1.3探索三角形全等的条件（第2课时） 课件（27张PPT）

第1章 · 全等三角形
1.3 探索三角形全等的条件
第2课时　边角边的应用
学习目标
熟练运用“边角边”判定两个三角形全等，提高有条理地思考和说理能力.
问题情境
学了上节课内容以后，王老师给同学们布置了一个任务：请你设计一个方案，测量出饮料瓶内直径的长度，并说明你方案的可行性.
小明给出如下方案：
找两根长度相等的木棒，在中点处固定，按如图方法放置处于同一水平位置，测量出AC的长度即为塑料瓶内直径的长度．
D
B
A
C
E
你认为小明给出的方案合理吗？说出你的理由.
问题情境
学了上节课内容以后，王老师给同学们布置了一个任务：请你设计一个方案，测量出饮料瓶内直径的长度，并说明你方案的可行性.
我认为小明给出的方案合理. 理由如下：
∵E是AB、CD的中点(已知)，
∴AE＝BE，CE＝DE (线段中点的定义).
在△AEC和△BED中，
????????＝????????(已证)，∠????????????＝∠????????????(对顶角相等),?????????＝????????(已证).
∴ △AEC≌ △BED(SAS)．
∴AC=DB(全等三角形对应边相等).
∴测量AC的长度即为饮料瓶内直径的长度.
?
D
B
A
C
E
问题情境
学了上节课内容以后，王老师给同学们布置了一个任务：请你设计一个方案，测量出饮料瓶内直径的长度，并说明你方案的可行性.
（1）本图中包含哪一种图形变换？
（2）你能证明图中AB∥CD吗？
（3）两根木棒的长度不等，点E仍为AB、CD的中点.结论相同吗？
D
B
A
C
E
A
E
C
D
B
新知探索
A
E
C
D
B
F
例 已知：如图，点E、F在CD上，且CE ＝DF，AE ＝BF.
①添加什么条件可以使△AEC ≌△BFD ．
∠AEC=∠BFD
AE ∥BF
②若△AEC ≌△BFD ，能否说明AC∥BD， AE ∥BF？
新知探索
例 已知：如图，点E、F在CD上，且CE ＝DF，AE ＝BF.
A
E
C
D
B
F
△AEC ≌△BFD
△ADE ≌△BCF
△ADC ≌△BCD
③连接AD、BC，你发现还有哪些三角形全等？你能说明理由吗？
新知探索
A
E
C
D
B
F
变式1 点C、E、F、D在同一条直线上，∠AEC=∠BFD、DE=CF、AE=BF,写出AC与DB之间的数量关系与位置关系，并证明你的结论.
证明:∵CF=DE，
∴ CF-EF=DE-EF，
即CE=DF.
在△AEC和△BFD中,
????????＝????????，∠????????????＝∠????????????,?????????＝?????????.
∴△AEC≌△BFD(SAS).
∴ AC=DB ，∠C=∠D.
∴ AC=DB ， AC∥DB
?
新知探索
变式2 如图，C是AE的中点，AB//CD，且AB=CD.求证： BC//DE ．
AC=CE （已证），
证明:∵点????是线段????????的中点（已知），
∴AC=CE （中点定义）.
∵ AB//CD （已知），
∴ ∠A=∠DCE （两直线平行，同位角相等）.
在△ABC和△CDE中，
∴△ABC≌△CDE（SAS）.
AB=CD（已知），
∠A=∠DCE （已证），
D
E
C
B
A
∴ ∠ACB=∠CED（全等三角形的对应角相等），
∴BC∥DE(同位角相等，两直线平行).
新知探索
变式3 如图，点A、D、C、B在同一条直线上，AD=CB，AE=BF，AE∥BF.请探索CE与DF有怎样的位置关系？
AC=BD （已证），
证明:∵AE∥BF，
∴∠A=∠B（两直线平行，内错角相等）.
∴ ∠ACE=∠BDF（全等三角形的对应角相等），
∴CE∥DF(内错角相等，两直线平行).
又∵ AD=CB，∴ AD+DC=CB+DC,即AC=BD.
在△AEC和△DFB中，
∴△AEC≌△DFB（SAS），
AE=BF（已知），
∠A=∠B （已证），
A
E
C
D
B
F
新知归纳
①准备条件：证全等时要用的间接条件要先证好；
②指明范围：写出在哪两个三角形中；
③摆齐根据：摆出三个条件用大括号括起来；
④写出结论：写出全等结论.
证明的书写步骤：
新知巩固
D
C
B
A
1.如图，△ABC中， AB =AC，AD平分∠BAC .
（1）求证：△ABD ≌ △ACD．
（2）求证：AD⊥BC
证明:（1）∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD=∠CAD.
在△ABD和△ACD中,
????????＝????????，∠????????????＝∠?????????????,?????????＝?????????.
∴△ABD≌△ACD(SAS).
?
本图中包含哪一种图形变换？
新知巩固
D
C
B
A
1.如图，△ABC中， AB =AC，AD平分∠BAC .
（1）求证：△ABD ≌ △ACD．
（2）求证：AD⊥BC
证明:（2）∵△ABD≌△ACD，∴∠ADB=∠ADC.
∵∠ADB+∠ADC=180°
∴∠ADB=∠ADC=90°
∴AD⊥BC
新知巩固
2. 如图，已知AB∥CD，AB＝CD，求证： AB∥CD ，AD＝BC．
D
A
C
B
2
1
本图中包含哪一种图形变换？
证明：∵AB∥CD （已知），
∴∠1＝∠2 （两直线平行，内错角相等）.
在△ABD和△CDB中，
????????＝????????（已知），∠????＝∠????（已证），?????????＝????????（公共边）.?
∴△ABD≌△CDB(SAS)，
∴ AD＝BC ,∠ADB＝∠CBD （全等三角形对应边、对应角相等）.
∴ AB∥CD ，AD＝BC（内错角相等、两直线平行）.
?
课堂小结
边角边
内容
应用
书写步骤
注意点
当堂检测
1.下列条件中，能作出唯一三角形的是(　　 )
A．已知三个角
B．已知两边和其中一边的对角
C．已知三角形的周长
D．已知两边和它们的夹角
D
当堂检测
2.如图，OA=OB，OC=OD. 若∠D=35°,则∠C等于(　　)
A.60° B.50° C.35° D.条件不够，无法求出
C
O
A
B
C
D
当堂检测
3.如图，OA＝OC，OB＝OD，OA⊥OB，OC⊥OD，有下列结论：
①△AOD≌△COB；②CD＝AB；③∠CDA＝∠ABC．
其中正确的是( )
A．①② B．①②③ C．①③ D．②③
∟
∟
A
B
C
D
O
C
当堂检测
4．如图，AB＝AD，∠BAD＝∠CAE ，如果增加一个条件_________，那么就可以根据“SAS”证明△ABC≌△ADE.
A
E
D
C
B
AC＝AE
1
当堂检测
5.如图，AD=AE，∠1=∠2，BD=CE，则△ABE≌_________,判定依据是__________.
A
C
D
B
E
2
△ACD
SAS
6．如图，AB＝CD，要判定△ABC≌△CDA，还需要的一个条件是___________________．
A
D
B
C
当堂检测
∠BAC＝∠DCA
当堂检测
7. 如图，线段AD，CE相交于点B，BC＝BD，AB＝EB，
求证：△ACD≌△EDC．
证明：∵BC＝BD，
∴∠ADC＝∠ECD.
∵AB＝EB，
∴BC＋EB＝BD＋AB，即CE＝DA.
在△ACD和△EDC中，
????????＝?????????,?∠????????????＝∠????????????，?????????＝????????.?
∴△ACD≌△EDC(SAS)．
?
C
D
A
B
E
当堂检测
8.如图，点E、F在BC上，BE=CF，AB=DC，∠B=∠C.
求证：AF=DE.
证明:∵BE=CF,
∴BE+EF=CF+EF,即BF=CE.
在△ABF和△DCE中,
????????＝?????????,?∠????＝∠????，?????????＝????????.?
∴△ABF≌△DCE(SAS).
∴AF=DE.
?
A
F
B
D
E
C
当堂检测
9.已知:如图，BE⊥CD于点E，BE=DE，AE=CE，DA的延长线交BC于点F.
求证：DF⊥BC.
∟
A
B
C
D
E
F
证明:∵BE⊥CD，
∴∠BEC=∠DEA=90°.
在△BEC和△DEA中,
????????＝????????，???∠????????????＝∠?????????????,?????????＝?????????.???????
∴△BEC≌△DEA(SAS).
∴∠B=∠D.
又∵∠B+∠C=90°,
∴∠D+∠C=90°.
∴∠CFD=90°.
即DF⊥BC.
?
当堂检测
10. 如图，AD是△ABC的中线，在AD及其延长线上截取DE＝DF，连接CE，BF，△BDF与△CDE全等吗？BF与CE有何位置关系？请说明理由．
D
C
B
A
F
E
解：△BDF与△CDE全等，BF∥CE.
理由如下：
∵AD是△ABC的中线，
∴BD＝CD.
在△BDF和△CDE中，
????????＝????????（已证），???????????????????∠????????????＝∠????????????（对顶角相等），?????????＝????????（已知）.???????????????????????
∴△BDF≌△CDE(SAS)，
∴∠F＝∠DEC，
∴BF∥CE.
?
拓展延伸
“倍长中线法”是解决几何问题的重要方法．所谓倍长中线法，就是将三角形的中线延长一倍，以便构造出全等三角形，具体做法是：
如图，AD是△ABC的中线，延长AD 到E ，使DE=AD，连接BE ，构造出△BED和△CAD .求证：△BED≌△CAD．
A
B
C
D
E
证明:∵AD 是 △ABC 的中线，
∴DB=DC
在△BED和△CAD中,
????????＝????????，???∠????????????＝∠????????????,?????????＝?????????.???????
∴△BED≌△CAD(SAS).
?
拓展延伸
若AB=5， AC=3，则BC边上的中线AD的取值范围是__________.
A
B
C
D
E
解:∵△BED≌△CAD，
∴AD=DE，BE=AC=3.
在△AEB中，
AB-BE＜AE＜AB+BE，
即5-3＜2AD＜5+3，
∴ 1＜AD＜4,
∴AD的取值范围是1＜AD＜4.