山东省济宁市2022-2023学年高二下学期期末数学试题（含答案）

2022—2023学年度第二学期质量检测
高二数学试题
2023.07
本试卷共4页，满分150分，考试时间120分钟。
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自已的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并收回。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
2．命题“，”的否定是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
3．已知幂函数在上单调递减，则（ ）
A． B． C．3 D．或3
4．设是数列的前项和，已知且，则（ ）
A．101 B．81 C．32 D．16
5．已知曲线在点处的切线与直线垂直，则（ ）
A． B． C． D．1
6．“”是“函数在区间上单调递增”的（ ）
A．必要不充分条件 B．充分不必要条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
7．已知甲袋中装有个红球，个白球，乙袋中装有3个红球，4个白球，先从甲袋中任取1球放入乙袋中，再从乙袋中任取出1球，若取出的是红球的概率为，则从甲袋中任取一个球，取出的是红球的概率为（ ）
A． B． C． D．
8．已知函数的定义域为，都有，函数，且为奇函数，则不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9．下列结论中正确的是（ ）
A．样本相关系数的绝对值越接近1，则成对样本数据的线性相关程度越强
B．样本相关系数的绝对值越接近0，则成对样本数据的线性相关程度越弱
C．已知变量，具有线性相关关系，在获取的成对样本数据，，…，中，，，…，和，，…，的均值分别为和，则点必在其经验回归直线上
D．在残差图中，残差点分布的水平带状区域越宽，说明模型的拟合效果越好
10．甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参加演出，下列说法中正确的是（ ）
A．若甲不在正中间，则不同的排列方式共有96种
B．若甲、乙、丙三人互不相邻，则不同的排列方式共有6种
C．若甲、丙、丁从左到右的顺序一定，则不同的排列方式共有20种
D．若甲不在两端、丙和丁相邻，则不同的排列方式共有24种
11．已知，，则下列条件中可以使得的最小值为4的是（ ）
A． B．
C． D．
12．已知函数，，则下列说法中正确的是（ ）
A． B．函数与函数有相同的最大值
C． D．方程有且仅有一个实数根
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．某次数学考试中，学生成绩，若，则__________．
14．的展开式中的常数项为__________（用数字作答）。
15．已知函数则__________．
16．如图1，抛物线上任意两点连接所得的弦与抛物线围成一个弓形区域，求抛物线弓形区域的
面积是古希腊数学家阿基米得最优美的成果之一，阿基米德的计算方法是：将弓形区域分割成无数个三角形，然后将所有三角形的面积加起来就可以得到弓形区域的面积．第一次分割，如图2，在弓形区域里以为底边分割出一个三角形，确保过顶点的抛物线的切线与底边平行，称为一级三角形；第二次分割，如图3，以，两个边，为底边，在第一次分割得到的两个弓形区域继续分割出两个三角形，，确保过顶点，的抛物线的切线分别与，平行，，都称为二级三角形；重复上述方法，继续分割新产生的弓形区域……，借助抛物线几何性质，阿基米德计算得出任意一级的所有三角形的面积都相等，且每个三角形的面积都是其上一级的一个三角形面积的．设抛物线的方程为，直线的方程为，请你根据上述阿基米德的计算方法，求经过次分割后得到的所有三角形面积之和为__________．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（10分）
已知等在数列的前项和为，，．
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求数列的前项和．
18．（12分）
为研究在校学生每天玩手机时间是否大于1小时和学生近视之间的关联性，某视力研究机构采取简单随机抽样的方法，调查了2000名在校学生，得到成对样本观测数据，样本中有的学生近视，有的学生每天玩手机超过1小时，而每天玩手机超过1小时的学生近视率为．
（1）根据上述成对样本观测数据，完成如下列联表，并依据小概率值的独立性检验，分析每天玩手机时间是否超过1小时会不会影响视力．
每天玩手机时间 视力情况 合计
近视 不近视
超过1小时
不足1小时
合计
（2）从近视的学生中随机抽取8人，期中每天玩手机时间超过1小时的2人，不超过1小时的6人，现从8人中随机选出3人，设3人中每天玩手机时间超过1小时的学生人数为，求随机变量的分布列．
参考公式：
参考数据：下表是独立性检验中几个常用的小概率值和相应的临界值．
0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
19．（12分）
已知函数．
（1）若函数为偶函数，求的值；
（2）当时，若函数在上的最小值为0，求的值．
20．（12分）
已知函数．
（1）若是函数的极值点，求的值；
（2）若函数有两个零点，求的取值范围．
21．（12分）
甲乙两名同学玩“猜硬币，向前进”的游戏，规则是：每一局抛一次硬币，甲乙双方各猜一个结果，要求双方猜的结果不能相同，猜对的一方前进2步，猜错的一方后退1步，游戏共进行局，规定游戏开始时甲乙初始位置一样．
（1）当时，设游戏结束时甲与乙的步数差为，求随机变量的分布列；
（2）游戏结束时，设甲与乙的步数差为，求，（结果用表示）．
22．（12分）
已知函数．
（1）讨论的单调性
（2）设函数，若对任意，不等式恒成立，求的取值范围．
2022-2023学年度第二学期质量检测
高二数学试题参考答案及评分标准2023.07
一、选择题：每小题5分，共40分。
1．C 2．D 3．B 4．B 5．C 6．A 7．C 8．A
8．解析：因为为奇函数，所以，，即
所以 所以，
所以等价于
又因为，都有
所以函数在上单调递减，所以，
解得，所以，不等式的解集为
二、选择题：每小题5分，共20分。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9．ABC 10．ACD 11．BC 12．BCD
12．解析：对于A：易知函数在内单调递减，所以，
又，所以，，故A错误
对于：通过求导容易知道B正确
对于C：若，即
即，结合函数在内单调递减，且，故C正确
对于D：结合函数图像易知，方程在内有且仅有一个实数根
下面证明，在内恒成立
即
当时，单调递减且，所以，D正确
三、填空题：每小题5分，共20分。
13．0 14． 15．2 16．
16．解析：设与直线平行的抛物线的切线的切点为，
则，解得，所以，
所以，点到直线的距离为
由解得或所以，
所以，
经过次分割后得到的所有三角形面积之和为
四、解答题：本题共6小题，共70分。
17．解：（1）由，得， 2分
所以，等差数列的公差，首项 4分
所以，数列的通项公式 5分
（2）由（1）知， 6分
所以， 7分
9分
10分
18．解：（1）
每天玩手机时间 视力情况 合计
近视 不近视
超过1小时 200 200 400
不足1小时 600 1000 1600
合计 800 1200 2000
2分
零假设为：长时间（每天超过1小时）玩手机与视力情况无关联 3分
根据列联表中的数据，经计算得到
5分
根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，即认为长时间（每天超过1小时）玩手机与视力情况有关联，此推断犯错误的概率不大于0.001．6分
（2）随机变量的可能取值为0，1，2．7分
则 8分
9分
10分
所以，的分布列为
0 1 2
12分
19．解：（1）若函数为偶函数
则，即 2分
所以，
所以， 4分
（2）时， 5分
①当时，
在内单调递增，在内单调递减，在内单调递增
又，，所以，
解得， 8分
②当时，在内单调递增
所以，，解得，（舍）11分
综上， 12分
20．解：（1）函数的定义域为 1分
3分
因为，所以
若是函数的极值点，则，所以．5分
当时，若则，函数在上单调递增，
若则，函数在上单调递减，
所以，是函数的极小值点．6分
（2）由（1）知，
若，则，函数在区间上单调递增，6分
若，则，函数在区间上单调递减，7分
所以，是函数的极小值点， 8分
当时，，当时，，
所以，若函数有两个零点，则仅需，11分
所以，．12分
21．解：（1）当时，随机变量所有可能取值为，，3，9 1分
2分
3分
． 4分
5分
所以，随机变量的分布列为
3 3
6分
（2）设在局游戏结束时，甲共猜对了次，则，8分
因为，甲与乙的步数差 10分
所以，，11分
．12分
22．解：（1）函数的定义域为， 1分
①当时，，函数在上单调递减；2分
②当时，令，得，
函数在上单调递增；3分
令，得，
函数在上单调递减．4分
综上，当时，函数在上单调递减；
当时，函数单调递增区间为，
单调递减区间为．5分
（2）因为函数，对任意，不等式恒成立，等价于对任意，恒成立．
令
则
7分
令，则
若，则，在上单调递增，
若，则，在上单调递减，
所以．8分
又因为，，
所以，有两个实根，，且，．
所以，当时，，函数在上单调递减，
当时，，函数在上单调递增，
当时，，函数在上单调递减，
当时，，函数在上单调递增，
所以，函数有两个极小值点为，．10分
因为是的根，所以，即，
所以，函数的一个极小值为
．
同理，函数的另一个极小值为，
所以，，
所以，若对任意，不等式恒成立，则．12分