分布列为：
Y 0 1 2
P
所以；
（Ⅲ）当采用有放回的方式时，X～B，
则，
所以E（X）＝E（Y）．
19．（14分）已知函数f（x）＝﹣alnx，a＞0．
（Ⅰ）当a＝1时，求f（x）的极值；
（Ⅱ）若对任意的x∈（0，+∞），都有f（x）＞0，求a的取值范围；
（Ⅲ）直接写出一个a值使f（x）在区间（1，+∞）上单调递增．
【答案】（Ⅰ）极小值为2﹣ln4，无极大值．
（Ⅱ）（0，）．
（Ⅲ）a＝．
【解答】解：（Ⅰ）当a＝1时，f（x）＝﹣lnx，定义域为（0，+∞），
f′（x）＝﹣＝，
令f′（x）＝0得x＝4，
所以在（0，4）上f′（x）＜0，f（x）单调递减，
在（4，+∞）上f′（x）＞0，f（x）单调递增，
所以f（x）的极小值为f（4）＝2﹣ln4，无极大值．
（Ⅱ）f′（x）＝﹣＝，
当a＞0时，令f′（x）＝0得x＝4a2，
所以在（0，4a2）上f′（x）＜0，f（x）单调递减，
在（4a2，+∞）上f′（x）＞0，f（x）单调递增，
所以f（x）min＝f（4a2）＝2a（1﹣ln2a），
对任意x∈（0，+∞），f（x）＞0，
所以只需f（4a2）＝2a（1﹣ln2a）＞0，
又因为a＞0，
所以1﹣ln2a＞0，
所以0＜a＜，
所以a的取值范围为（0，）．
（Ⅲ）当f（x）在（1，+∞）上单调递增时，任意x∈（1，+∞），f′（x）≥0恒成立，
即任意x∈（1，+∞），≥0恒成立，
所以任意x∈（1，+∞），≥2a恒成立，
所以只需2a≤（）min＝1，
所以0＜a≤，
所以不妨取a＝时，f（x）会在区间（1，+∞）上单调递增．
20．（14分）现有10人要通过化验来确定是否患有某种疾病，化验结果阳性视为患有该疾病．化验方案A：先将这10人化验样本混在一起化验一次，若呈阳性，则还要对每个人再做一次化验；否则化验结束．已知这10人未患该疾病的概率均为p，是否患有该疾病相互独立．
（Ⅰ）按照方案A化验，求这10人的总化验次数X的分布列；
（Ⅱ）化验方案B：先将这10人随机分成两组，每组5人，将每组的5人的样本混在一起化验一次，若呈阳性，则还需要对这5人再各做一次化验；否则化验结束．若每种方案每次化验的费用都相同，且p5＝0.5，问方案A和B中哪个化验总费用的数学期望更小？
【答案】（Ⅰ）X的分布列为：
X 1 11
P p10 1﹣p10
（Ⅱ）方案B的化验总费用的数学期望更小．
【解答】解：（Ⅰ）按照方案A化验，这10人的总化验次数X的可能取值为1，11，
P（X＝1）＝p10，
P（X＝11）＝1﹣p10，
X的分布列为：
X 1 11
P p10 1﹣p10
（Ⅱ）设按照方案B化验，这10人的总化验次数为Y，Y的可能取值为2，7，12，
P（Y＝2）＝p10，
P（Y＝7）＝2p5（1﹣p5），
P（Y＝12）＝（1﹣p5）2，
E（Y）＝2p10+7×2p5（1﹣p5）+12（1﹣p5）2＝12﹣10p5，
由（I）知，E（X）＝p10+11（1﹣p10）＝11﹣10p10，
E（Y）﹣E（X）＝12﹣10p5﹣（11﹣10p10）＝10p10﹣10p5+1，
因为当p5＝0.5时，10p10﹣10p5+1＜0，
所以E（Y）＜E（X），
所以方案B的化验总费用的数学期望更小．
21．（15分）已知函数f（x）＝ex+sinx．
（Ⅰ）求曲线y＝f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；
（Ⅱ）设g（x）＝xf′（x）﹣f（x），讨论函数g（x）在区间（0，+∞）上的单调性；
（Ⅲ）对任意的s，t∈（1，+∞），且s＜t，判断s与t的大小关系，并证明结论．
【答案】（Ⅰ）y＝2x+1；
（Ⅱ）g（x）在（0，+∞）上单调递增；
（Ⅲ）s＜t，证明见解答．
【解答】解：（Ⅰ）f'（x）＝ex+cosx，所以f（0）＝1，f′（0）＝2，
所以曲线y＝f（x）在点（0，f（0））处的切线方程为y﹣1＝2（x﹣0），
即y＝2x+1．
（Ⅱ）由题设，g（x）＝x（ex+cosx）﹣（ex+sinx）＝（x﹣1）ex+xcosx﹣sinx，
所以g'（x）＝x（ex﹣sinx），
当x＞0时，因为ex﹣sinx＞e0﹣sinx＝1﹣sinx≥0，所以g'（x）＞0，
所以g（x）在（0，+∞）上单调递增．
（Ⅲ）对任意的s，t∈（1，+∞），且s＜t，则s＜t，证明如下：
设h（x）＝，x∈（0，1），
则h′（x）＝＝，
由（2）知g（x）在（0，1）上单调递增，所以g（x）＜g（1）＝cos1﹣sin1＜0，
所以h'（x）＜0，即h（x）在（0，1）上单调递减，
因为s，t∈（1，+∞），且s＜t，所以0＜＜＜1，
所以h（）＜h（），即s＜t．2022-2023学年北京市大兴区高二（下）期末数学试卷
一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1．（4分）设f（x）＝（x+1）2，则f′（1）＝（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
2．（4分）（a+b）4的展开式中二项式系数的最大值为（ ）
A．1 B．4 C．6 D．12
3．（4分）设随机变量X服从正态分布N（0，1），则P（X≤0）＝（ ）
A． B． C． D．
4．（4分）从7本不同的书中选3本送给3个人，每人1本，不同方法的种数是（ ）
A． B． C．37 D．73
5．（4分）根据分类变量x与y的成对样本数据，计算得到χ2＝7.52．已知P（χ2≥6.635）＝0.01，则依据小概率值α＝0.01的χ2独立性检验，可以推断变量x与y（ ）
A．独立，此推断犯错误的概率是0.01
B．不独立，此推断犯错误的概率是0.01
C．独立，此推断犯错误的概率不超过0.01
D．不独立，此推断犯错误的概率不超过0.01
6．（4分）两批同种规格的产品，第一批占40%，次品率为5%；第二批占60%，次品率为4%．将两批产品混合，从混合产品中任取1件，则这件产品不是次品的概率（ ）
A．0.956 B．0.966 C．0.044 D．0.036
7．（4分）设函数f（x）＝x3+ax2+bx+c，则“a2＞3b”是“f（x）有3个零点”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
8．（4分）根据如下样本数据：
x 3 4 5 6 7 8
y 4.0 2.5 ﹣0.5 0.5 ﹣2.0 ﹣3.0
由最小二乘法得到经验回归方程＝x+，则（ ）
A．＜0 B．＞0 C．＜0 D．＞0
9．（4分）设a＝1315，b＝1414，c＝1513，则a，b，c的大小关系是（ ）
A．c＜a＜b B．b＜c＜a C．a＜c＜b D．c＜b＜a
10．（4分）已知函数f（x）＝eax+3x有大于零的极值点，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C．a＞3 D．a＜﹣3
二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。
11．（5分）函数f（x）＝xex的最小值为 ．
12．（5分）用数字1，2可以组成的四位数的个数是 ．
13．（5分）若P（A）＝0.6，P（B）＝0.3，P（B|A）＝0.2，则P（AB）＝ ；P（A B）＝ ．
14．（5分）已知随机变量X1和X2的分布列分别是
X1 0 1
P 1﹣p1 p1
X2 0 1
P 1﹣p2 p2
能说明D（X1）≤D（X2）不成立的一组p1，p2的值可以是p1＝ ；p2＝ ．
15．（5分）已知函数f（x）＝lnx，且f（x）在x＝x0处的瞬时变化率为．
①x0＝ ；
②令g（x）＝若函数g（x）的图象与直线y＝有且只有一个公共点，则实数a的取值范围是 ．
三、解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。
16．（14分）已知（x+2）4＝a4x4+a3x3+a2x2+a1x+a0．
（Ⅰ）求a4+a2+a0的值；
（Ⅱ）求（x﹣1）（x+2）4的展开式中含x4项的系数．
17．（14分）在5道试题中有3道代数题和2道几何题，每次从中不放回地随机抽出1道题．
（Ⅰ）求第1次抽到代数题且第2次也抽到代数题的概率；
（Ⅱ）求在第1次抽到代数题的条件下，第2次抽到代数题的概率；
（Ⅲ）判断事件“第1次抽到代数题”与“第2次抽到代数题”是否互相独立．
18．（14分）已知6件产品中有4件合格品和2件次品，现从这6件产品中分别采用有放回和不放回的方式随机抽取2件，设采用有放回的方式抽取的2件产品中合格品数为X，采用无放回的方式抽取的2件产品中合格品数为Y．
（Ⅰ）求P（X≤1）；
（Ⅱ）求Y的分布列及数学期望E（Y）；
（Ⅲ）比较数学期望E（X）与E（Y）的大小．
19．（14分）已知函数f（x）＝﹣alnx，a＞0．
（Ⅰ）当a＝1时，求f（x）的极值；
（Ⅱ）若对任意的x∈（0，+∞），都有f（x）＞0，求a的取值范围；
（Ⅲ）直接写出一个a值使f（x）在区间（1，+∞）上单调递增．
20．（14分）现有10人要通过化验来确定是否患有某种疾病，化验结果阳性视为患有该疾病．化验方案A：先将这10人化验样本混在一起化验一次，若呈阳性，则还要对每个人再做一次化验；否则化验结束．已知这10人未患该疾病的概率均为p，是否患有该疾病相互独立．
（Ⅰ）按照方案A化验，求这10人的总化验次数X的分布列；
（Ⅱ）化验方案B：先将这10人随机分成两组，每组5人，将每组的5人的样本混在一起化验一次，若呈阳性，则还需要对这5人再各做一次化验；否则化验结束．若每种方案每次化验的费用都相同，且p5＝0.5，问方案A和B中哪个化验总费用的数学期望更小？
21．（15分）已知函数f（x）＝ex+sinx．
（Ⅰ）求曲线y＝f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；
（Ⅱ）设g（x）＝xf′（x）﹣f（x），讨论函数g（x）在区间（0，+∞）上的单调性；
（Ⅲ）对任意的s，t∈（1，+∞），且s＜t，判断s与t的大小关系，并证明结论．
