辽宁省沈阳市联合体2022-2023学年高二下学期期末数学试题（含答案）
文档属性
| 名称 | 辽宁省沈阳市联合体2022-2023学年高二下学期期末数学试题（含答案） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 891.5KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 通用版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2023-07-15 15:05:03 | ||
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文档简介
2022—2023学年度（下）联合体高二期末检测
数学
（满分：150分 考试时间：120分钟）
审题人：36中李永阳
注意事项：
1.答题时，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上.
2.答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号.
3.答非选择题时，必须使用黑色墨水笔或黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上，写在试题卷、草稿纸上无效.
4.考试结束后，将试题卷和答题卡一并交回.
第I卷（选择题，共60分）
一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题所给的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的）
1.已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
2.已知函数若，则实数的值为（ ）
A. B. C. 或 D. 或
3.如图，直线是函数的图象在点处的切线，则（ ）
A.-3 B.-2 C.2 D.1
4.已知随机变量，若，，则（ ）
A. B. C. D.
5.已知函数满足性质：①在定义域上有；②，恒有，则函数可能为（ ）
A. B.
C. D.
6.设等差数列的前项和为，若，，则当取得最小值时，的值为（ ）
A.8 B.9 C.10 D.11
7.下列说法正确的是（ ）
A.已知，则“”是“”的充分不必要条件
B.若不等式的解集为，则
C.若，则
D.函数的最小值是
8.设函数的定义域为，其导函数为，且满足，，则满足不等式的的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题所给的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）
9.下列求导运算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
10.已知，函数，若满足关于的方程，则下列命题为真命题的有（ ）
A. ， B. ，
C. ， D. ，
11.若存在常数和，使得函数和对其公共定义域上的任意实数都满足：和恒成立，则称此直线为和的“隔离直线”，已知函数，，若函数和之间存在“隔离直线”，则实数的取值可以是（ ）
A.-5 B.0 C.4 D.7
12.如图，将个数排成行列的一个数阵，该数阵第一列的个数从上到下构成以为公差的等差数列，每一行的个数从左到右构成以为公比的等比数列，表示第行第个数.已知，，记这个数的和为.下列结论正确的有（ ）
A. B.
C. D.
第Ⅱ卷（非选择题，共90分）
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13.已知某品种小麦的穗粒数服从正态分布，且，则该品种小凌的穗粒数超过42粒的概率为__________.
14.方程的解集为__________.
15.某企业制造并出售球形瓶装的某种饮料，瓶子的制造成本是分，其中（单位：cm）是瓶子的半径，已知每1mL饮料可售0.4分，且能制作的瓶子的最大半径为6cm，当每瓶饮料的利润最大时，瓶子的半径为___________cm.
16.已知函数与的定义域均为，，，且，为偶函数，则__________.
四、解答题（本大题共6小题，共70分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17.（10分）已知数列的前项和为，，且.
（1）求数列的通项公式；
（2）记，求数列的前项和.
18.（12分）玻璃杯整箱出售，共3箱，每箱20只.假设各箱含有0，1，2只残次品的概率对应为0.8，0.1和0.1.一顾客欲购买一箱玻璃杯，在购买时，售货员随意取一箱，而顾客随机查看4只玻璃杯，若无残次品，则买下该箱玻璃杯；否则不买.设事件表示“顾客买下所查看的一箱玻璃杯”，事件表示“箱中恰好有只残次品”求：
（1）顾客买下所查看的一箱玻璃杯的概率；
（2）在顾客买下的一箱中，没有残次品的概率.
19.（12分）已知函数，其中为常数，函数是其导函数，且满足，.
（1）求函数的解析式；
（2）若函数在某点处的切线过点，求该切线的一般式方程
20.（12分）已知等差数列的首项为-1，公差为2，数列满足.
（1）求取得最小值时的值；
（2）若，证明：.
21.（12分）旅游承载着人们对美好生活的向往.随着近些年人们收入和消费水平不断提高，对品质生活的需求也日益升级，旅游市场开启了快速增长的时代.某旅游景区为吸引旅客，提供了A，B两条路线方案.该景区为进一步了解旅客对这两条路线的选择情况和满意度评价（“好”或“一般”），对300名旅客的路线选择和评价进行了统计，如下表：
A路线 B路线 合计
好 一般 好 一般
男 10 20 55 35 120
女 90 30 20 40 180
合计 100 50 75 75 300
（1）根据以上数据，在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，可以认为对A，B两条路线的选择与性别有关吗
（2）某人计划到该景区旅游，预先在网上了解了对这两条路线的评价，假设他分别看了两条路线各三条评价（评价“好”或“一般”的可能性以前面统计的占比为参考），若评价为“好”的计5分，评价为“一般”的计2分，以期望值作为参考，那么你认为这个人会选择哪一条路线 请用计算说明理由.
附：，其中.
0.05 0.01 0.001
3.841 6.635 10.828
22.（12分）已知函数.
（1）若，讨论函数的单调性和极值情况；
（2）若，求证：当时，；
（3）若，求证：当时，.
2022—2023学年度（下）联合体高二期末检测
数学参考答案及评分标准
一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）
1.C【解析】解，得，则，所以.故选：C.
2.D【解析】当时，，解得；当时，，解得.故选：D.
3.D【解析】由图可得函数的图象在点处的切线与轴交于点（4，0），与轴交于点（0，4），则切线：，∴，f'（2）=-1，所以.故选：D.
4.A【解析】由，，得，，解得，，所以.故选：A.
5.B【解析】由①，得，即函数是奇函数.由②，得，即函数在上单调递增.
A选项：是正比例函数，是奇函数，但在上单调递减，不符合题意；
B选项：是奇函数.当时，.因为在上单调递增，所以在上单调递增，符合题意；
C选项：是顶点在原点的二次函数，是偶函数，不符合题意；
D选项：是反比例函数，是奇函数，但在上单调递减，不符合题意.
故选：B.
6.B【解析】在等差数列中，由，得，则.
又，所以，，所以当时，取得最小值.故选：B.
7.C【解析】A选项：由得，解得，所以“”是“”的必要不充分条件，A错误；
CB选项：由题意得关于的方程的根为-1和2，所以，B错误；
C选项：因为，所以，，，所以，所以，C正确；
D选项：因为，当且仅当时等号成立，此时无实数解，所以无最小值，D错误.故选：C.
8.D【解析】设.因为，即，所以，所以在上单调递减.又因为，所以不等式，即，所以，所以满足题中不等式的的取值范围为.故选：D.
二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
9.AD【解析】A选项：，A正确；
B选项：，B错误；
C选项：，C错误；
D选项：，D正确.
故选：AD.
10.BCD【解析】因为满足关于的方程，所以，所以在处取得最小值.
由A选项，得在处取得最大值，A选项为假命题；
由B选项，得在处取得最小值，B选项为真命题；
C选项，当时，，C选项为真命题；
D选项，因为在处取得最小值，所以，是真命题.
故选：BCD.
11.CD【解析】若函数和之间存在隔离直线，
则对任意的，，即，
所以，解得；
对任意的，，则.
因为，当且仅当时，等号成立，所以，
所以，所以实数的取值可以是4或7.故选：CD.
12.ACD【解析】因为，，，所以，解得或（舍去），A正确；
所以，C正确；
所以，B错误；
所以
，
D正确.
故选：ACD.
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13.0.16【解析】该品种小麦的穗粒数超过42粒的概率.故答案为：0.16.
14. 【解析】，所以或或，故该方程的解集为.故答案为：.
15.6【解析】设每瓶饮料获得的利润为.根据题意，得，则，于是当时，，单调递减；当时，，单调递增，是极小值点，所以当时，取得最大值.故答案为：6.
16.248【解析】①.
因为为偶函数，所以.
用替换，得，
所以可化为②.
由①+②，得，进而得，
所以.
在②中用替换，得③.
由①-③，得，进而得，
所以.
在①中令，可得，所以.
在中，令，得.
又因为，所以，则，
所以.故答案为：248.
四、解答题（本大题共6小题，共70分）
17.解：（1）由，解得.
因为，
所以.
又，所以数列是首项为1，公比为2的等比数列，
所以，
所以.
（2）由（1）得，所以，
所以，
所以.
18.解：（1）由题设可知，，，，且，，，
所以
.
即顾客买下所查看的一箱玻璃杯的概率为.
（2）因为，
所以在顾客买下的一箱中，没有残次品的概率是.
19.解：（1）由，得，
所以
解得，
所以函数的解析式为.
（2）因为，
所以点不在函数的图象上，即其不是切点，则设切点为.
，则该切线的斜率为.
又因为该切线过点，
所以，解得或.
当时，，此时切线方程为；
当时，，此时切线方程为，即.
综上所述，该切线的一般式方程为或.
20.（1）解：由，
得，
累加可得：，
所以
，
当取最小值时，的值为2.
（2）证明：若，则，，
所以
.
当时，，
所以.
21.解：（1）由题意，得，，，，，
所以，，，，
所以.
因为50>10.828，
所以在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，可以认为对A，B两条路线的选择与性别有关.
（2）A路线的好评率为，一般评率为.
B路线的好评率为，一般评率为.
设A路线和B路线累计分数分别为，，
则，的可能取值都为6，9，12，15，
则，
，
，
，
所以.
，
，
，
，
所以.
因为，所以这个人会选择A路线.
22.（1）解：，则.
令，则.
当时，；
当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以在处取得极小值.
（2）证明：当时，因为，
令，则，
故在单调递增.
当时，，
故在单调递增，则.
（3）证明：由（2）可知在上单调递增，.
①当时，，
故在单调递增，
所以；
②当时，.
因为，
故存在使得（*）.
又因为在单调递增，
所以当时，；
当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
故.
由（*）得，代入上式，
得.
因为，令，
所以，.
当时，，
所以在上单调递增，
所以，
所以，则，
所以当时，，即得证.
数学
（满分：150分 考试时间：120分钟）
审题人：36中李永阳
注意事项：
1.答题时，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上.
2.答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号.
3.答非选择题时，必须使用黑色墨水笔或黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上，写在试题卷、草稿纸上无效.
4.考试结束后，将试题卷和答题卡一并交回.
第I卷（选择题，共60分）
一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题所给的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的）
1.已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
2.已知函数若，则实数的值为（ ）
A. B. C. 或 D. 或
3.如图，直线是函数的图象在点处的切线，则（ ）
A.-3 B.-2 C.2 D.1
4.已知随机变量，若，，则（ ）
A. B. C. D.
5.已知函数满足性质：①在定义域上有；②，恒有，则函数可能为（ ）
A. B.
C. D.
6.设等差数列的前项和为，若，，则当取得最小值时，的值为（ ）
A.8 B.9 C.10 D.11
7.下列说法正确的是（ ）
A.已知，则“”是“”的充分不必要条件
B.若不等式的解集为，则
C.若，则
D.函数的最小值是
8.设函数的定义域为，其导函数为，且满足，，则满足不等式的的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题所给的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）
9.下列求导运算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
10.已知，函数，若满足关于的方程，则下列命题为真命题的有（ ）
A. ， B. ，
C. ， D. ，
11.若存在常数和，使得函数和对其公共定义域上的任意实数都满足：和恒成立，则称此直线为和的“隔离直线”，已知函数，，若函数和之间存在“隔离直线”，则实数的取值可以是（ ）
A.-5 B.0 C.4 D.7
12.如图，将个数排成行列的一个数阵，该数阵第一列的个数从上到下构成以为公差的等差数列，每一行的个数从左到右构成以为公比的等比数列，表示第行第个数.已知，，记这个数的和为.下列结论正确的有（ ）
A. B.
C. D.
第Ⅱ卷（非选择题，共90分）
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13.已知某品种小麦的穗粒数服从正态分布，且，则该品种小凌的穗粒数超过42粒的概率为__________.
14.方程的解集为__________.
15.某企业制造并出售球形瓶装的某种饮料，瓶子的制造成本是分，其中（单位：cm）是瓶子的半径，已知每1mL饮料可售0.4分，且能制作的瓶子的最大半径为6cm，当每瓶饮料的利润最大时，瓶子的半径为___________cm.
16.已知函数与的定义域均为，，，且，为偶函数，则__________.
四、解答题（本大题共6小题，共70分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17.（10分）已知数列的前项和为，，且.
（1）求数列的通项公式；
（2）记，求数列的前项和.
18.（12分）玻璃杯整箱出售，共3箱，每箱20只.假设各箱含有0，1，2只残次品的概率对应为0.8，0.1和0.1.一顾客欲购买一箱玻璃杯，在购买时，售货员随意取一箱，而顾客随机查看4只玻璃杯，若无残次品，则买下该箱玻璃杯；否则不买.设事件表示“顾客买下所查看的一箱玻璃杯”，事件表示“箱中恰好有只残次品”求：
（1）顾客买下所查看的一箱玻璃杯的概率；
（2）在顾客买下的一箱中，没有残次品的概率.
19.（12分）已知函数，其中为常数，函数是其导函数，且满足，.
（1）求函数的解析式；
（2）若函数在某点处的切线过点，求该切线的一般式方程
20.（12分）已知等差数列的首项为-1，公差为2，数列满足.
（1）求取得最小值时的值；
（2）若，证明：.
21.（12分）旅游承载着人们对美好生活的向往.随着近些年人们收入和消费水平不断提高，对品质生活的需求也日益升级，旅游市场开启了快速增长的时代.某旅游景区为吸引旅客，提供了A，B两条路线方案.该景区为进一步了解旅客对这两条路线的选择情况和满意度评价（“好”或“一般”），对300名旅客的路线选择和评价进行了统计，如下表：
A路线 B路线 合计
好 一般 好 一般
男 10 20 55 35 120
女 90 30 20 40 180
合计 100 50 75 75 300
（1）根据以上数据，在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，可以认为对A，B两条路线的选择与性别有关吗
（2）某人计划到该景区旅游，预先在网上了解了对这两条路线的评价，假设他分别看了两条路线各三条评价（评价“好”或“一般”的可能性以前面统计的占比为参考），若评价为“好”的计5分，评价为“一般”的计2分，以期望值作为参考，那么你认为这个人会选择哪一条路线 请用计算说明理由.
附：，其中.
0.05 0.01 0.001
3.841 6.635 10.828
22.（12分）已知函数.
（1）若，讨论函数的单调性和极值情况；
（2）若，求证：当时，；
（3）若，求证：当时，.
2022—2023学年度（下）联合体高二期末检测
数学参考答案及评分标准
一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）
1.C【解析】解，得，则，所以.故选：C.
2.D【解析】当时，，解得；当时，，解得.故选：D.
3.D【解析】由图可得函数的图象在点处的切线与轴交于点（4，0），与轴交于点（0，4），则切线：，∴，f'（2）=-1，所以.故选：D.
4.A【解析】由，，得，，解得，，所以.故选：A.
5.B【解析】由①，得，即函数是奇函数.由②，得，即函数在上单调递增.
A选项：是正比例函数，是奇函数，但在上单调递减，不符合题意；
B选项：是奇函数.当时，.因为在上单调递增，所以在上单调递增，符合题意；
C选项：是顶点在原点的二次函数，是偶函数，不符合题意；
D选项：是反比例函数，是奇函数，但在上单调递减，不符合题意.
故选：B.
6.B【解析】在等差数列中，由，得，则.
又，所以，，所以当时，取得最小值.故选：B.
7.C【解析】A选项：由得，解得，所以“”是“”的必要不充分条件，A错误；
CB选项：由题意得关于的方程的根为-1和2，所以，B错误；
C选项：因为，所以，，，所以，所以，C正确；
D选项：因为，当且仅当时等号成立，此时无实数解，所以无最小值，D错误.故选：C.
8.D【解析】设.因为，即，所以，所以在上单调递减.又因为，所以不等式，即，所以，所以满足题中不等式的的取值范围为.故选：D.
二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
9.AD【解析】A选项：，A正确；
B选项：，B错误；
C选项：，C错误；
D选项：，D正确.
故选：AD.
10.BCD【解析】因为满足关于的方程，所以，所以在处取得最小值.
由A选项，得在处取得最大值，A选项为假命题；
由B选项，得在处取得最小值，B选项为真命题；
C选项，当时，，C选项为真命题；
D选项，因为在处取得最小值，所以，是真命题.
故选：BCD.
11.CD【解析】若函数和之间存在隔离直线，
则对任意的，，即，
所以，解得；
对任意的，，则.
因为，当且仅当时，等号成立，所以，
所以，所以实数的取值可以是4或7.故选：CD.
12.ACD【解析】因为，，，所以，解得或（舍去），A正确；
所以，C正确；
所以，B错误；
所以
，
D正确.
故选：ACD.
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13.0.16【解析】该品种小麦的穗粒数超过42粒的概率.故答案为：0.16.
14. 【解析】，所以或或，故该方程的解集为.故答案为：.
15.6【解析】设每瓶饮料获得的利润为.根据题意，得，则，于是当时，，单调递减；当时，，单调递增，是极小值点，所以当时，取得最大值.故答案为：6.
16.248【解析】①.
因为为偶函数，所以.
用替换，得，
所以可化为②.
由①+②，得，进而得，
所以.
在②中用替换，得③.
由①-③，得，进而得，
所以.
在①中令，可得，所以.
在中，令，得.
又因为，所以，则，
所以.故答案为：248.
四、解答题（本大题共6小题，共70分）
17.解：（1）由，解得.
因为，
所以.
又，所以数列是首项为1，公比为2的等比数列，
所以，
所以.
（2）由（1）得，所以，
所以，
所以.
18.解：（1）由题设可知，，，，且，，，
所以
.
即顾客买下所查看的一箱玻璃杯的概率为.
（2）因为，
所以在顾客买下的一箱中，没有残次品的概率是.
19.解：（1）由，得，
所以
解得，
所以函数的解析式为.
（2）因为，
所以点不在函数的图象上，即其不是切点，则设切点为.
，则该切线的斜率为.
又因为该切线过点，
所以，解得或.
当时，，此时切线方程为；
当时，，此时切线方程为，即.
综上所述，该切线的一般式方程为或.
20.（1）解：由，
得，
累加可得：，
所以
，
当取最小值时，的值为2.
（2）证明：若，则，，
所以
.
当时，，
所以.
21.解：（1）由题意，得，，，，，
所以，，，，
所以.
因为50>10.828，
所以在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，可以认为对A，B两条路线的选择与性别有关.
（2）A路线的好评率为，一般评率为.
B路线的好评率为，一般评率为.
设A路线和B路线累计分数分别为，，
则，的可能取值都为6，9，12，15，
则，
，
，
，
所以.
，
，
，
，
所以.
因为，所以这个人会选择A路线.
22.（1）解：，则.
令，则.
当时，；
当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以在处取得极小值.
（2）证明：当时，因为，
令，则，
故在单调递增.
当时，，
故在单调递增，则.
（3）证明：由（2）可知在上单调递增，.
①当时，，
故在单调递增，
所以；
②当时，.
因为，
故存在使得（*）.
又因为在单调递增，
所以当时，；
当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
故.
由（*）得，代入上式，
得.
因为，令，
所以，.
当时，，
所以在上单调递增，
所以，
所以，则，
所以当时，，即得证.
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