2022-2023学年安徽省合肥市高新区七年级（下）期末数学试卷（含解析）

2022-2023学年安徽省合肥市高新区七年级（下）期末数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 下列实数中的无理数是( )
A. B. C. D.
2. 世界上最小、最轻的昆虫是膜翅目缨小蜂科的一种卵蜂，体重只有克，将数据用科学记数法表示为( )
A. B. C. D.
3. 下列运算正确的是( )
A. B. C. D.
4. 如果，那么下列结论错误的是( )
A. B. C. D.
5. 如图所示，已知直线，交于点，，垂足为，且平分，则的度数为( )
A.
B.
C.
D.
6. 若，则的值为( )
A. B. C. D.
7. 从边长为的大正方形纸板挖去一个边长为的小正方形纸板后，将其裁成四个相同的等腰梯形如图甲，然后拼成一个平行四边形如图乙，那么通过计算两个图形阴影部分的面积，可以验证成立的公式为( )
A. B.
C. D.
8. 若，则的值为( )
A. B. C. D.
9. 若不等式组的整数解共有两个，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
10. 规定：把不超过实数的最大整数记作，例如：，，，则的值等于( )
A. B. C. D.
二、填空题（本大题共4小题，共16.0分）
11. 因式分解： ______ ．
12. 比较大小：______．
13. 如图，三角形的面积为，的长为，为直线上一动点，连接，则线段的最小值是______ ．
14. 已知关于的方程．
当时，方程的解为______ ；
若方程的解是非负数，则的取值范围是______ ．
三、解答题（本大题共9小题，共90.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
15. 本小题分
计算：．
16. 本小题分
解下列不等式组，并把解集在数轴上表示出来：．
17. 本小题分
先化简，再求值：，其中．
18. 本小题分
如图，在网格图中，平移三角形使点平移到点，且，的对应点分别为，．
画出平移后的三角形；
连接、，则线段与的关系是______ ．
19. 本小题分
已知：如图，，．
试说明．
若平分，且，求的度数．
20. 本小题分
数学课上，老师用图中的一张正方形纸片、一张正方形纸片、两张长方形纸片，拼成如图所示的大正方形观察图形并解答下列问题：
写出由图可以得到的等式；用含、的等式表示
小明想用这三种纸片拼成一个面积为的大长方形，则需要，，三种纸片各多
少张？
如图，，分别表示边长为、的正方形面积，且、、三点在一条直线上，若，
，求图中阴影部分的面积．
21. 本小题分
观察算式：；；；；
根据你发现的规律解决下列问题：
写出第个算式：______ ；
写出第个算式：______ ；
计算：．
22. 本小题分
提升居民生活质量，美化居民居住环境某社区计划将面积为的区域进行绿化，经招标，甲、乙两个工程队中标，全部绿化工作由甲、乙两队共同完成已知甲队每天完成的绿化面积是乙队每天完成的绿化面积的倍，且甲、乙两队单独完成的绿化面积，甲队比乙队少用天．
求甲、乙两队每天完成的绿化面积；
若绿化工作全部完成，乙队工作了天，则甲队工作了______ 天用的代数式表示；
若甲队每天绿化费用是万元，乙队每天绿化费用为万元，且施工总费用不超过万元，那么乙队至少工作多少天？
23. 本小题分
已知直线，点、在直线上，点、在直线上，的平分线与的平分线交于点，，．
如图，点在点的左边，点在点的右边，求的度数；
在图中，求的度数用含的式子表示；
将图中的线段向右平移，使点落在点的右边，其它条件不变在图中先画出符合题意的图形，再求与的度数和．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：、，是整数，属于有理数，故本选项不符合题意；
B、是无理数，故本选项符合题意；
C、是整数，属于有理数，故本选项不符合题意；
D、是分数，属于有理数，故本选项不符合题意．
故选：．
无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．
此题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：，等；开方开不尽得到的数；以及像，等有这样规律的数．
2.【答案】
【解析】解：，
故选：．
绝对值小于的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定．
本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，为由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定．
3.【答案】
【解析】解：，故此选项符合题意；
B.，故此选项不合题意；
C.，故此选项不合题意；
D.，故此选项不合题意．
故选：．
直接利用同底数幂的乘除运算法则、幂的乘方运算法则、合并同类项法则分别判断得出答案．
此题主要考查了同底数幂的乘除运算、幂的乘方运算、合并同类项，正确掌握相关运算法则是解题关键．
4.【答案】
【解析】解：、，，正确，不符合题意；
B、，，正确，不符合题意；
C、，，正确，不符合题意；
D、，，符合题意．
故选：．
根据不等式的性质即可求出答案．
本题考查不等式的性质，解题的关键是熟练运用不等式的性质，本题属于基础题型．
5.【答案】
【解析】解：，
，
平分，
，
，
故选：．
根据垂线的定义和角平分线的定义可得的度数，再根据对顶角相等可得的度数．
本题考查了垂线，掌握角平分线的定义，对顶角相等，得到的度数是解题的关键．
6.【答案】
【解析】解：
，
，
，，
，
故选：．
先根据多项式乘多项式法则展开，合并同类项，求出、值，再代入求出即可．
本题考查了多项式乘多项式法则，能正确根据多项式乘多项式法则展开是解此题的关键．
7.【答案】
【解析】解：图甲中阴影部分的面积为：，图乙中阴影部分的面积为：，
甲乙两图中阴影部分的面积相等，
，
可以验证成立的公式为．
故选：．
分别表示出图甲和图乙中阴影部分的面积，二者相等，从而可得答案．
本题考查了平方差公式的几何背景，属于基础题型，比较简单．
8.【答案】
【解析】解：，
，
．
故选：．
利用幂的乘方的法则，同底数幂的乘法的法则进行运算即可．
本题主要考查幂的乘方，同底数幂的乘法，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
9.【答案】
【解析】解：解不等式组得：，
不等式组的整数解共有两个是和，
，
故选：．
先求出不等式组的解集，再根据不等式组有且只有两个整数得出的范围即可．
本题考查了解一元一次不等式组和一元一次不等式组的整数解，能根据不等式组的解集得出是解此题的关键．
10.【答案】
【解析】解：根据的意义可得，
，
故选：．
根据所表示的不超过实数的最大整数进行计算即可．
本题考查估算无理数的大小，理解的意义是正确解答的前提．
11.【答案】
【解析】解：原式
．
故答案为：．
原式提取公因式，再利用平方差公式分解即可．
此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
12.【答案】
【解析】解：，
．
故答案为：．
在分母相同的情况下，比较分子，因为，所以大于．
此题考查了实数的大小比较，熟练掌握实数的大小比较的法则是解题的关键．
13.【答案】
【解析】解：作于，如图．
由垂线段最短可知，此时最小，
三角形的面积为，的长为，
，
解得，，
即线段的最小值是．
故答案为：．
作于，根据垂线段最短推出此时最小，根据三角形的面积公式求出．
本题考查的是垂线的性质，三角形的面积，利用垂线段最短确定点位置是解题的关键．
14.【答案】 且
【解析】解：，
当时，方程为，
方程两边都乘，得，
解得：，
检验：当时，，
所以分式方程的解是．
故答案为：；
，
方程两边都乘，得，
解得：，
方程的解是非负数，
，
，
，
当时，方程为，
解得：，
且．
故答案为：且．
把代入方程，再方程两边都乘得出，求出方程的解，再进行检验即可；
先求出方程的解是，根据方程的解是非负数得出，求出，再根据分母求出，把代入整式方程求出，再得出答案即可．
本题考查了解分式方程和分式方程的解，能把分式方程转化成整式方程是解此题的关键．
15.【答案】解：
．
【解析】先化简各式，然后再进行计算即可解答．
本题考查了实数的运算，零指数幂，负整数指数幂，准确熟练地进行计算是解题的关键．
16.【答案】解：，
解不等式得：，
解不等式得：，
原不等式组的解集为：，
该不等式组的解集在数轴上表示如图所示：

【解析】按照解一元一次不等式组的步骤，进行计算即可解答．
本题考查了解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式的解集，熟练掌握解一元一次不等式组是解题的关键．
17.【答案】解：
，
当时，
原式
．
【解析】利用分式的相应的法则对式子进行化简，再代入相应的值运算即可．
本题主要考查分式的化简求值，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
18.【答案】，
【解析】解：如图即为平移后的三角形；
线段与的关系是：，．
故答案为：，．
根据平移的性质即可画出平移后的三角形；
连接、，可得线段与的关系．
本题考查作图平移变换，解决本题的关键是掌握平移的性质．
19.【答案】证明：，
，
，
，
；
解：，
，
平分，
，
，
．
【解析】由证得，根据等量代换得出，从而判定；
根据，先证明的度数，进而求出，再进一步求出的度数．
本题考查了平行线的判定和性质，熟练应用判定定理和性质定理是解题的关键，平行线的性质：两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等．平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系．平行线的性质是由平行关系来寻找角的数量关系．应用平行线的判定和性质定理时，一定要弄清题设和结论，切莫混淆．
20.【答案】解：图的面积为，
或，
由图可以得到等式；
，
需要，，三种纸片各张、张、张；
由题意得，，
，
即，
解得，
图中阴影部分的面积为：．
【解析】通过运用整体求解和部分求和的方法表示图的面积进行求解；
通过计算的结果为可求解此题；
根据，，运用完全平方公式可求得，即可求得此题结果．
此题考查了完全平方公式数形结合问题的解决能力，关键是能准确理解并运用以上知识和方法进行求解．
21.【答案】
【解析】解：由题意得：第个算式为：，
故答案为：；
由题意得：第个算式为：，
故答案为：；
．
．
根据所给的等式的形式进行求解即可；
分析所给的等式的形式进行总结即可；
利用所给的等式的形式，把所求的式子进行整理，从而可求解．
本题主要考查数字的变化规律，有理数的混合运算，解答的关键是发现算式中的规律并灵活运用．
22.【答案】
【解析】解：设乙工程队每天能完成绿化的面积为，则甲工程队每天能完成绿化的面积为，
根据题意得，
解得：，
经检验，是原分式方程的解，
．
答：甲队每天能完成绿化的面积为，乙队每天能完成绿化的面积为；
设乙工程队需工作了天，则甲队工作了天，
故答案为：；
根据题意得，
解得：．
答：乙队至少工作天．
设乙队每天能完成绿化的面积为，则甲队每天能完成绿化的面积为，根据工作时间工作总量工作效率结合在独立完成面积为区域的绿化时甲队比乙队少用天，即可得出关于的分式方程，解之经检验后即可得出结论；
根据工作量工作效率工作时间列代数式即可；
根据总费用甲队每天所需费用甲队工作时间乙队每天所需费用乙队工作时间结合施工总费用不超过万元，即可得出关于的一元一次不等式，解之取其最小值即可得出结论．
本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出分式方程；根据各数量间的关系，正确列出一元一次不等式．
23.【答案】解：平分，
，
，
；
如图，过点作，
，
，
，，
平分，
，
；
如图，平分，
，
，
，
．
【解析】根据角平分线的定义以及平行线的性质可得答案；
根据角平分线的定义、平行线的性质以及图形中角的和差关系可得答案；
利用角平分线的定义，三角形内角和定理以及平角的定义进行计算即可．
本题考查平行线的性质，角平分线的定义以及三角形内角和定理，理解角平分线的定义，掌握平行线的性质，三角形内角和定理是正确解答的前提．
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