2022-2023学年北京市门头沟区八年级（下）期末数学试卷（含解析）

2022-2023学年北京市门头沟区八年级（下）期末数学试卷
一、选择题（本大题共8小题，共16.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 如果点的坐标是，那么点在( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
2. 下列图形，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是( )
A. 等腰三角形 B. 等边三角形
C. 平行四边形 D. 矩形
3. 如果一个多边形的内角和与外角和相等，那么这个多边形的边数是( )
A. B. C. D.
4. 关于的方程是一元二次方程，则( )
A. B. C. D.
5. 下列图象中，是的函数的是( )
A. B.
C. D.
6. 某工厂年生产某种机械台，研发生产技术后，预计年生产该种机械台设生产该种机械的年平均增长率为，下面所列方程正确的是( )
A. B.
C. D.
7. 下列命题是判断一个四边形是平行四边形的语句，其中错误的是( )
A. 一组对边平行且相等 B. 两组对边分别相等
C. 对角线互相平分 D. 一组对边相等另一组对边平行
8. 在一次外语测验中，某年级人数相同的两个班的成绩统计如下表：
班级 平均数 中位数 方差
班
班
小亮同学对此做出如下评估：
这次外语测验成绩两个班的平均水平相同：
班学生中成绩优秀分及以上的多；
班学生的成绩比较整齐，分化较小．
上述评估正确的是( )
A. B. C. D.
二、填空题（本大题共8小题，共16.0分）
9. 函数中自变量的取值范围是______．
10. 点关于原点对称的点的坐标为______
11. 如图，在矩形中，过对角线中点的两条直线交、于、，交，于点、，若矩形的边长为和，则图中阴影部分的面积为______ ．
12. 一元二次方程的解是______．
13. 若，是如图所示一次函数的图象上的两个点，且，则与的大小关系是______ ．
14. 一元二次方程的两个根分别是、，其中、，写出一个满足此条件的方程______ ．
15. 在平面直角坐标系中，一次函数与的图象如图所示，它们的交点坐标为，则下列三个结论中正确的是______ 填写序号．
直线与轴所夹锐角等于；
；
是等腰直角三角形；
关于的不等式的解集是．
16. 小天收集了五种不同品牌手机的快速充电和普通充电的充电时长数据如下表：
品牌
时长
方式
普通充电
快速充电
已知这五种手机的普通充电时长的方差与快速充电时长的方差相等，则 ______ ．
三、计算题（本大题共1小题，共5.0分）
17. 解方程：．
四、解答题（本大题共11小题，共63.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
18. 本小题分
如图，、是平行四边形对角线上的两点，且求证：四边形是平行四边形．
19. 本小题分
阅读材料，并回答问题：
小明在学习一元二次方程时，解方程的过程如下：
解：，，
此方程无解
问题：上述过程中，从______ 步开始出现了错误填序号；
发生错误的原因是：______ ；
在下面的空白处，写出正确的解答过程．
20. 本小题分
已知一次函数经过点、．
求，的值．
在平面直角坐标系中，画出函数图象；
结合图象直接写出的面积．
21. 本小题分
已知：如图，在矩形中，对角线的垂直平分线分别与、、交于点、、，连接和．
求证：四边形为菱形；
若，，求的长．
22. 本小题分
已知：如图，直线与直线相交于点．
求作：矩形，使矩形的四个顶点在这两条直线上．
作法：在直线上任取一点不与点重合
以点为圆心，为半径作弧依次与直线、交于点、、；
连接，，，．
即四边形就是所求作的矩形．
问题：使用直尺和圆规，按照作法补全图保留作图痕迹；
完成下面的证明．
证明：，，
四边形是______ ______
，
，
即
四边形是矩形______ 填推理的依据．
23. 本小题分
关于的方程有实数根，且为正整数，求的值及此时方程的根．
24. 本小题分
在平面直角坐标系中，一次函数的图象与函数的图象平行，且经过．
求这个一次函数的表达式；
当时，对于的每一个值，函数的值大于的值，直接写出的取值范围．
25. 本小题分
某校开展了国学书箱阅读活动，学生利用闲暇时光，增强个人国学素养为了解学生阅读情况，学校分别随机抽取了七、八两个年级各名学生，进行阅读情况调查下面给出了部分数据信息：
两个年级学生平均每周阅读时长单位：小时的频数分布直方图如下：
数据分成组：，，，：
七年级学生居家阅读每周平均时长在这一组的是：
两个年级学生平均每周阅读时长的平均数、中位数、众数、方差如下：
平均数 中位数 众数 方差
七年级
八年级
根据以上信息，回答下列问题：
补全图；
写出表中的值；
该校七年级、八年级各有名学生，如果平均每周阅读时长不低于小时的学生将被评为“读书明星”，估计该校七八年级共有多少学生被评为“读书明星”．
请你结合数据提供的信息对两个年级的阅读情况进行评价．
26. 本小题分
在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过，一次函数的图象与的图象关于轴对称直接写出的值；
与的图象组合称作图象“”，坐标系内存在点、如果图象“”与线段有两个交点，求的取值范围．
27. 本小题分
如图，在等腰直角中，，点是边上一点，作射线，过点作于点，连接．
根据题意补全图形；
求证：；
用等式表示线段，，之间的等量关系，并证明．
28. 本小题分
我们给出如下定义：两个图形和对于上的任意一点与上的任意一点，如果线段的长度最短，我们就称线段为“理想距离”．
如图，点在线段，上，点在线段上，如果为理想距离，那么的长为______ ；
有射线，和线段，点在线段上，点在射线上：
如图，当，时，画出理想距离的示意图，的长为______ ；
如图，保持线段在轴上点在点的左侧，且为个单位长度，，理想距离的长满足，画出示意图，写出的取值范围．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：点的横坐标小于，纵坐标大于，
点在第二象限．
故选：．
根据每个象限中横纵坐标的特点判断即可．
本题考查了每个象限中横纵坐标的特点．解决本题的关键是掌握好四个象限的点的坐标的特征：第一象限正正，第二象限负正，第三象限负负，第四象限正负．
2.【答案】
【解析】解：是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
B.是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
C.不是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
D.既是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项符合题意．
故选：．
根据轴对称图形和中心对称图形的概念，对各选项分析判断即可得解．把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．
本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转度后与原图重合．
3.【答案】
【解析】解：设多边形的边数为，根据题意
，
解得．
故选：．
利用多边形的内角和与外角和公式列出方程，然后解方程即可．
本题考查了多边形的内角和公式与多边形的外角和定理，需要注意，多边形的外角和与边数无关，任何多边形的外角和都是．
4.【答案】
【解析】解：根据题意得：，
解得：．
故选：．
本题根据一元二次方程的定义求解．一元二次方程必须满足两个条件：未知数的最高次数是；二次项系数不为由这两个条件得到相应的关系式，再求解即可．
本题利用了一元二次方程的概念．只有一个未知数且未知数最高次数为的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是特别要注意的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．
5.【答案】
【解析】解：图象不符合函数定义，
则不符合题意；
B.图象符合函数定义，
则符合题意；
C.图象不符合函数定义，
则不符合题意；
D.图象不符合函数定义，
则不符合题意；
故选：．
某一变化中存在两个变量，，对于自变量某一范围内的任意一个值，都有唯一确定的值与它对应，那么就称是的函数，据此进行判断即可．
本题考查函数的定义，此为基础且重要知识点，必须熟练掌握．
6.【答案】
【解析】解：依题意得：．
故选：．
利用年生产一吨药的成本生产一吨药的成本生产成本的年平均增长率，即可得出关于的一元二次方程，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
7.【答案】
【解析】解：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，故A正确，不符合题意；
两组对边分别相等的四边形是平行四边形，故B正确，不符合题意；
对角线互相平分的四边形是平行四边形，故C正确，不符合题意；
一组对边相等另一组对边平行的四边形不一定是平行四边形，故D错误，符合题意；
故选：．
根据平行四边形的判定定理逐项判断即可．
本题考查命题与定理，解题的关键是掌握平行四边形的判定定理．
8.【答案】
【解析】解：班的平均成绩是分，乙班的平均成绩是分，
这次数学测试成绩中，班班两个班的平均水平相同；
故正确；
班的中位数是分，班的中位数是分，
班学生中数学成绩分及以上的人数多，
故正确；
班的方差是分，班的方差是分，
班的方差大于班的方差，
班学生的数学成绩比较整齐，分化较小；
故错误；
上述评估中，正确的是；
故选：．
根据平均数、中位数和方差的意义分别对每一项进行解答即可得出答案．
此题考查了平均数、中位数和方差，平均数平均数表示一组数据的平均程度．中位数是将一组数据从小到大或从大到小重新排列后，最中间的那个数或最中间两个数的平均数；方差是用来衡量一组数据波动大小的量．
9.【答案】
【解析】解：根据题意得，，
解得．
故答案为：．
根据分母不等于列式进行计算即可求解．
本题考查了函数自变量的取值范围，函数自变量的范围一般从三个方面考虑：
当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；
当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为；
当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．
10.【答案】，
【解析】解：点与点成中心对称，则点的坐标为，在第三象限．
关于原点对称的两点横、纵坐标都互为相反数．
本题解决的关键是理解关于原点对称的两个点坐标之间的关系，是需要熟记的内容．
11.【答案】
【解析】解：四边形是矩形，
，，
又，
在和中，
，
≌，
，
同理可得≌，四边形≌四边形，
；
，故．
故答案为：．
首先结合矩形的性质证明≌，得、的面积相等，从而将阴影部分的面积转化为的面积．【解答】
题主要考查了矩形的性质以及全等三角形的判定和性质，能够根据三角形全等，从而将阴影部分的面积转化为矩形面积的一半，是解决问题的关键．
12.【答案】，
【解析】解：，
，
或，
，，
故答案为：，．
利用因式分解法解一元二次方程即可．
本题考查了解一元二次方程因式分解法，解决本题的关键是掌握用因式分解法解一元二次方程的步骤．
13.【答案】
【解析】解：观察函数图象，可知：随的增大而减小，
，是如图所示一次函数的图象上的两个点，且，
．
故答案为：．
观察一次函数图象，可得出随的增大而减小，再结合，即可得出．
本题考查了一次函数图象，观察函数图象，找出随的增大而减小是解题的关键．
14.【答案】答案不唯一
【解析】解：关于的一元二次方程的两个根分别是、，其中、，
可以为，，
方程可以是，
故答案是：答案不唯一．
此题是一道开放型的题目，答案不唯一，根据、，可令，进而可求、的值．
本题考查了根与系数的关系和一元二次方程的定义，解此题的关键是能根据两个根求出相应的方程，注意答案不唯一．
15.【答案】
【解析】解：由过点，则，直线与轴所夹锐角等于，故的结论正确；
一次函数过点，则，即，故的结论正确；
直线与坐标轴的截距相等，
直线与轴所夹锐角等于，
直线与轴所夹锐角等于，
是等腰直角三角形，故的结论正确；
由图知：当时，函数图象对应的点都在的图象下方，因此关于的不等式的解集是，故的结论正确；
故答案为：．
结合一次函数的性质、一次函数与不等式的关系，根据图象观察，得出结论．
本题考查了一次函数与不等式组的关系及数形结合思想的应用．解决此类问题关键是仔细观察图形，注意几个关键点交点、原点等，做到数形结合．
16.【答案】或
【解析】解：由普通充电的充电时间分别为、、、、可知，这五个数后一个数比前一个数依次增加，
这五种手机的普通充电时长的方差与快速充电时长的方差相等，
比小或比大，
为或．
故答案为：或．
根据方差的定义解答即可．
本题考查方差、平均数等知识，解题的关键利用结论：数据，，与数据，，，的方差相同解决问题，属于中考常考题型．
17.【答案】解：
，
，
【解析】利用因式分解法解出方程．
本题考查的是一元二次方程的解法，掌握因式分解法解一元二次方程的一般步骤是解题的关键．
18.【答案】证明：连接，交于点，如图所示：
四边形是平行四边形，
，，
，
，即，
，
四边形是平行四边形．
【解析】连接，交于点，由“平行四边形的对角线互相平分”得到，；然后结合已知条件证得，则“对角线互相平分的四边形是平行四边形”，即可得出结论．
本题考查了平行四边形的判定与性质，平行四边形的判定方法共有五种，应用时要认真领会它们之间的联系与区别，同时要根据条件合理、灵活地选择方法是解决问题的关键．
19.【答案】 计算结果错误
【解析】解：上述过程中，从第步开始出现了错误，
故答案为：；
计算结果错误负数乘以负数得负数；
故答案为：计算结果错误；
，，，
，
，
，．
第步计算错误；
正确计算得出答案即可；
利用公式法求出方程的解即可．
本题考查了用公式法解一元二次方程，能正确应用公式是解此题的关键．
20.【答案】解：将、代入，得
，
解得；
如图：
．
【解析】利用待定系数法求解即可；
描出，两点，画直线即可；
根据三角面积公式计算即可．
此题主要考查了求一次函数关系式，关键是掌握凡是图象经过的点必能满足解析式．
21.【答案】证明：对角线的垂直平分线分别与、、交于点、、，
，，，
四边形是矩形，
，
，
在和中
，
≌，
，
，，
，
四边形为菱形；
解：设菱形的边长为，则，．
四边形是矩形，
，
在中，，
即，
解得，，
的长为．
【解析】根据线段垂直平分线的性质得出，，根据全等三角形的判定推出≌，根据全等三角形的性质得出，求出，根据菱形的判定得出即可；
设菱形的边长为，则，在中，根据勾股定理，得出方程，求出方程的解即可．
本题考查了线段垂直平分线的性质，菱形的判定，全等三角形的性质和判定，矩形的性质，勾股定理等知识点，能综合运用知识点进行推理是解此题的关键．
22.【答案】平行四边形 对角线相互平分的的四边形是平行四边形 对角线相等的平行四边形是矩形
【解析】解：如图，矩形即为所求；
证明：，，
四边形是平行四边形对角线相互平分的的四边形是平行四边形，
，
，
即
四边形是矩形对角线相等的平行四边形是矩形．
故答案为：平行四边形，对角线相互平分的的四边形是平行四边形，对角线相等的平行四边形是矩形．
根据要求作出图形．
根据对角线相等的平行四边形是矩形证明即可．
本题考查作图复杂作图，矩形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
23.【答案】解：关于的方程有实数根，
，
解得：，
为正整数，
，
，
则，
解得：．
【解析】直接利用根的判别式得出的取值范围，求出的值，进而解方程得出答案．
此题主要考查了根的判别式，正确得出的值是解题关键．
24.【答案】解：一次函数的图象与函数的图象平行，
又一次函数的图象过点，
这个一次函数的表达式为．
把，代入，得，
，
当时，对于的每一个值，函数的值大于的值，
．
【解析】根据两直线平行可得的值，然后根据图象过可得的值；
由于是正比例函数，且当时，对于的每一个值，函数的值大于的值，即图象可理解为过点，且与轴交点向上不会超过原点符合题意来解题．
此题主要是考查了一次函数解析式的求法，及一次函数图象的应用，能够根据两直线平行得出一次函数解析式是解答此题的关键．
25.【答案】解：八年级学生每周阅读时间在的人数为：人，
补全图如下：
把七年级的个数据从小到大排列，排在中间的两个数分别是和，
故中位数；
名，
答：估计该校七八年级大约共有名学生被评为“读书明星”；
从平均数上看，七年级学生每周阅读时间要高于八年级，而七年级的方差较大，说明七年级学生阅读时间的离散程度较大，不稳定，
从中位数上看，八年级的高于七年级，说明八年级学生每周阅读时间小于小时，大约占一半，八年级的方差较小，八年级学生的阅读时间比较稳定，比较集中在某个数的附近，波动不大答案不唯一．
【解析】求出八年级学生每周阅读时间在的人数，即可补全频数分布直方图，
求出七年级学生每周阅读时间从小到大排列后，处在第、位的两个数的平均数，即为中位数的值；
利用样本估计总体即可；
从平均数、众数、中位数、方差等方面对学生在家阅读情况进行分析判断．
本题考查频数分布直方图、用样本估计总体、加权平均数、中位数、众数的意义及求法，理解各个统计量的意义，明确各个统计量的特点是解决问题的前提和关键．
26.【答案】解：直线的图象经过，
，
一次函数的图象与的图象关于轴对称，
，
与轴交点为，
；
依题意画出图形：
当时，把点代入得，，
解得，
如果图象“”与线段有两个交点，则；
当时，把点代入得，，
解得，
把点代入得，，
解得，
如果图象“”与线段有两个交点，则且，
综上所述，或且．
【解析】利用待定系数法求得，即可得出，即可关键题意得出，即与轴交点为，求得；
分两种情况讨论，根据图象即可求得．
本题考查了一次函数图象与几何变换，一次函数的图象和性质，数形结合是解题的关键．
27.【答案】解：图形如图所示：
证明：于点，
，
，
；
解：结论：．
理由：连接，在上截取，连接，
是等腰直角三角形，
，．
．
≌，
，，
，
，
．
【解析】根据要求作出图形；
利用三角形内角和定理证明即可；
结论：证明≌，推出，，可得结论．
本题属于三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．
28.【答案】
【解析】解：点在线段，上，点在线段上，
当与点重合，与点重合时，最小，
，，
，
理想距离，
故答案为：．
如图，过点作于点，则的长即是的长，
射线，，
，
，
，
，
故答案为：．
如图，当在射线的左侧时，过点作于点，则的长即为的长，
，
，
，
，即；
当在射线的左侧时，的长即为的长，
，
，
的取值范围为：．
由点在线段，上，点在线段上，可得当与点重合，点与点重合时，最小，然后利用勾股定理即可求解．
首先过点作于点，则的长即是的长，易得是等腰直角三角形，即可求解：
当在射线的左侧时，过点作于点，则的长即是的长，当在射线的右侧时，的长即为的长，然后分别求解即可．
本题属于新定义性题目，考查了勾股定理以及等腰直角三角形性质，利用分类讨论思想求解是关键．
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