四川省宜宾市第一中学校2022-2023学年高二下学期期末考试数学（理）试卷（含答案）

四川省宜宾市第一中学校2022-2023学年高二下学期期末考试数学（理）试卷
学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题
1、已知复数，则z的共轭复数( )
A. B. C. D.
2、某学校高二级选择“史政地”“史政生”和“史地生”组合的同学人数分别为240，120和60.现采用分层抽样的方法选出14位同学进行一项调查研究，则“史政生”组合中选出的人数为( )
A.8 B.6 C.4 D.3
3、已知命题p：，为真命题，则实数a的值不能是( )
A.1 B.2 C.3 D.
4、已知两个随机变量X，Y满足，且，则，依次( )
A.，2 B.，1 C.，1 D.，2
5、已知，是平面上的非零向量，则“存在实数，使得”是“”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
6、若曲线C的方程为：，则该曲线( )
A.曲线C关于y轴对称 B.曲线C的顶点坐标为
C.曲线C位于直线的左侧 D.曲线过坐标原点
7、已知双曲线的离心率e是它的一条渐近线斜率的2倍，则e=( )
A. B. C. D.2
8、6名志愿者要到A，B，C三个社区进行志愿服务，每个志愿者只去一个社区，每个社区至少安排1名志愿者，若要2名志愿者去A社区，则不同的安排方法共有( )
A.105种 B.144种 C.150种 D.210种
9、已知抛物线的准线为l，且点在抛物线上，则点A到准线l的距离为( )
A.5 B.4 C.3 D.2
10、将边长为1的正方形（及其内部）绕旋转一周形成圆柱，如图，长为，长为，其中与在平面的同侧，则直线与平面所成的角的正弦值为( )
A. B. C. D.
11、设，为椭圆C：的两个焦点，点P在C上，若，则( )
A.1 B.2 C.4 D.5
12、函数在内存在零点，则实数a的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、填空题
13、已知样本5，6，7，a，b平均数为7，方差为2，则_________.
14、曲线在点处的切线方程为______.
15、已知的展开式中前三项的二项式系数的和等于37，则展开式中二项式系数最大的项的系数为____.
16、已知函数是在R上连续的奇函数，其导函数为.当时，，且，则函数的零点个数为______.
三、解答题
17、已知函数
（1）求函数的单调区间；
（2）若函数的图像在点处的切线斜率为，设，若函数在区间内单调递增，求实数m的取值范围.
18、在测试中，客观题难度的计算公式为，其中为第i题的难度，为答对该题的人数，N为参加测试的总人数现对某校高三年级240名学生进行一次测试，共5道客观题测试前根据对学生的了解，预估了每道题的难度，如表所示：
题号 1 2 3 4 5
考前预估难度 0.9 0.8 0.7 0.6 0.4
测试后，随机抽取了20名学生的答题数据进行统计，结果如下：
题号 1 2 3 4 5
实测答对人数 16 16 14 14 14
（1）根据题中数据，估计这240名学生中第5题的实测答对人数；
（2）从抽样的20名学生中随机抽取2名学生，记这2名学生中第5题答对的人数为X，求X的分布列和数学期望；
（3）试题的预估难度和实测难度之间会有偏差设为第i题的实测难度，请用和设计一个统计量，并制定一个标准来判断本次测试对难度的预估是否合理.
19、图1是由正方形ABCD，，组成的一个等腰梯形，其中，将、分别沿AB，CD折起使得E与F重合，如图2.
（1）设平面平面，证明：；
（2）若二面角的余弦值为，求AE长.
20、已知抛物线的焦点为F，M为T上一动点，N为圆上一动点，的最小值为.
（1）求T的方程；
（2）直线l交T于A，B两点，交x轴的正半轴于点C，点D与C关于原点O对称，且，求证为定值.
21、已知函数，且对恒成立.
（1）求a值；
（2）若关于x的方程有两个实根，求实数m的取值范围.
22、在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为(为参数)，以坐标原点O为极点，x轴非负半轴为极轴建立极坐标系，点A为曲线上的动点，点B在线段OA的延长线上且满足，点B的轨迹为.
（1）求曲线，的极坐标方程；
（2）设点M的极坐标为，求面积的最小值.
23、已知函数.
（1）求解不等式
（2）若关于x的不等式的解集不是空集，求实数a的取值范围
参考答案
1、答案：C
解析：，
复数，
的共轨复数.
故选：C.
2、答案：C
解析：根据题意，分层抽样的抽样比为，
故从“史政生”组合120中，抽取的人数时人.
故选：C.
3、答案：D
解析：因为命题p：，为真命题，
所以解得，
结合选项可得实数a的值不能是，
故选：D.
4、答案：C
解析：由题意，得，，
因为，所以，
所以，，
故选C.
5、答案：B
解析：因为，分别表示与，方向相同的单位向量，所以由可知，，方向相同；
“存在实数，使得”即，共线，包含，方向相同或方向相反两种情况.
所以，“存在实数，使得”不能推出是“”；
“”可以推出“存在实数，使得”，
所以“存在实数，使得”是“”的必要不充分条件.
故选：B.
6、答案：C
解析：因，
则，-x代入不等于x代入，所以不关于y轴对称，故A错；
又，得，C正确；
将代入不成立，故D错误；
又，
若，
，
则y在上单调递减，
当时，，则，
若，
，
则y在上单调递增，
又时，，
故此时，
因此y的顶点只有一个，且为，B错.
故选：C
7、答案：C
解析：由题意可知，，即，
则，解得：，
所以双曲线的离心率.
故选：C
8、答案：D
解析：先选出2名志愿者安排到A社区，有种方法，
再把剩下的4名志愿者分成两组，有两种分法，一种是平均分为两组，有种分法，
另一种是1组1人，另一组3人，有种分法，再分配到其他两个社区，
则不同的安排方法共有种.
故选：D
9、答案：A
解析：由题意知，，
所以，
所以抛物线方程为，则抛物线的准线l为，
所以点A到抛物线准线的距离为.
故选：A.
10、答案：C
解析：
以O为坐标原点，OA为x轴，在底面内过点O作OA的垂线作为y轴，以为z轴建立空间直角坐标，系，
则，，
则，
又点到平面AOC的距离为1，
作母线，连接BC，则是直角三角形，
则为直线与平面AOC所成的角，
故直线与平面AOC所成的角的正弦值为：，
故选：C.
11、答案：B
解析：解法一：因为，所以，则，得，所以，故选B.
解法二：因为，所以，所以.因为，所以，即，所以，故选B.
12、答案：D
解析：法一：特殊值检验
①令，则，此时，符合题意，排除A.
②令，则，设，
则，
因为恒成立，所以，，，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以，从而，无零点，排除C.
当时，，则，，，，
所以在上单调递增，在上单调递减，所以.
故在内存在2个零点，设这2个零点分别为，，则，
不妨设，当或时，；当时，.
因为，所的根为1，，且，
，，，，，，，
所以上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，
因为，
同理可得，所以此时在内存在2个零点.
综上所述，，
故选：D.
法二：设，则与的零点相同，
，
设，则，可以得到在上单调递增，在上单调递减，
所以.
①当时，，所以时，，时，，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以，令，，
在递增，所以，所以无零点.
②当时，，因为，所以在内存在零点，符合题意.
③当时，在内存在2个零点，设这2个零点分别为，，则，不妨设，可以得出，当或时，；当时，.
因为，所以的根为1，，且，
，，，，，，，
所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，
因为，
同理可得，所以此时在内存在2个零点.
综上所述，，
故选：D.
13、答案：72
解析：因为样本5，6，7，a，b的平均数为7，
所以，，
由方差定义可得，
即，
即，
将代入，得.
故答案：72
14、答案：
解析：求导，将代入得斜率为2，
直线为.
故答案为：
15、答案：
解析：由=37，得，
解得n=8(负值舍去)，
则第5项的二项式系数最大，
，该项的系数为.
故答案为：.
16、答案：1
解析：，
则函数的零点就是方程的根.
设，
由题意得，
因为的定义域为R，所以为R上连续的奇函数.
易得，
由题知，当x＞0时，，则，
即函数为上的增函数，
又因为为R上连续的奇函数，所以为R上的增函数.
由，得，则方程只有一个根，
故函数只有1个零点.
故答案为：1.
17、答案：（1）答案见解析
（2）
解析：（1）
当时，的单调增区间为，减区间为；
当时，的单调增区间为，减区间为；
当时，不是单调函数.
（2），，解得，
又
要在区间上单调递增，只需在上恒成立，
即在上恒成立，即，又在上
.
18、答案：（1）48
（2）
（3）合理
解析：（1）因为20人中答对第5题的人数为4人，因此第5题的实测难度为，
所以估计240人中有人实测答对第5题.
（2）X的可能取值是0，1，2，
；；.
X的分布列为：
X 0 1 2
P
.
（3）将抽样的20名学生中第i题的实测难度，作为240名学生第i题的实测难度.
定义统计量，
其中为第i题的预估难度.
并规定：若，则称本次测试的难度预估合理，否则为不合理.
.
因为，
所以该次测试的难度预估是合理的.
19、答案：（1）证明见解析；
（2）.
解析：（1）因为，平面ABE，平面ABE，
所以平面ABE，
又平面ECD，平面平面，所以.
（2）因为，，所以，
又，，平面ADE，平面ADE，
所以平面，
因为平面ABCD，所以平面平面AED，
过E作于点O，则O是AD的中点，
因为平面平面，平面ADE，
所以平面ABCD，
以O为原点，与AB平行的直线为x轴，OD所在直线为y轴，OE所在直线为z轴，
建立空间直角坐标系，
设，则，，，，，，
，，
设平面ABE的法向量为，
则，即，取，，则，
所以平面ABE的一个法向量，
，，
设平面BDE的法向量为，
则，即，取，则，，
同理可求得平面BDE的一个法向量为，
所以，解得或，
当时，，
可判断二面角的平面角为锐角且向量夹角与二面角相等，故舍去，
所以，此时，，
所以.
20、答案：（1）
（2）证明见解析
解析：（1）由题得，，当点M，N，F，E四点共线且点M，N在E，F中间时，取得最小值，
最小值为，又，
解得，
所以T的方程为.
（2）当直线l的斜率为0时，显然不适合题意；
当直线l的斜率不为0时，设直线l的方程为，，，
联立得，
则，，所以，又，
所以，所以，
解得或（舍去），
即，所以，
所以，
又，
所以为定值.
21、答案：（1）；（2）.
解析：（1）因为，且，
故是函数的极值点，
因为，
所以，
故，
又因当时，，且，
故在上增函数，在上减函数，
故，
故；
（2）因为，则，
设，则，
故在上增函数，在上减函数，
所以，，
因为，
所以，
设，则，
因为，所以，
故函数在上减函数，在上增函数，
所以，
又当x无限增大或无限接近0时，都趋近于0，
故，
所以实数m的取值范围是.
22、答案：（1）：，：；（2）2.
解析：（1）由曲线的参数方程为(为参数)，
消去参数，可得普通方程为，即，
又由，，代入可得曲线的极坐标方程为，
设点B的极坐标为，点A点的极坐标为，
则，，，，
因为，所以，即，即，
所以曲线的极坐标方程为.
（2）由题意，可得，
则，
即，
当，可得的最小值为2.
23、答案：（1）
（2）
解析：（1）因为，所以，
因为，所以当时，则，解得；
当时，则，解得；
当时，则，解得，综上可得原不等式的解集为；
（2）因为函数图象如下所示：
由函数图象可得，若解集不为空集，只需满足即可，故a的取值范围为.