湖南省衡阳市衡南县2022-2023学年高二下学期期末数学试题（Word版含答案）

衡南县高二期末考试试卷
数学
时量：120分钟 总分：150分
注意事项：请考生把答案写在答题卡上。答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息。
一、单选题
1．，，则（ ）
A． B． C． D．
2．在复平面内，复数z对应的点的坐标为，则（ ）
A． B． C． D．
3．命题p：，的否定为（ ）
A．， B．，
C．， D．，
4．已知，，则在上的投影向量的坐标为（ ）
A． B． C． D．
5．马林·梅森（MarinMersenne，1588-1648）是17世纪法国著名的数学家和修道士，也是当时欧洲科学界一位独特的中心人物．梅森在欧几里得、费马等人研究的基础上对作了大量的计算、验证工作．人们为纪念梅森在数论方面的这一贡献，将形如（其中p是素数）的素数，称为梅森素数（素数也称质数），在不超过40的素数中，随机选取3个不同的数，至少有一个为梅森素数的概率是（ ）
A． B． C． D．
6．设随机变量，若，则a的值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
7．等腰三角形的底和腰之比为（黄金分割比）的三角形称为黄金三角形，它被称为最美的三角形．如图，正五角星由五个黄金三角形和一个正五边形组成，且黄金三角形ABC的顶角．根据这些信息，可求得的值为（ ）
A． B． C． D．
8．设椭圆C：的右焦点为F，椭圆C上的两点A，B关于原点对称，且满足，，则椭圆C的离心率的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．下列说法正确的有（ ）
A．在统计学中，独立性检验是检验两个分类变量是否有关系的一种统计方法
B．离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和
C．线性回归方程对应的直线至少经过其样本数据点中的一个点
D．在回归分析中，决定系数越大，模拟的效果越好
10．若函数的部分图像如图，则（ ）
A．是以为周期的周期函数
B．的图象向左平移个单位长度得到的图象对应的函数是奇函数
C．在上单调递减
D．的图象的对称中心为，．
11．如图，正方体的棱长为2，动点P，Q分别在线段，AC上，则（ ）
A．异面直线和所成的角为
B．点A到平面的距离为
C．若P，Q分别为线段，AC的中点，则平面
D．线段PQ长度的最小值为
12．函数及其导函数的定义域均为R，若为奇函数，且，则（ ）
A．为偶函数 B．
C．的图象关于对称 D．若，则为奇函数
三、填空题
13．的二项展开式中的常数项为__________．
14．小智和电脑连续下两盘棋，已知小智第一盘获胜的概率是0.5，小智连续两盘都获胜的概率是0.4，那么小智在第一盘获胜的条件下，第二盘也获胜的概率是__________．
15．对于三次函数，给出定义：设是的导数，是的导数，若方程有实数解，则称点为曲线的“拐点”，可以发现，任何一个三次函数都有“拐点”．设函数，则__________．
16．若，设表示x的整数部分，表示x的小数部分，如，．已知数列的各项都为正数，，且，则__________．
四、解答题
17．等比数列的公比为2，且，，成等差数列．
（1）求数列的通项公式；
（2）若，求数列的前n项和．
18．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知．
（1）求角B的大小；
（2）若，且，求a和c；
（3）若，，求的周长．
19．如图，矩形ABCD是圆柱的一个轴截面，点E在圆O上，，且，．
（1）当时，证明：平面平面BDE；
（2）若直线AF与平面ODE所成角的正弦值为，试求此时的值．
20．第22届亚运会将于2023年9月23日至10月8日在我国杭州举行，这是我国继北京后第二次举办亚运会，为迎接这场体育盛会，浙江某市决定举办一次亚运会知识竞赛，该市A社区举办了一场选拔赛，选拔赛分为初赛和决赛，初赛通过后才能参加决赛，决赛通过后将代表A社区参加市亚运知识竞赛．已知A社区甲、乙、丙3位选手都参加了初赛且通过初赛的概率依次为，，，通过初赛后再通过决赛的概率均为假设他们之间通过与否互不影响．
（1）求这3人中至少有1人参加市知识竞赛的概率．
（2）某品牌商赞助了A社区的这次知识竞赛，给参加选拔赛的选手提供了两种奖励方案：
方案一：参加了选拔赛的选手都可参与抽奖，每人抽奖1次，每次中奖的概率均为，且每次抽奖互不影响，中奖一次奖励600元：
方案二：只参加了初赛的选手奖励100元，参加了决赛的选手奖励400元（包含参加初赛的100元），若品牌商希望给予选手更多的奖励，试从三人奖金总额的数学期望的角度分析，品牌商选择哪种方案更好．
21．如图，已知椭圆：的两个焦点为，，且，为双曲线的顶点，双曲线的离心率，设P为该双曲线上异于顶点的任意一点，直线，的斜率分别为，，且直线和与椭圆的交点分别为A，B和C，D．
（1）求双曲线的标准方程；
（2）证明：直线，的斜率之积为定值；
（3）求的取值范围．
22．已知函数
（1）讨论函数的单调性；
（2），关于x的不等式恒成立，求正实数t的取值范围．
衡南县高二期末考试试卷
数学参考答案
1．D 2．B 3．A 4．C
5．C 6．B 7．A 8．B
9．ABD 10．AC 11．BCD 12．AC
13．-4 14． 15．-3033 16．
17．（1），
（2）
【详解】（1）已知等比数列的公比为2，且，，成等差数列，
∴，∴，解得，
∴，；
（2），
∴．
；
综上，．
18．（1）
（2），
（3）．
【详解】（1）中，∵，
由正弦定理得：，
∴，即，
∴，
在三角形中，，
∴．
（2）∵，由正弦定理得：，
又，∴，
∴，．
（3）由余弦定理：，∴，
故周长为．
19．（1）证明见解析
（2）
【详解】（1）因为点E在圆O上，所以，
而矩形ABCD是圆柱的轴截面，
则有平面ABE，又平面ABE，即有，
又，AE，平面ADE，于是得平面ADE，
又因为平面ADE，所以．
当时，点F是DE的中点，又，则有
因为，DE，平面BDE，
所以平面BDE，又平面OAF，
所以平面平面BDE．
（2）在底面内过O作，则，，两两垂直，
所以以O为原点，，，分别为x，y，z轴正方向建立如图所示的空间直角坐标系．
又因为，，，
所以，，
则，，，．
，
设平面ODE的法向量为，则即
令得，，即，设直线AF与平面ODE所成的角为，
则，解得
即当时，直线AF与平面ODE所成角的正弦值为．
20．（1）
（2）从三人奖金总额的数学期望的角度分析，品牌商选择方案二更好
【详解】（1）甲参加市赛的概率为
乙参加市赛的概率为
丙参加市赛的概率为
至少1人参加市赛的概率为：．
（2）方案一：设三人中奖人数为X，所获奖金总额为Y元，则，且．
所以元，
方案二：记甲、乙、丙三人获得奖金之和为Z元，则Z的所有可能取值为300、600、900、1200，
则，
，
，
，
所以，．
所以，，
所以从三人奖金总额的数学期望的角度分析，品牌商选择方案二更好．
21．（1）
（2）证明见解析
（3）
【详解】（1）设双曲线的标准方程为，
由题意知，且，所以，
所以双曲线的标准方程为：；
（2）设点，由题可知，，
则，，
所以，
由点P在双曲线上，可知，即有，
所以，故；
（3）由（2）可知，且，，
所以可设直线AB的方程为，
则直线CD的方程为，
把直线AB的方程代入椭圆方程，
整理得，
设，，则有，，
因此
，
把直线CD的方程代入椭圆方程，
整理得，
设，，则有，，
因此
，
所以，又，
所以，
所以，，
所以所以的取值范围为．
22．（1）答案见解析
（2）
【详解】（1），
当时，，在上递增．
当时，令解得，
所以在区间，，递减；在区间，，递增．
综上所述，时，在上是增函数；
时，在上是减函数，在上是增函数．
（2）不等式，即，
由于，，所以恒成立，
设，
由（1）知，时，，
在上是减函数，在上是增函数，，
所以，用替换x得，且时，，
所以时，，递增，时，，递减，
所以时，，
所以，，所以t的取值范围是．