12.2三角形全等的判定例题与讲解

12.2　三角形全等的判定
1．三角形全等的判定方法一：边边边(SSS)
(1)边边边：三边对应相等的两个三角形全等(可以简写成“边边边”或“SSS”)．
这个判定方法告诉我们：当三角形的三边确定后，其形状、大小也就随之确定，这就是三角形的稳定性，它在实际生活中应用非常广泛．
(2)书写格式：
①先写出所要判定的两个三角形；
②列出条件：用大括号将两个三角形中相等的边分别写出；
③得出结论：两个三角形全等．
如下图，在△ABC和△A′B′C′中，
∵
∴△ABC≌△A′B′C′(SSS)．
警误区 书写判定两个三角形全等的条件　在书写全等的过程中，等号左边表示同一个三角形的量，等号右边表示另一个三角形的量．如上图，等号左边表示△ABC的量，等号右边表示△A′B′C′的量．
符号“∵”表示“因为”，“∴”表示“所以”，在以后的推理中，这样书写简捷、方便．要注意它们的区别．
(3)作一个角等于已知角．
已知：∠AOB.
求作：∠A′O′B′，使∠A′O′B′＝∠AOB.
作法：如上图所示，①以点O为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA，OB于点C，D；
②画一条射线O′A′，以点O′为圆心，OC长为半径画弧，交O′A′于点C′；
③以点C′为圆心，CD长为半径画弧，与上一步中所画的弧交于点D′；
④过点D′画射线O′B′，则∠A′O′B′＝∠AOB.
【例1】 如图所示，已知AB＝DC，AC＝DB，
求证：△ABC≌△DCB.
分析：已知两边对应相等，由图形可知BC为两个三角形的公共边，所以△ABC≌△DCB(SSS)．
证明：在△ABC和△DCB中，
∵
∴△ABC≌△DCB(SSS)．
2．三角形全等的判定方法二：边角边(SAS)
(1)边角边：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等(可以简写成“边角边”或“SAS”)．
(2)书写格式：
如下图，在△ABC和△A′B′C′中，
∴
∴△ABC≌△A′B′C′(SAS)．
警误区 不能用“SSA”判定三角形全等　
有两边及其一边的对角对应相等的两个三角形不一定全等，即不能用“SSA”作为三角形全等的判定．如图，在△ABC和△ABD中，AB=AB，AC=AD两条边对应相等，并且边AC，AD所对的角∠B=∠B，很显然，△ABC和△ABD不全等．
(3)注意：
①在“边角边”这个判定方法中，包含了边和角两种元素，且角是两边的夹角，而不是其中一边的对角．
②为了避免“SAS”与“SSA”(两边不夹角)混淆，在应用该方法时，要观察图形确定三个条件，按“边→角→边”的顺序排列，并按此顺序书写．
【例2】 如图，两个透明三角形纸片叠放到桌面上，已知∠ACE＝∠FCB，AC＝EC，BC＝FC，则△ABC与△EFC全等吗？请说明理由．
解：△ABC≌△EFC.
理由：∵∠ACE＝∠FCB，
∴∠ACE＋∠ECB＝∠FCB＋∠ECB，
即∠ACB＝∠ECF.
在△ABC和△EFC中，
∵
∴△ABC≌△EFC(SAS)．
3．三角形全等的判定方法三、四：角边角(ASA)及角角边(AAS)
(1)角边角：
①内容：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等(可以简写成“角边角”或“ASA”)．
②书写格式：
如图，在△ABC和△A′B′C′中，
∵
∴△ABC≌△A′B′C′(ASA)．
(2)角角边：
①内容：两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等(可以简写成“角角边”或“AAS”)．
②书写格式：
如下图，在△ABC和△A′B′C′中，
∵
∴△ABC≌△A′B′C′(AAS)．
(3)“角边角”与“角角边”的关系：
由三角形的内角和定理知，只要两个三角形的两个角对应相等，则其第三个角也对应相等，所以两角及一边对应相等的两个三角形一定全等．无论这一边是“对边”还是“夹边”，只要对应相等即可判定两个三角形全等．
(4)注意：
①在运用“ASA”时，要从图形上确定是按“角→边→角”的顺序排列条件；
②在运用“AAS”时，要从图形上确定是按“角→角→边”的顺序排列条件．
警误区 不能用“AAA”判定三角形全等
有三个角对应相等的两个三角形不一定全等，即不能用“AAA”作为三角形全等的判定．如下图，在△ABC和△A′B′C′中，∠A＝∠A′，∠B＝∠B′，∠C＝∠C′，很显然，△ABC和△A′B′C′不全等．
【例3】 (一题多证)已知，如图，D是△ABC的边AB上一点，AB∥FC，DF交AC于点E，DE＝EF.
求证：AE＝CE.
证法一：∵AB∥FC，
∴∠ADE＝∠F.
在△ADE和△CFE中，
∵
∴△ADE≌△CFE(ASA)．∴AE＝CE.
证法二：∵AB∥FC，
∴∠A＝∠ECF，∠ADE＝∠F.
在△ADE和△CFE中，∵
∴△ADE≌△CFE(AAS)．∴AE＝CE.
4．直角三角形全等的判定方法：斜边、直角边(HL)
(1)内容：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等(可以简写成“斜边、直角边”或“HL”)．
(2)书写格式：
如下图，在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，
∵
∴Rt△ABC≌Rt△A′B′C′(HL)．
警误区 “HL”适用的前提条件　(1)“HL”只适合直角三角形全等的判定，不适合一般三角形全等的判定；(2)直角三角形全等的判定既可以用“SSS”“SAS”“ASA”和“AAS”，又可以用“HL”．
【例4】 如图，AD⊥CD，AB⊥CB，垂足分别是D，B，且AD＝AB，求证：AC平分∠DCB.
证明：∵AD⊥CD，AB⊥CB，
∴∠D与∠B都是直角．
在Rt△ADC和Rt△ABC中，
∵
∴Rt△ADC≌Rt△ABC(HL)．
∴∠ACD＝∠ACB，即AC平分∠DCB.
5．判定两个三角形全等的常用思路
判定两个三角形全等的方法有：“SSS”“SAS”“ASA”“AAS”“HL”这五种，其中“HL”只适合于直角三角形．
在具体运用过程中，要认真分析已知条件，挖掘题中隐含条件，有目的地选择三角形全等的条件，一般可按下面的思路进行：
(1)已知两边
(2)已知一边一角
(3)已知两角
6．全等三角形判定和性质的综合运用
全等三角形的性质是对应角相等、对应边相等，全等三角形的判定是“SAS”“ASA”“AAS”“SSS”“HL”．在说明线段相等或角相等时，常常需要综合运用全等三角形的性质和判定．
说明两条线段或两个角相等时，可考虑两条线段或两个角所在的两个三角形是否全等，若由已知条件不能直接说明这两个三角形全等时，可以由已知条件先推出其他的三角形全等，再由全等三角形的性质得到一些线段或角相等，为说明前面的三角形全等提供条件．
【例5】 如图，已知∠E＝∠F＝90°，∠1＝∠2，AC＝AB，求证：△AEB≌△AFC.
分析：已知∠E＝∠F＝90°，AC＝AB，即已知一边及一角，并且这边是角的对边，根据判定两个三角形全等的常用思路再找另一角即可，由∠1＝∠2，可得∠EAB＝∠FAC，再根据全等的判定方法AAS可证△AEB≌△AFC.
证明：∵∠1＝∠2，
∴∠1＋∠BAC＝∠2＋∠BAC，
即∠EAB＝∠FAC.
在△AEB和△AFC中，
∵
∴△AEB≌△AFC(AAS)．
【例6】 如图1，已知AB∥CD，OA＝OD，AE＝DF，求证：EB∥CF.
图1
证明：如图2，∵AB∥CD，∴∠4＝∠3.
在△OAB和△ODC中，∵
图2
∴△OAB≌△ODC(ASA)．∴OB＝OC.
又∵AE＝DF，OA＝OD，
∴OA＋AE＝OD＋DF，即OE＝OF.
在△BOE和△COF中，
∵∴△BOE≌△COF(SAS)．
∴∠E＝∠F.∴EB∥CF.
7．全等三角形判定中的探究性问题
动态探究型问题一般是指几何图形的运动，包括点动(点在线上运动)、线动(线的平移、对称、旋转)、面动〔平面几何图形的平移、对称(翻折)、旋转〕．这类问题具有灵活性、多变性，常融入三角形，综合运用三角形全等知识．
但万物皆有源，几何以点为源泉，无数个点可以形成各种图形，所以图形的运动其实是无数个点的运动．点动带动图形动，图形动引起点的位置发生变化，相辅相成，变化无穷，但万变不离其宗，解决问题要抓住一些关键点即可．
对于运动变化过程中的探索性问题的求解，应动中取静，先取某一特定时刻物体的状况进行探究，获得结论，再由特殊推知其一般结论，并运用几何知识(全等三角形的判定)加以证明．
【例7】 (科学探究题)如图，在△ABC中，AB＝AC＝10 cm，BC＝8 cm，点D为AB的中点．如果点P在线段BC上以3 cm/s的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CA上由C点向A点运动．
(1)若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1 s后，△BPD与△CQP是否全等，请说明理由；
(2)若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使△BPD与△CQP全等？
解：(1)∵t＝1 s，∴BP＝CQ＝3×1＝3(cm)．
∵AB＝10 cm，点D为AB的中点，∴BD＝5 cm.
又∵PC＝BC－BP，BC＝8 cm，
∴PC＝8－3＝5(cm)．
∴PC＝BD.
又∵AB＝AC，∴∠B＝∠C.
∴△BPD≌△CQP.
(2)∵vP≠vQ，∴BP≠CQ.
又∵△BPD与△CQP全等，∠B＝∠C，
则BP＝PC＝4 cm，CQ＝BD＝5 cm，
∴点P，点Q运动的时间t＝＝(s)．
∴vQ＝＝＝(cm/s)．