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第21章《一元二次方程》
考试时间:120分钟 满分：120分
一、单选题（每小题3分，共18分）
1．（2022秋·四川攀枝花·九年级校联考期末）已知x＝1是关于x的一元二次方程x2+kx+4＝0的一个根，则k的值为（ ）
A．5 B．﹣5 C．3 D．﹣3
【答案】B
【分析】把x=1代入方程计算即可求出k的值．
【详解】解：把x=1代入方程得：1+k+4=0，
解得：k=﹣5，
故选：B．
【点睛】此题考查了一元二次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值．
2．（2023·宁夏银川·校考二模）关于x的方程kx2+（2k﹣1）x+k﹣3＝0有实数根，则k的取值范围是（ ）
A．k≥﹣ B．k≥﹣且k≠0 C．k＞﹣ D．k＞﹣且k≠0
【答案】A
【分析】根据题意可分当k=0时和k≠0时进行分类结合一元二次方程根的判别式可进行求解．
【详解】解：由题意得：
当k=0时，方程变为-x-3=0，方程有解，符合题意；
当k≠0时，则根据一元二次方程根的判别式可得：，
解得：，
综上所述：k的取值范围为；
故选A．
【点睛】本题主要考查一元二次方程根的判别式及一元一次不等式的求解，熟练掌握一元二次方程根的判别式及一元一次不等式的求解是解题的关键．
3．（2022秋·湖南永州·九年级校考阶段练习）一元二次方程x2-9x=0的解是（ ）
A．x=0 B．x=9 C．x1=-3，x2=3 D．x1=0，x2=9
【答案】D
【详解】试题解析：x（x-9）=0，
x=0或x-9=0，
所以x1=0，x2=9．
故选D．
【点睛】本题考查了解一元二次方程-因式分解法：先把方程右边变形为0，然后把方程左边进行因式分解，这样把一元二次方程转化为两个一元一次方程，再解一次方程可得到一元二次方程的解．
4．（2022秋·山东济宁·九年级校考阶段练习）关于x的方程ax2+bx+c=3的解与（x﹣1）（x﹣4）=0的解相同，则a+b+c的值为（ ）
A．2 B．3 C．1 D．4
【答案】B
【详解】首先由题意求得方程ax2+bx+c=3与方程（x-1）（x-4）=0的解，然后将x=1代入方程ax2+bx+c=3，根据方程解的定义，即可求得答案．
解：∵方程（x-1）（x-4）=0的解解为：x1=1，x2=4，
∴关于x的方程ax2+bx+c=3的解为：x1=1，x2=4，
∴将x=1代入方程ax2+bx+c=3得：a+b+c=3．
故选B．
5．下列说法错误的是（ ）
A．成语“水中捞月”表示的事件是不可能事件
B．一元二次方程有两个相等的实数根
C．任意多边形的外角和等于
D．三角形三条中线的交点叫作三角形的重心
【答案】B
【分析】根据不可能事件、根的判别式、多边形的外角和以及三角形的重心的定义分别进行判断即可．
【详解】解：A、成语“水中捞月”表示的事件是不可能事件，故此选项不符合题意；
B、，则一元二次方程没有实数根，故此选项符合题意；
C、任意多边形的外角和等于，故此选项不符合题意；
D、三角形三条中线的交点叫作三角形的重心，故此选项不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查不可能事件、根的判别式、多边形的外角和以及三角形的重心的定义，熟练掌握有关知识点是解题的关键．
6．（2020秋·河南南阳·九年级统考期末）若是关于x的一元二次方程的一个根，则m的值为（ ）
A．1或4 B．-1或-4 C．-1或4 D．1或-4
【答案】B
【分析】把代入关于x的方程，得到，解关于m的方程即可．
【详解】解：∵是关于x的一元二次方程的一个根，
∴
解得
故选B．
【点睛】本题考查一元二次方程根的定义和一元二次方程的解法，理解方程根的定义得到关于m的方程是解题关键．
二、填空题（每小题3分，共18分）
7．已知关于x的一元二次方程x2+（2k+1）x+k2+2k＝0有两个实数根x1，x2，且x1+x2≤0，则k的取值范围是_____．
【答案】.
【分析】根据已知一元二次方程的根的情况，得到根的判别式△≥0，据此列出关于k的不等式[-（2k+1）]2-4（k2+2k）≥0，再根据x1+x2＝﹣（2k+1）0，解不等式组即可求得k的取值范围．
【详解】解：∵原方程有两个实数根，
∴（2k+1）2﹣4（k2+2k）≥0，
∴4k2+4k+1﹣4k2﹣8k≥0
∴1﹣4k≥0，
k≤，
又∵x1，x2是原方程的两根，且x1+x20，
∴x1+x2＝﹣（2k+1）0，
k≥﹣，
∴k的取值范围是.
【点睛】本题综合考查了根的判别式和根与系数的关系，在解不等式时一定要注意数值的正负与不等号的变化关系．
8．（2021秋·江苏宿迁·九年级统考期中）已知等腰的两边是关于x的方程的两根，第三边的长是4，则______．
【答案】10或11/或10
【详解】当4是底边时，则关于x的方程有两个相等的实数根，
∴ ，
解得，或
当时，
，不能构成三角形
当4是腰时，则方程有一个根是4，把x=4代入方程得，
解得：
综上所述，m的值为10或
故答案为10或
【点睛】本题考点涉及等腰三角形的性质、一元二次方程根的判别式以及根与系数的关系，熟练掌握相关知识点是解题关键.
9．设m，n是一元二次方程x2＋2x－7＝0的两个根，则m2＋3m＋n＝_______．
【答案】5
【分析】根据根与系数的关系可知m+n=﹣2，又知m是方程的根，所以可得m2+2m﹣7=0，最后可将m2+3m+n变成m2+2m+m+n，最终可得答案．
【详解】解：∵设m、n是一元二次方程x2+2x﹣7=0的两个根，
∴m+n=﹣2，
∵m是原方程的根，
∴m2+2m﹣7=0，即m2+2m=7，
∴m2+3m+n=m2+2m+m+n=7﹣2=5，
故答案为：5．
【点睛】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根，则，，掌握此性质是解题关键．
10．（2020·广东·统考一模）为抑制高房价，照顾低收入家庭，国家决定加大经济保障房建设力度，若某市2017年完成了500万套，计划2019年完成2000万套．则2017年至2019年经济保障房平均每年的增长率为_____．
【答案】100%．
【分析】设2017年至2019年经济保障房平均每年的增长率为x，根据2017年及2019年该市经济保障房的建设数量，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．
【详解】解：设2017年至2019年经济保障房平均每年的增长率为x，
依题意得：500（1+x）2＝2000，
解得：x1＝1＝100%，x2＝﹣3（不合题意，舍去）．
故答案为：100%．
【点睛】本题考查一元二次方程的应用，根据题意列出等量关系是解题关键．
11．（2022秋·上海·九年级上外附中校考阶段练习）已知实数a，b，c满足，则___________．
【答案】54
【分析】先配成平方和等于0的性质，再利用平方的非负性求解即可．
【详解】解：∵，
∴，
即，，
∴，
解得：，
∴．
【点睛】本题考查平方的非负性，配方法的应用，算术平方根等知识，将原方程配成平方和等于0的形式是解题的关键．
12．如图，在长方形ABCD中，AB＝6cm，BC＝10cm，若此长方形以2cm/s的速度沿着A→D方向移动，经过________秒平移后的长方形与原来长方形重叠部分的面积为24cm2．
【答案】3
【分析】先用时间表示重叠部分矩形的长度，以长方形面积公式作为等量关系列关于x的方程求解即可.
【详解】解：设经过x秒平移后的长方形与原来长方形重叠部分的面积为24cm2，根据题意得
6（10-2x）=24
解得，x=3，
即经过3秒平移后的长方形与原来长方形重叠部分的面积为24cm2.
故答案为3
【点睛】本题考查了平移的性质和一元一次方程的应用，运用方程思想求解是解答此题的关键.
三、解答题（每小题6分，共30分）
13．（2022秋·甘肃武威·九年级校考期末）解方程：
(1)
(2)
【答案】(1)，．
(2)，．
【分析】（1）利用公式法解一元二次方程即可．
（2）利用因式分解法解一元二次方程即可．
（1）
由题意得，a＝1，b＝﹣4，c＝﹣5，
∵＝＝36，
∴，
∴，．
（2）
原方程整理得，，
∴或，
∴，．
【点睛】此题考查了一元二次方程的解法，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键．
14．（2021秋·山东济南·九年级济南市章丘区第四中学校考阶段练习）用适当的方法解下列方程
（1）x2+6x-7=0；
（2）2x2+4x-3=0．
【答案】（1）x1=-7，x2=1；（2）x1=，x2=．
【分析】（1）首先把一元二次方程x2+6x-7=0转化成两个一元一次方程的乘积，即（x+7）（x-1）=0，然后解一元一次方程即可；
（2）利用公式法解方程即可．
【详解】解：（1）∵x2+6x-7=0，
∴（x+7）（x-1）=0，
∴x1=-7，x2=1；
（2）∵a=2，b=4，c=-3，
∴Δ=b2-4ac=40＞0，
∴x=，
∴x1=，x2=．
【点睛】本题主要考查了解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
15．已知，求代数式的值．
【答案】9．
【详解】试题分析：原式第一项利用完全平方公式展开，第二项利用平方差公式化简，最后一项利用单项式乘以多项式法则计算，去括号合并得到最简结果，将已知等式变形代入代入计算即可求出值．
试题解析：原式==，
当，即时，原式=1+8=9．
考点：整式的混合运算—化简求值．
16．（2022秋·福建泉州·九年级统考期末）如图，某学校打算把一块长、宽的长方形空地修建成一个学校校史馆，面向全体师生校友和社会大众，展示学校建校的发展历程，若三面修成宽度相等的花砖路，中间空地的面积是，请计算花砖路面的宽度．
【答案】1m
【分析】根据题意可知中间空地的长m，宽，列方程即可．
【详解】解：设花砖路面的宽度为m，则中间空地的长m，宽m，则
，
整理得：，
解得：（不符合题意，舍去）
答：花砖路面的宽度为．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，关键是理解题意表示出中间空地的长和宽．
17．（2023秋·甘肃庆阳·九年级统考期末）已知关于x的一元二次方程．
(1)求证：该方程总有两个不相等的实数根．
(2)当时，求此时方程的根．
【答案】(1)见解析
(2)，
【分析】（1）根据一元二次方程根的判别式即可求解；
（2）根据因式分解法解一元二次方程，即可求解．
【详解】（1）解：∵
，
∴此方程总有两不相等实根．
（2）时．方程为
解得：，，
【点睛】本题考查了一元二次方程的根的判别式，解一元二次方程，掌握以上知识是解题的关键．
四、解答题（每小题8分，共24分）
18．（2020·北京·北京育英中学校考三模）已知关于x的一元二次方程．
（1）当时，求此方程的根；
（2）若此方程有两个不相等的实数根，求k的取值范围．
【答案】（1）；（2）且
【分析】（1）把k=1代入原方程，然后解此方程即可；
（2）根据方程有两个不相等的实数根可知此方程是一元二次方程，即k≠0，根的判别式大于0，即可求出k的取值范围.
【详解】（1）当时，此方程为，
，
，；
（2）由题意得，
，
，
且.
【点睛】此题考查了根的判别式，一元二次方程根的情况与判别式△的关系：
（1）△＞0 方程有两个不相等的实数根；
（2）△=0 方程有两个相等的实数根；
（3）△＜0 方程没有实数根.
也考查了一元二次方程的解法.
19．为满足市场需求，某超市在端午节前夕购进价格为3元/个的某品牌粽子，根据市场预测，该品牌粽子每个售价4元时，每天能出售500个，并且售价每上涨0.1元，其销售量将减少10个．
(1)若每个粽子售价4.5元，则每天的销量是______个；
(2)为了维护消费者利益，物价部门规定，该品牌粽子售价不能超过进价的200%，请你利用所学知识帮助超市给该品牌粽子定价，使超市每天的销售利润为800元．
【答案】（1）450；（2）每个粽子的定价为5元时，每天的利润为800元．
【分析】（1）根据题意，由售价每上涨0.1元，其销售量将减少10个．即可得到答案；
（2）设每个粽子的定价为x元，由于每天的利润为800元，根据利润=（定价-进价）×销售量，列出方程求解即可．
【详解】解：（1）若每个粽子售价4.5元，则
每天的销量是：（个）；
故答案为：450；
（2）设每个粽子的定价为x元时，每天的利润为800元．
根据题意，得（x-3）（500-10×）=800，
解得：x1=7，x2=5．
∵售价不能超过进价的200%，
∴x≤3×200%．
即x≤6．
∴x=5．
答：每个粽子的定价为5元时，每天的利润为800元．
【点睛】考查了一元二次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．
20．（2022秋·广东佛山·九年级佛山六中校考阶段练习）已知关于x的方程x2+ax+a﹣2＝0．
(1)若该方程的一个根为1，求a的值；
(2)若a的值为3时，请解这个方程．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）将x=1代入原方程可得出关于a的一元一次方程，解之即可得出a的值；
（2）把a=3代入原方程得到x2+3x+1=0，再利用公式法求解即可．
【详解】（1）将x=1代入原方程，得：1+a+a-2=0，
解得：a=．
（2）把a=3代入原方程得，x2+3x+1=0，
∴Δ=32-4×1×1=5，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解以及利用公式法解一元二次方程，都是基础知识，需熟练掌握．
五、解答题（每小题9分，共18分）
21．随着疫情防控全面放开，“复工复产”成为主旋律．中航无人机公司统计发现：公司今年2月份生产A型无人机2000架，4月份生产A型无人机达到12500架．
(1)求该公司生产型无人机每月产量的平均增长率；
(2)该公司还生产型无人机，已知生产1架A型无人机的成本200元，生产1架型无人机的成本是300元．若生产两种型号无人机共100架，预算投入生产的成本不高于22500元，问最多能生产型无人机多少架？
【答案】(1)150%
(2)25架
【分析】（1）设该公司生产A型无人机每月产量的平均增长率为，根据“2月份生产数量4月份生产数量”，列出方程求解即可；
（2）设型架，则A型架，根据“预算投入生产的成本不高于22500元”列出不等式求解即可．
【详解】（1）解：设该公司生产A型无人机每月产量的平均增长率为，
（不合题意，舍去）
该公司生产型无人机每月产量的平均增长率为150%．
（2）解：设型架，则A型架，
，
最多能生产型无人机25架．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，一元一次不等式的实际应用，解题的关键是正确理解题意，找出题中等量关系和不等关系，列出方程和不等式求解．
22．据农业农村部新闻部办公室2018年10月15日消息，江宁省发现疑似非洲猪瘟疫情，此次猪瘟疫情发病急，蔓延速度快.当政府和企业迅速进行了猪瘟疫情排查和处置，在疫情排查过程中，某农场第一天发现3头生猪发病，两天后发现共有192头生猪发病，
(1)求每头发病生猪平均每天传染多少头生猪
(2)若疫情得不到有效控制，3天后生猪发病头数会超过1500头吗
【答案】(1) 7头； (2) 会超过.
【分析】(1)设每头发病生猪平均每天传染x头生猪，两天后共有头生猪发病，列出方程求出符合题意的值即可；
(2) 若疫情得不到有效控制，3天后会有头生猪发病，把（1）中的x值代入即可求得.
【详解】(1) 设每头发病生猪平均每天传染x头生猪，由题意得:
解方程，得: x1=7， x2=-9 (不合题意，舍去)
(2) =1536(头) >1500 (头)
答:每头发病生猪平均每天传染7头生猪；若疫情得不到有效控制，3天后会超过1500头.
【点睛】本题主要考查一元二次方程的应用--增长率问题，明确增长率公式是关键．原有量a，平均增长率x，两次增长后的量是.
六、解答题（本大题共12分）
23．（2022秋·江苏连云港·九年级校考阶段练习）已知：如图所示，在中，，，，点P从点A开始沿边向点B以的速度移动，点Q从点B开始沿． 边向点C以的速度移动．当P、Q两点中有一点到达终点，则同时停止运动．
(1)如果P，Q分别从A，B同时出发，那么几秒后，的面积等于？
(2)如果P，Q分别从A，B同时出发，那么几秒后，的长度等于？
(3)如果P，Q分别从A，B同时出发，在运动过程中，是否存在这样的时刻，使以P为圆心，为半径的圆正好经过点Q？若存在，求出运动时间，若不存在，请说明理由．
【答案】(1)1秒后的面积等于；
(2)3秒后，的长度为；
(3)不存在，理由见解析
【分析】（1）经过x秒钟，的面积等于，根据点P从A点开始沿边向点B以的速度移动，点Q从B点开始沿边向点C以的速度移动，表示出和的长可列方程求解；
（2）利用勾股定理列出方程求解即可；
（3）设运动时间为秒，则， ，，再由勾股定理列方程求解即可．
【详解】（1）解：设经过x秒以后，面积为，此时， ， ，
由，得，
整理得：，
解得：或（舍）；
答：1秒后面积为；
（2）解：设经过x秒后，的长度等于，
由，
即，
解得：（舍去）或．
则3秒后，的长度为；
（3）解：设运动时间为秒，以P为圆心，为半径的圆正好经过点Q时，则
， ，，
由勾股定理，得，
整理，得，
∵，
∴方程无实数解，
∴不存在．
【点睛】此题主要考查了一元二次方程的应用以及勾股定理的应用，由勾股定理列方程求解是解决问题的关键．
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21章 一元二次方程章末复习
1.梳理本章的知识结构网络，回顾与复习本章知识；
2.能选择适当的方法，快速、准确地解一元二次方程，知道一元二次方程根的判别式和一元二次方程根与系数的关系，并能利用它们解决有关问题；
3.列一元二次方程解决实际问题；
4.进一步加深对方程思想、分类思想、转化思想（即降次）的理解与运用.
复习目标
考点1 一元二次方程的概念
1.定义：
只含有一个未知数的整式方程，并且都可以化为 ax2＋bx＋c=0(a，b，c为常数，a≠0)的形式，这样的方程叫做一元二次方程．
2.一般形式： ax2＋bx＋c=0 (a，b，c为常数，a≠0)
二次项系数
一次项系数
常数项
知识梳理
考点1 一元二次方程的概念
课堂检测
1.有下列关于x的方程：①ax2+bx+c=0,②3x(x-4)=0,③x2+y-3=0,
④ ,⑤x3-3x+8=0,⑥x2-5x+7=0,⑦(x-2)(x+5)=x2-1.其中是一元二次方程的有( )
A.2 B.3 C.4 D.5
2.要使方程是关于x的一元二次方程，则（ ）
A．a≠0 B．a≠3 C．a≠3且b≠-1 D．a≠3且b≠-1且c≠0
3.关于的一元二次方程的常数项为，则的值为（ ）
A．1 B．2 C．0，2 D．0
A
B
D
考点2 一元二次方程的根
1.根的判别式Δ=b2 4ac
①Δ>0,方程有两个不相等的实数根
②Δ=0,方程有两个相等的实数根
③Δ<0,方程无实数根
2.根与系数的关系
知识梳理
考点2 一元二次方程的根
课堂检测
1.若关于x的一元二次方程(m-1)x2+x+m2-1=0有一个根为0,则m= .
2.已知x=1是关于x的方程(1-k)x2+k2x-1=0的根,则k=______.
3.下表是小明探究关于x的一元二次方程x2+ax+b=0的根的情况,则该方程的两根之和为___.
-1
0或1
2
x -2 -1 0 1 2 3
x2+ax+b 5 0 -3 -4 -3 0
考点2 一元二次方程的根
课堂检测
解：将x=0代入方程m2-4=0，解得m=±2.
∵m+2≠0，∴m≠-2，
∴m=2.
4.若关于x的一元二次方程(m+2)x2+5x+m2-4=0有一个根为0,
求m的值.
考点2 一元二次方程的根
课堂检测
5.(1)已知方程ax2+bx+c=0(a≠0)一个根为1,求a+b+c的值.
(2)若a+b+c=0,求出方程ax2+bx+c=0(a≠0)的一个根吗
(3)若a-b+c=0,4a+2b+c=0,求出方程ax2+bx+c=0(a≠0)的一个根
解：(1)把x=1代入ax2+bx+c=0得：a+b+c=0
(2)由题意得：a+b+c=0,即a·12+b·1+c=0
∴方程ax2+bx+c=0 (a≠0)的一个根是1.
(3)x=-1或x=2
考点3 解一元二次方程
1.直接开平方法：
形如(mx+n)2=p(p≥0，m≠0)的方程
例1 4x2-100=0
解：4x2=100
x2=25
x1=5, x2=-5
知识梳理
一般形式的方程先配方为(mx+n)2=p(p≥0)的形式再求解
2.配方法：
考点3 解一元二次方程
例2 x2+6x-7=0
解：x2+6x=7
x2+6x+9=7+9
(x+3)2=16
(x+3)=±4
x1=1, x2=-7
知识梳理
考点3 解一元二次方程
3.公式法：
例3 2x2-2x-4=0
解：Δ=b2-4ac=(-2)2-4×2×(-4)=36
x1=-1, x2=2
知识梳理
考点3 解一元二次方程
4.因式分解法：
若方程可变形为 (x+m)(x+n)=0 (mn≠0)，则 x1=-m,x2=-n.
因式分解
1.提公因式法：ab+a=a(b+1)
2.公式法:①a2±2ab+b2=(a+b)2
②a2-b2=(a+b)(a-b)
3.十字相乘法:x2+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q)
知识梳理
考点3 解一元二次方程
(3)x2-2x+1=0 (4)4x2-64=0
解：(x+1)(x-4)=0
x1=-1,x2=4
解：x(x-3)=0
x1=0,x2=3
例4 (1)x2-3x=0 (2)x2-3x-4=0
解：(2x)2-82=0
(2x+8)(2x-8)=0
x1=-4,x2=4
解：(x-1)2=0
x1=x2=1
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考点3 解一元二次方程
1.用适当的方法解方程：
(1)x2 4x 1 = 0； (2)(2x 3)2 = (3 x)2
(3)2x ﹣x﹣1＝0； (4)(x﹣5) ＝5﹣x.
解：（1）
（2）x1=0,x2=2
（3）x1=-0.5,x2=1
（4）x1=5,x2=4
课堂检测
考点4 实际问题与一元二次方程—传播问题
例1 某种植物的主干长出若干数目的支干,每个支干又长出同样数目的小分支,主干,支干和小分支的总数是91,每个支干长出多少小分支
解:设每个支干长出x个小分支,可列方程得
1+x+x2=91
解得x1=9,x2=-10(不合题意,舍去)
答:每个支干长出9个小分支.
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考点4 实际问题与一元二次方程—传播问题
课堂检测
2020年3月，新冠肺炎疫情在中国已经得到有效控制，但在全球却开始持续蔓延，这是对人类的考验，将对全球造成巨大影响．新冠肺炎具有人传人的特性，若一人携带病毒，未进行有效隔离，经过两轮传染后共有256人患新冠肺炎，求每轮传染中平均每个人传染了几个人？
解：设每轮传染中平均每个人传染了x个人，
根据题意，得：（x+1）2=256，
解得x1=15，x2=-17，
经检验都是原方程的根，但x2=-17＜0不符合实际（舍去），
答：每轮传染中平均每个人传染了15个人．
考点4 实际问题与一元二次方程—增长(降低)率问题
例2 新冠肺炎疫情期间，某餐馆老板小王每日为一线抗疫医护人员免费提供3000份盒饭，各省医务人员纷纷驰援武汉之后，小王连续两次增加盒饭数量后，每日提供5880份盒饭.求平均每次增加的盒饭数量的百分率.
解：设平均每次增加的盒饭数量的百分率是x，
3000(1+x)2=5880
解得x1=-2.4(舍去)，x2=0.4=40%.
答：平均每次增加的盒饭数量的百分率是40%.
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考点4 实际问题与一元二次方程—增长(降低)率问题
课堂检测
1.截至2022年3月31日，电影《长津湖之水门桥》票房已突破37亿元．第一天票房约6亿元，三天后票房累计总收入达24亿元，如果第二天，第三天票房收入按相同的增长率增长，增长率设为x．则可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
D
2.某超市销售一种饮料，每瓶进价为6元．当每瓶售价为10元时，日均销售量为160瓶，经市场调查表明，每瓶售价每增加1元，日均销售量减少20瓶．若超市计划该饮料日均总利润为700元，且尽快减少库存，则每瓶该饮料售价为（ ）
A．11 B．12 C．13 D．14
A
3.菜农小王种植的某种蔬菜，计划以每千克10元的价格对外批发销售.由于部分菜农盲目扩大种植，造成该种蔬菜滞销.小王为了加快销售，减少损失，对价格经过两次下调后，以每千克8.1元的价格对外批发销售.求平均每次下调的百分率是多少？
解：设平均每次下调的百分率是x，根据题意得
10（1-x)2=8.1
解得 x1=1.9(舍去）,x2=0.1=10%.
答：平均每次下调的百分率是10%.
考点4 实际问题与一元二次方程—增长(降低)率问题
课堂检测
考点4 实际问题与一元二次方程—循环问题
例3 一个小组若干人，新年互送贺卡，若全组共送贺卡56张，则这个小组共多少人？
解：设这个小组共x人，根据题意可列方程
x(x-1)=56
解得 x1=8，x2=-7（舍去）
答：这个小组共8人.
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考点4 实际问题与一元二次方程—循环问题
课堂检测
1.参加足球联赛的每两队之间都进行了两次比赛(双循环比赛),共要比赛90场，共有多少个队参加了比赛？
解：设共有x个队参加了比赛.
依题意x(x-1)=90.
解得x1=10, x2=-9(舍去).
答：共有10个队参加了比赛.
2.某校初三各班进行篮球比赛（单循环制），每两班之间共比赛了6场，求初三有几个班？
解：初三有x个班，根据题意列方程，得
解得 x1=4， x2=-3（舍去）
答：初三有4个班.
考点4 实际问题与一元二次方程—循环问题
课堂检测
例4 某批发商以每件50元的价格购进800件T恤，第一个月以单价80元销售，售出了200件；第二个月如果单价不变，预计仍可售出200件，批发商为增加销售量，决定降价销售，根据市场调查，单价每降低1元，可多售出10件，但最低单价应高于购进的价格；第二个月结束后，批发商将对剩余的T恤一次性清仓销售，清仓是单价为40元，设第二个月单价降低元．
（1）填表：（不需化简）
（2）如果批发商希望通过销售这批T恤获利9000元，那么第二个月的单价应是多少元？
考点4 实际问题与一元二次方程—销售利润问题
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解：(1)
(2)根据题意得，
80+200+(80-x)(200+10x)+40[800-200-(200+10x)]-50×800=9000，
整理得，x -20x+100=0,
解得，x1=x2=10.
当，x=10时，80-x=70＞50，
答：第二月的单价应是70元.
80-x
800-200-(200+10x)
200+10x
知识梳理
某机械公司经销一种零件，已知这种零件的成本为每件20元，调查发现当销售价为24元，平均每天能售出32件，而当销售价每上涨2元，平均每天就少售出4件.
（1）若公司每天的销售价为x元，则每天的销售量为多少？
（2）如果物价部门规定这种零件的销售价不得高于每件28元，该公司想要每天获得150元的销售利润，销售价应当为多少元？
分析：本题为销售中的利润问题，其基本本数量关系用表析分如下：设公司每天的销售价为x元.
单件利润 销售量（件） 每星期利润（元）
正常销售
涨价销售
4
32
x-20
32-2(x-24)
150
其等量关系是：总利润=单件利润×销售量.
128
考点4 实际问题与一元二次方程—销售利润问题
课堂检测
某机械公司经销一种零件，已知这种零件的成本为每件20元，调查发现当销售价为24元，平均每天能售出32件，而当销售价每上涨2元，平均每天就少售出4件.
（1）若公司每天的销售价为x元，则每天的销售量为多少？
（2）如果物价部门规定这种零件的销售价不得高于每件28元，该公司想要每天获得150元的销售利润，销售价应当为多少元？
解：（1）32-(x-24) ×2=80-2x;
（2）由题意可得(x-20)(80-2x)=150.
解得 x1=25, x2=35.
由题意x≤28, ∴x=25,
答：售价应当为25元.
考点4 实际问题与一元二次方程—销售利润问题
课堂检测
考点4 实际问题与一元二次方程—几何问题
知识梳理
例5 如图，在长为50m，宽为38m的矩形地面内的四周修筑同样宽的道路，余下的铺上草坪．要使草坪的面积为1260m2，道路的宽应为多少？
解：设道路的宽应为x米，由题意得
(50-2x)×(38-2x)=1260
解得：x1=4，x2=40(不符合题意，舍去)
答：道路的宽应为4米．
考点4 实际问题与一元二次方程—几何问题
课堂检测
1.如图，矩形ABCD是景区内一块油菜花地，AB=6m，BC=8m，点E、F、G、H分别在矩形的四条边上，且AE=FC=CG=HA，现在其中修建一条观花道（阴影所示）供游人赏花．若观花道的面积为13m2，求AE的长．
解：设AE=xm，则BE=DG=(6-x)m，BF=DH=(8-x)m，
根据题意，得6×8-2×0.5(6-x)(8-x)=13，
整理得：x2-14x+13=0，
解得：x1=1，x2=13．
∵6-x＞0，∴x＜6，∴x=1．
答：AE的长为1m．
实际问题的答案
方程
降次
实际问题
一元二次方程
解方程
配方法
公式法
因式分解法
设未知数，列方程
检验
课堂小结
谢谢
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第21章《一元二次方程》
考试时间:120分钟 满分：120分
一、单选题（每小题3分，共18分）
1．（2022秋·四川攀枝花·九年级校联考期末）已知x＝1是关于x的一元二次方程x2+kx+4＝0的一个根，则k的值为（ ）
A．5 B．﹣5 C．3 D．﹣3
2．（2023·宁夏银川·校考二模）关于x的方程kx2+（2k﹣1）x+k﹣3＝0有实数根，则k的取值范围是（ ）
A．k≥﹣ B．k≥﹣且k≠0 C．k＞﹣ D．k＞﹣且k≠0
3．（2022秋·湖南永州·九年级校考阶段练习）一元二次方程x2-9x=0的解是（ ）
A．x=0 B．x=9 C．x1=-3，x2=3 D．x1=0，x2=9
4．（2022秋·山东济宁·九年级校考阶段练习）关于x的方程ax2+bx+c=3的解与（x﹣1）（x﹣4）=0的解相同，则a+b+c的值为（ ）
A．2 B．3 C．1 D．4
5．下列说法错误的是（ ）
A．成语“水中捞月”表示的事件是不可能事件
B．一元二次方程有两个相等的实数根
C．任意多边形的外角和等于
D．三角形三条中线的交点叫作三角形的重心
6．（2020秋·河南南阳·九年级统考期末）若是关于x的一元二次方程的一个根，则m的值为（ ）
A．1或4 B．-1或-4 C．-1或4 D．1或-4
二、填空题（每小题3分，共18分）
7．已知关于x的一元二次方程x2+（2k+1）x+k2+2k＝0有两个实数根x1，x2，且x1+x2≤0，则k的取值范围是_____．
8．（2021秋·江苏宿迁·九年级统考期中）已知等腰的两边是关于x的方程的两根，第三边的长是4，则______．
9．设m，n是一元二次方程x2＋2x－7＝0的两个根，则m2＋3m＋n＝_______．
10．（2020·广东·统考一模）为抑制高房价，照顾低收入家庭，国家决定加大经济保障房建设力度，若某市2017年完成了500万套，计划2019年完成2000万套．则2017年至2019年经济保障房平均每年的增长率为_____．
11．（2022秋·上海·九年级上外附中校考阶段练习）已知实数a，b，c满足，则___________．
12．如图，在长方形ABCD中，AB＝6cm，BC＝10cm，若此长方形以2cm/s的速度沿着A→D方向移动，经过________秒平移后的长方形与原来长方形重叠部分的面积为24cm2．
三、解答题（每小题6分，共30分）
13．（2022秋·甘肃武威·九年级校考期末）解方程：
(1)
(2)
14．（2021秋·山东济南·九年级济南市章丘区第四中学校考阶段练习）用适当的方法解下列方程
（1）x2+6x-7=0；
（2）2x2+4x-3=0．
15．已知，求代数式的值．
16．（2022秋·福建泉州·九年级统考期末）如图，某学校打算把一块长、宽的长方形空地修建成一个学校校史馆，面向全体师生校友和社会大众，展示学校建校的发展历程，若三面修成宽度相等的花砖路，中间空地的面积是，请计算花砖路面的宽度．
17．（2023秋·甘肃庆阳·九年级统考期末）已知关于x的一元二次方程．
(1)求证：该方程总有两个不相等的实数根．
(2)当时，求此时方程的根．
四、解答题（每小题8分，共24分）
18．（2020·北京·北京育英中学校考三模）已知关于x的一元二次方程．
（1）当时，求此方程的根；
（2）若此方程有两个不相等的实数根，求k的取值范围．
19．为满足市场需求，某超市在端午节前夕购进价格为3元/个的某品牌粽子，根据市场预测，该品牌粽子每个售价4元时，每天能出售500个，并且售价每上涨0.1元，其销售量将减少10个．
(1)若每个粽子售价4.5元，则每天的销量是______个；
(2)为了维护消费者利益，物价部门规定，该品牌粽子售价不能超过进价的200%，请你利用所学知识帮助超市给该品牌粽子定价，使超市每天的销售利润为800元．
20．（2022秋·广东佛山·九年级佛山六中校考阶段练习）已知关于x的方程x2+ax+a﹣2＝0．
(1)若该方程的一个根为1，求a的值；
(2)若a的值为3时，请解这个方程．
五、解答题（每小题9分，共18分）
21．随着疫情防控全面放开，“复工复产”成为主旋律．中航无人机公司统计发现：公司今年2月份生产A型无人机2000架，4月份生产A型无人机达到12500架．
(1)求该公司生产型无人机每月产量的平均增长率；
(2)该公司还生产型无人机，已知生产1架A型无人机的成本200元，生产1架型无人机的成本是300元．若生产两种型号无人机共100架，预算投入生产的成本不高于22500元，问最多能生产型无人机多少架？
22．据农业农村部新闻部办公室2018年10月15日消息，江宁省发现疑似非洲猪瘟疫情，此次猪瘟疫情发病急，蔓延速度快.当政府和企业迅速进行了猪瘟疫情排查和处置，在疫情排查过程中，某农场第一天发现3头生猪发病，两天后发现共有192头生猪发病，
(1)求每头发病生猪平均每天传染多少头生猪
(2)若疫情得不到有效控制，3天后生猪发病头数会超过1500头吗
六、解答题（本大题共12分）
23．（2022秋·江苏连云港·九年级校考阶段练习）已知：如图所示，在中，，，，点P从点A开始沿边向点B以的速度移动，点Q从点B开始沿． 边向点C以的速度移动．当P、Q两点中有一点到达终点，则同时停止运动．
(1)如果P，Q分别从A，B同时出发，那么几秒后，的面积等于？
(2)如果P，Q分别从A，B同时出发，那么几秒后，的长度等于？
(3)如果P，Q分别从A，B同时出发，在运动过程中，是否存在这样的时刻，使以P为圆心，为半径的圆正好经过点Q？若存在，求出运动时间，若不存在，请说明理由．
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