河北省唐县第二中学2022-2023学年高二下学期第一次月考数学试卷（含答案）

河北省唐县第二中学2022-2023学年高二下学期第一次月考数学试卷
学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题
1、已知集合，，现在从这三个集合中取出两个集合，再从这两个集合中各取出一个元素，组成一个含有两个元素的集合，则一共可以组成多少个集合( )
A.24个 B.36个 C.26个 D.27个
2、已知数列满足，且，则( )
A. B. C. D.
3、已知a为实数，函数的导函数为，且是偶函数，则曲线在点处的切线方程为( )
A. B.
C. D.
4、已知数列的前n项和为，且，，则的值为( )
A. B. C. D.
5、我国古代数学典籍《九章算术》第七章“盈不足”章中有一道“两鼠穿墙”问题：有厚墙5尺，两只老鼠从墙的两边相对分别打洞穿墙，大老鼠第一天进一尺，以后每天加倍；小老鼠第一天也进一尺，以后每天减半。问两鼠在第几天相遇？( )
A. 第2天 B.第3天 C.第4天 D.第5天
6、如图，在由开关组A与B组成的电路中，闭合开关使灯发光的方法有种( )
A.6 B.5 C.18 D.21
7、设是定义在R上的函数，其导函数为，满足，若，，，则( )
A. B. C. D.
8、已知a为实数，函数的导函数为，且是偶函数，则曲线在点处的切线方程为( )
A. B.
C. D.
二、多项选择题
9、已知函数，则( )
A.有两个极值点 B.有2个零点
C.不存在最小值 D.不等式对恒成立
10、已知等差数列满足，前3项和，则( )
A.数列的通项公式为
B.数列的公差为
C.数列的前n项和为
D.数列的前20项和为
11、有4位同学报名参加三个不同的社团，则下列说法正确的是( )
A.每位同学限报其中一个社团，则不同的报名方法共有种
B.每位同学限报其中一个社团，则不同的报名方法共有种
C.每个社团限报一个人，则不同的报名方法共有24种
D.每个社团限报一个人，则不同的报名方法共有种
12、已知定义在区间上的函数，是的导函数，若存在，使得.则称为函数在上的“中值点”.下列函数，其中在区间上至少有两个“中值点”的函数为( )
A. B.
C. D.
三、填空题
13、观察下面的数阵，第20行最左边的数是_____________.
14、已知函数的图象在点处的切线斜率为-5，则______.
15、已知直线方程，若从0，1，2，3，5，7这六个数中每次取两个不同的数作为A，B的值，则可表示____________条不同的直线.
16、已知函数及其导函数的定义域均为R，为奇函数，且.则不等式的解集为_______________.
四、解答题
17、已知等比数列的公比为2，且，，成等差数列.
（1）求的通项公式.
（2）设的前n项和为，且，求n的值.
18、已知函数.
（1）求曲线在点处的切线方程；
（2）求函数在区间上的最大值和最小值.
19、问题：设公差不为零的等差数列的前n项和为，且，____________.
下列三个条件：①，，成等比数列；②；③.从上述三个条件中，任选一个补充在上面的问题中，并解答.
（1）求数列的通项公式；
（2）若，数列的前n项和为，求证：.
20、已知函数.
(1)若函数存在两个极值点，求a的取值范围；
(2)若在恒成立，求a的最小值
21、已知数列是首项为的等差数列，数列满足，且，.
(1)证明是等比数列
(2)，求数列的前n项和.
22、已知函数在点处的切线方程为.
(1)求函数的解析式；
(2)求函数在区间上的最大值与最小值；
(3)方程有三个不同的实根，求实数的取值范围.
参考答案
1、答案：C
解析：从三个集合中取出两个集合,有种取 法,
分别是集合A、B;集合A、C; 集合B、C.
当取出集合A、B时，从这两个集合中各取出一 个元素,组成一个含有两个元素的集合有个;
当取出集合A、C时, 从这两个集合中各取出一个元素,组成一个含有两个元素的集合有个;
当取出集合B、C时, 从这两个集合中各取出一个元素,组成一个含有两个元素的集合有个;
集合A、B、C的元素各不相同，一共可以组成个集合
故选C.
2、答案：D
解析：数列满足,且,
所以，,
所以，,，,
累积可得:
可得:.
故答案为:.
3、答案：A
解析：$
是偶函数,
，
解得,
，，则，
即切点为,切线的斜率为9,
切线方程为,即.
故选:A.
4、答案：D
解析：
5、答案：B
解析：第一天：大老鼠1+小老鼠1=2；
第二天：大老鼠2+小老鼠1.5=3.5
第三天：大老鼠4+小老鼠1.75=5.75相遇
6、答案：D
解析：若闭合开关使灯泡发光，则A，B中各至少有一个开关闭合.分两步：第一步，A中至少有一个开关闭合，有种方式；第二步，B中至少有一个开关闭合，有种方式.故共有种方式.
7、答案：A
解析：
8、答案：A
解析：依题意，，由导函数为偶函数，得，故，，所以，，故曲线在点处的切线方程为，即.故选A.
9、答案：ABD
解析：
10、答案：BCD
解析：设等差数列的公差为d,
由题知,,解得,
则,,故A 错,BC正确;
记的前n项和为,因为,
所以
所以,故D正确.
故选: BCD
11、答案：AC
解析：对于A选项, 第1个同学有 3 种报法,第2个同学 有3种报法, 后面的2个同学也有 3 种报法,根据分步计数原理共有种结果,A正确,B错 误；对于C选项，每个社团限报一个人，则第1 个社团有 4 种选择, 第 2 个社团有3种选择, 第3个社团有2种选择, 根据分步计数原理共有故选:AC.
12、答案：AD
解析：
13、答案：362
解析：第n行最右边的数是，
第19行的最右边的数为
又该数阵将正整数按从左向右，从上向下的顺序连续排列
第20行最左边的数比第19行最右边的数大1，由此可得这个数是
故答案为:362
14、答案：3
解析：由已知得,因为,所以.
15、答案：22
解析：当时，可表示1条直线；当时，可表示1条直线；当时，A有5种选法，B有4种选法，可表示条不同的直线.由分类加法计数原理，知共可表示条不同的直线.
16、答案：
解析：
17、答案：(1)
(2)5
解析：（1）由题意知是公比为2的等比数列，
故，，.
依题意，得，即，
整理得，解得.
故数列的通项公式为.
（2）根据（1）可知··
故，整理得，解得.
故n的值是5.
18、答案：(1)
(2)，
解析：（1）因为，
所以，
又，，
所以曲线在点处的切线方程为.
（2）当，，，
所以在区间上递增，
又，
故当，，
所以在上单减，
又当，，
所以在上单增.
所以，.
19、答案：(1)
(2)见解析
解析：（1）设等差数列的公差为.
选条件①：，，，成等比数列，
解得
故数列的通项公式为.
选条件②：，，
解得
故数列的通项公式为.
选条件③：，，
解得
故数列的通项公式为.
（2）证明：，
.
20、答案：(1)
(2) -1
解析：（1）存在两个极值点，
有两个不同的零点，
，解得或，即a的取值范围为；
（2）在上恒成立，即在上恒成立，.
令，
则，
令，
则，
在上单调递减，
又，
当时，，即，在上单调递增；
当时，，即，在上单调递减；
当时，取得极大值，
，即a的最小值为-1.
21、答案：(1)见解析
(2)
解析：（1）证明：因为，所以，
所以，又，
所以数列是首项为，公比为的等比数列.
（2）由知，所以，，
设等差数列的公差为d，，所以，
所以，
，
令，
，
两式相减，得 ，
所以，
.
22、答案：(1)
(2)当时，取得最大值19，
当时，取得最小值是-1
(3)
解析：（1）
函数在点处的切线的斜率
由题意可知，得
函数的解析式为
（2）由（1）知，
令，解得
令，解得
令，解得
列表：
x -1 0 2
0 0 0
1 19
从上表可知，，在区间上，
当时，取得最大值19，
当时，取得最小值是-1.
（3）方程有三个不同的实数根，即的图像与直线有三个交点.
由（2）分析可得，函数在单调递增，在单调递减，在单调递增，而，，所以