人教版2023年九年级上册 第21章 一元二次方程 单元检测卷 含详解

人教版2023年九年级上册 第21章 一元二次方程 单元检测卷
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．下列方程中，属于一元二次方程的是（　　）
A．x2﹣y+2＝0 B．x2+2x﹣5＝0
C． D．x﹣y＝2
2．将方程2x2﹣1＝3x化为一元二次方程的一般形式后，二次项系数、一次项系数、常数项分别为（　　）
A．2，1，3 B．2，﹣1，3 C．2，﹣3，﹣1 D．2，﹣3，1
3．解方程x2﹣4x＝3，下列用配方法进行变形正确的是（　　）
A．（x﹣2）2＝19 B．（x﹣4）2＝7 C．（x﹣2）2＝4 D．（x﹣2）2＝7
4．方程2x2﹣2＝0的解是（　　）
A．x＝﹣1 B．x＝0 C．x＝1 D．x＝±1
5．若a为方程2x2+x﹣4＝0的解，则6a2+3a﹣9的值为（　　）
A．2 B．3 C．﹣4 D．﹣9
6．一元二次方程2x2﹣3x+5＝0根的情况是（　　）
A．有两个相等实数根 B．有两个不相等实数根
C．没有实数根 D．无法判断
7．某工厂由于采用新技术，生产量逐月增加，原来月产量为2000件，两个月后增至月产量为3000件．若设月平均增长率为x，则下列所列的方程正确的是（　　）
A．2000（1+x）＝3000 B．2000（1+x）2＝3000
C．2000（1+x%）2＝3000 D．2000+2000（1+x）＝3000
8．一个小组若干人，新年互送贺卡一张，若全组共送贺卡90张，则这个小组共有（　　）
A．9人 B．10人 C．12人 D．15人
9．已知a，b是一元二次方程x2+x﹣8＝0的两个实数根，则代数式a2+2a+b的值等于（　　）
A．7 B．8 C．9 D．10
10．定义[x]表示不超过实数x的最大整数，如[1.4]＝1，[﹣1.2]＝﹣2，[﹣3]＝﹣3，则方程2[x]＝x2的解为（　　）
A．0或 B．0或2 C．2或 D．0或或2
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．已知3xm﹣4+x﹣6＝0是关于x的一元二次方程，则m＝　 　．
12．把一元二次方程x（x﹣1）＝4（x+1）化为一般形式是 　 　．
13．方程x2+5x＝0的解为　 　．
14．有一人感染了某种病毒，经过两轮传染后，共有256人感染了该种病毒，求每轮传染中平均每人传染了 　 　个人．
15．若关于x的一元二次方程mx2+3x﹣4＝0有实数根，则m　 　．
16．若（x2+y2）（x2+y2+2）﹣8＝0，则x2+y2的值是　 　．
三．解答题（共6小题，满分52分）
17．（8分）解方程：
（1）x（x﹣2）+x﹣2＝0；
（2）4x2﹣8x+1＝0．
18．（8分）已知关于x的一元二次方程x2﹣4mx+3m2＝0．
（1）当m＝﹣1时，请求出方程的解；
（2）试说明方程总有两个实数根．
19．（8分）如图，用80m长的篱笆在墙边（墙长40米）围一个矩形草坪，当矩形面积是750m2时，它的长和宽应为多少？
20．（9分）已知关于x的一元二次方程（a+c）x2﹣2bx+（a﹣c）＝0，其中a、b、c分别为△ABC三边的长．
（1）如果x＝1是方程的根，试判断△ABC的形状，并说明理由；
（2）如果△ABC是等边三角形，试求这个一元二次方程的根．
21．（9分）一种服装的进价为100元/件，经销商经过市场调查发现该种服装如果销售单价为x元/件，则年销售量为（1000﹣2x）件．销售这种服装的员工每年工资等其它费用总计40000元．
（1）用含x的代数式表示每年销售这种服装的获利金额；
注：每年获利金额＝（销售单价﹣进价）×年销售量—其它费用．
（2）若经销商希望该种服装一年的获利金额达32800元，且要使产品年销售量较大，你认为销售单价应定为多少元/件？
22．（10分）如图，在矩形ABCD中，BC＝20cm，P、Q、M、N分别从A、B、C、D出发，沿AD、BC、CB、DA方向在矩形的边上同时运动，当有一个点先到达所在运动边的另一个端点时，运动即停止、已知在相同时间内，若BQ＝xcm（x≠0），则AP＝2xcm，CM＝3xcm，DN＝x2cm．
（1）当x为何值时，点P、N重合；
（2）当x为何值时，以P、Q、M、N为顶点的四边形是平行四边形．
第21章 一元二次方程
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．【解答】解：A．方程x2﹣y+2＝0是二元二次方程，选项A不符合题意；
B．方程x2+2x﹣5＝0是一元二次方程，选项B符合题意；
C．方程是分式方程，选项C不符合题意；
D．x﹣y＝2是二元一次方程，选项D不符合题意．
故选：B．
2．【解答】解：由方程2x2﹣1＝3x可得：
2x2﹣3x﹣1＝0，则有a＝2，b＝﹣3，c＝﹣1；
故选：C．
3．【解答】解：x2﹣4x＝3，
x2﹣4x+4＝3+4，
（x﹣2）2＝7，
故选：D．
4．【解答】解：2x2﹣2＝0，
2x2＝2，
x2＝1，
解得x＝±1．
故选：D．
5．【解答】解：把x＝a代入方程得：2a2+a﹣4＝0，
则2a2+a＝4，
则6a2+3a﹣9＝3（2a2+a）﹣9＝12﹣9＝3．
故选：B．
6．【解答】解：∵Δ＝（﹣3）2﹣4×2×5＝9﹣40＝﹣31＜0，
∴2x2﹣3x+5＝0没有实数根，
故选：C．
7．【解答】解：根据题意得：2000（1+x）2＝3000．
故选：B．
8．【解答】解：设这个小组共有x人，则每人需送出（x﹣1）张贺卡，
依题意得：x（x﹣1）＝90，
整理得：x2﹣x﹣90＝0，
解得：x1＝10，x2＝﹣9（不合题意，舍去）．
故选：B．
9．【解答】解：∵a，b是一元二次方程x2+x﹣8＝0的两个实数根，
∴a+b＝＝﹣1，ab＝＝﹣8，
∴a＝﹣1﹣b，
∴a2+2a+b
＝a2+a+（a+b）
＝a（a+1）+（a+b）
＝a（﹣1﹣b+1）+（a+b）
＝﹣ab+a+b
＝8﹣1
＝7．
故选：A．
10．【解答】解：∵x2≥0，
∴x≥0，
①0≤x＜1时，x2＝0，解得x＝0；
②1≤x＜2时，x2＝2，解得x＝或x＝﹣（舍）；
③2≤x＜3时，x2＝4，解得x＝2或x＝﹣2（舍）；
④x≥3时，方程无解；
综上所述：方程的解为x＝0或x＝2或x＝，
故选：D．
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．【解答】解：由题意，得
m﹣4＝2，
解得m＝6，
故答案为：6．
12．【解答】解：x2﹣x＝4x+4，
x2﹣5x﹣4＝0，
故答案为：x2﹣5x﹣4＝0．
13．【解答】解：分解因式得：x（x+5）＝0，
可得x＝0或x+5＝0，
解得：x1＝0，x2＝﹣5．
故答案为：x1＝0，x2＝﹣5
14．【解答】解：设每轮传染中平均每人传染m人，
依题意，得（1+m）2＝256，
解得：m1＝15，m2＝﹣17（不合题意，舍去）．
答：每轮传染中平均每人传染了15人，
故答案为：15．
15．【解答】解：∵关于x的一元二次方程mx2+3x﹣4＝0有实数根，
∴m≠0且△≥0，即32﹣4×m×（﹣4）≥0，解得m≥﹣，
∴m的取值范围为m≥﹣且m≠0．
故答案为：≥﹣且m≠0．
16．【解答】解：令x2+y2＝x，
则原方程可变形为：x（x+2）﹣8＝0，
整理得到：x2+2x﹣8＝0，
解得：x＝﹣2或x＝4，
∵x2+y2≥0，
∴4x2+y2＝4，
故答案为：4．
三．解答题（共6小题，满分52分）
17．【解答】解：（1）由原方程得：（x﹣2）（x+1）＝0，
∴x﹣2＝0或x+1＝0，
解得x1＝2，x2＝﹣1，
所以，原方程的解为x1＝2，x2＝﹣1；
（2）解：∵a＝4，b＝﹣8，c＝1，
∴Δ＝（﹣8）2﹣4×4×1＝64﹣16＝48＞0，
∴，
解得，，
所以，原方程的解为，．
18．【解答】（1）解：当m＝﹣1时，原方程化为x2+4x+3＝0，
∴（x+1）（x+3）＝0，
∴x+1＝0或x+3＝0，
∴x1＝﹣1，x2＝﹣3；
（2）证明：∵x2﹣4mx+3m2＝0中，a＝1，b＝﹣4m，c＝3m2，
∴Δ＝b2﹣4ac＝（﹣4m）2﹣4×1×3m2＝4m2，
∵4m2≥0，即Δ≥0，
∴原方程总有两个实数根．
19．【解答】解：设AB边的长为x米，则BC边的长为（80﹣2x）米，
根据题意得：x（80﹣2x）＝750，
整理得：x2﹣40x+375＝0，
解得：x1＝15，x2＝25，
当x＝15时，80﹣2x＝80﹣2×15＝50＞40，不符合题意，舍去；
当x＝25时，80﹣2x＝80﹣2×25＝30＜40，符合题意．
答：矩形草坪的长为30米，宽为25米．
20．【解答】解：（1）△ABC是等腰三角形，
理由是：∵把x＝1代入方程（a+c）x2﹣2bx+（a﹣c）＝0得：a+c﹣2b+a﹣c＝0，
∴2a＝2b，
∴a＝b，
∴△ABC的形状是等腰三角形；
（2）∵△ABC是等边三角形，
∴a＝b＝c，
∵（a+c）x2﹣2bx+（a﹣c）＝0，
∴（a+a）x2﹣2ax+a﹣a＝0，
即x2﹣x＝0，
解得：x1＝0，x2＝1，
即这个一元二次方程的根是x1＝0，x2＝1．
21．【解答】解：（1）设每年销售这种服装的获利金额为w，
根据题意得：w＝（x﹣100）（1000﹣2x）﹣40000
＝﹣2x2+1200x﹣140000；
（2）根据题意得：﹣2x2+1200x﹣140000＝32800，
解得：x1＝360，x2＝240，
∵要使产品销售量较大，
∴x＝240．
答：销售单价应定为240元．
22．【解答】解：（1）∵P，N重合，
∴2x+x2＝20，
∴，（舍去），
∴当时，P，N重合；
（2）因为当N点到达A点时，x＝2，此时M点和Q点还未相遇，
所以点Q只能在点M的左侧，
①当点P在点N的左侧时，依题意得
20﹣（x+3x）＝20﹣（2x+x2），
解得x1＝0（舍去），x2＝2，
当x＝2时四边形PQMN是平行四边形；
②当点P在点N的右侧时，依题意得
20﹣（x+3x）＝（2x+x2）﹣20，
解得x1＝﹣10（舍去），x2＝4，
当x＝4时四边形NQMP是平行四边形，
所以当x＝2或x＝4时，以P，Q，M，N为顶点的四边形是平行四边形．