2022-2023学年山东省济南市商河县七年级（下）期末数学试卷（含解析）

2022-2023学年山东省济南市商河县七年级（下）期末数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 下列图形中，是轴对称图形的是( )
A. B. C. D.
2. 将数据““用科学记数法表示为( )
A. B. C. D.
3. 如图，把一块含有角的直角三角板的两个顶点放在直尺的对边上，如果，那么的度数( )
A. B. C. D.
4. 现有张不透明卡片，正面分别标有数字“”、“”、“”、“”，卡片除正面的数字外，其余均相同现将张卡片正面向下洗匀，小王同学从中随机抽取一张卡片，则抽出的卡片数字“能被整除”的概率为( )
A. B. C. D.
5. 下列运算正确的是( )
A. B.
C. D.
6. 如图，有一块三角形玻璃，小明不小心将它打破．带上这块玻璃，能配成同样大小的一块，其理由是( )
A. B. C. D.
7. 等腰三角形的两边长为和，则这个三角形的周长是( )
A. B. C. 或 D. 无法计算
8. 李老师家、公园、学校依次在同一条直线上，家到公园、公园到学校的距离分别为，他从家出发匀速步行到公园后，停留，然后匀速步行到学校，设李老师离公园的距离为单位：，所用时间为单位：，则下列表示与之间函数关系的图象中，正确的是( )
A. B.
C. D.
9. 为测量一池塘两端，之间的距离，两位同学分别设计了以下两种不同的方案．
方案Ⅰ：如图，先在平地
上取一个可以直接到达点，的点，连接并延长到点，连接并延长到点，并使，，连接，最后测出的长即可； 方案Ⅱ：如图，先确定直线，过点作直线，在直线上找可以直接到达点的一点，连接，作，交直线于点，最后测量的长即可．
( )
A. Ⅰ，Ⅱ都不可行 B. Ⅰ，Ⅱ都可行
C. Ⅰ可行，Ⅱ不可行 D. Ⅰ不可行，Ⅱ可行
10. 如图，在和中，，，连接，连接并延长交，于点，若恰好平分，则下列结论；；；中，正确的有个．( )
A. B. C. D.
二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）
11. 若，，则的值是______．
12. 如图，一块飞镖游戏板是的正方形网格，假设飞镖击中每块小正方形是等可能的若没有击中游戏板，则重投一次任意投掷飞镖一次，击中阴影部分的概率是______．
13. 某工程队承建千米的管道铺设工程，预计工期为天，设施工天时未铺设的管道长度是千米，则关于的函数关系式是______．
14. 如图，把一条两边沿互相平行的纸带折叠，若，则______．
15. 点从的顶点出发，沿匀速运动到点停止，线段的长度随的长度变化的关系如图所示，其中是图象部分的最低点，则的面积是______ ．
16. 如图，在中，，分别以点、为圆心，以适当的长为半径作弧，两弧分别交于，，作直线，为的中点，为直线上任意一点，若，面积为，则长度的最小值为______．
三、解答题（本大题共9小题，共86.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. 本小题分
计算与化简：
计算：；
化简：．
18. 本小题分
先化简，再求值：，其中．
19. 本小题分
如图，的顶点、、都在小正方形的顶点上，利用网格线按下列要求画图．
画，使它与关于直线成轴对称；
在直线上找一点，使点到点、的距离之和最短；
在直线上找一点，使点到边、的距离相等．
20. 本小题分
如图，平分，．
求证：；
若，求的度数．
21. 本小题分
如图，在中，平分，为边上一点，连接，，过点作，垂足为．
判断与的位置关系，并说明理由；
若，，求的度数．
22. 本小题分
一个不透明的袋中装有红、黄、白三种颜色球共个，它们除颜色外都相同，其中黄球个数是白球个数的倍少个．已知从袋中摸出一个球是红球的概率是．
求袋中红球的个数；
求从袋中摸出一个球是白球的概率；
取走个球其中没有红球后，求从剩余的球中摸出一个球是红球的概率．
23. 本小题分
如图，，两地相距千米，甲、乙两人于某日下午从地前往地，图中的折线和线段分别表示甲与乙所行驶的路程和时间的关系根据图象回答下列问题：
图中因变量是______ ；
甲出发______ 小时后，乙才开始出发；
甲在段路程中的平均速度是______ 千米小时；乙的平均速度是______ 千米小时；
根据图象上的数据，乙出发后经过______ 小时就追上甲．
24. 本小题分
图是一个长为，宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后按如图所示的形状拼成一个大正方形．
图中的阴影部分正方形的边长是______ 用含，的代数式表示；
观察图，图，请写出，，之间的等量关系是：______ ；
已知，，求的值；
如图，是线段上的一点，以，为边向上分别作正方形和正方形，连结若，，求的面积．
25. 本小题分
如图，为的中线，平分，平分，，．
求证；；
求证：≌；
求证：．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：、、选项中的图形都不能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；
选项中的图形能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形；
故选：．
根据轴对称图形的定义如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，那么这样的图形就叫做轴对称图形对四个选项进行分析．
本题主要考查了轴对称图形的定义，难度不大，掌握定义是解答的关键．
2.【答案】
【解析】解：，
故选：．
根据科学记数法的计数方法进行计算即可．
本题考查科学记数法，掌握用科学记数法表示较小数的方法是解决问题的关键．
3.【答案】
【解析】解：如图：
，，
，
，
，
故选：．
依据，，即可得到，再根据，即可得出．
本题主要考查了平行线的性质．解题的关键是熟练掌握平行线的性质：两直线平行，内错角相等．
4.【答案】
【解析】解：数字“”、“”、“”、“”中能被整除的有“”、“”、“”，
所以随机抽取一张卡片，卡片数字“能被整除”的概率为为，
故选：．
根据概率的定义，从个数字中随机抽取个数字，共有种情况，其中能被整除的有个，可求出概率．
本题考查概率公式，理解概率的定义是正确计算的前提．
5.【答案】
【解析】解：、与不能合并，故A不符合题意；
B、，故B不符合题意；
C、，故C不符合题意；
D、，故D符合题意；
故选：．
根据合并同类项，多项式乘多项式的法则，平方差公式，单项式除以单项式的法则进行计算，逐一判断即可解答．
本题考查了整式的混合运算，准确熟练地进行计算是解题的关键．
6.【答案】
【解析】解：破玻璃保留了原来三角形的两个角和一边，则可以根据来配一块一样的玻璃，
故选：．
根据全等三角形的判定，已知两角和夹边，就可以确定一个三角形．
本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：、、、，做题时要根据已知条件进行选择运用．
7.【答案】
【解析】解：若为腰长，为底边长，
由于，即符合三角形的两边之和大于第三边．
所以这个三角形的周长为．
若为腰长，为底边长，
由于，即符合三角形的两边之和大于第三边．
所以这个三角形的周长为．
故等腰三角形的周长为：或．
故选：．
求等腰三角形的周长，即是确定等腰三角形的腰与底的长求周长；题目给出等腰三角形有两条边长为和，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形．
本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；题目从边的方面考查三角形，涉及分类讨论的思想方法．求三角形的周长，不能盲目地将三边长相加起来，而应养成检验三边长能否组成三角形的好习惯，把不符合题意的舍去．
8.【答案】
【解析】解：由题意可得，
李老师离公园的距离为单位：，所用时间为单位：，家到公园、公园到学校的距离分别为，，
李老师从家出发匀速步行到公园，
这个过程随的增大而减小，当时，，
李老师到公园后，停留，
这个过程随的变化不改变，的值都是，
李老师匀速步行到学校，
这个过程随的增大而增大，当时，，
故选：．
根据题意和题目中的数据，可以写出各段随的变化如何变化，然后即可判断哪个选项符合题意．
本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
9.【答案】
【解析】解：方案Ⅰ：，，，
≌，
，
Ⅰ可行；
方案Ⅱ：，
是等腰三角形，
，
，
Ⅱ可行，
综上所述，Ⅰ，Ⅱ都可行．
故选：．
根据全等三角形的判定方法和等腰三角形三线合一性质求解即可．
此题考查了全等三角形的判定方法和等腰三角形三线合一性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键．
10.【答案】
【解析】解：，
，即，
在和中，
，
≌，
，故选项符合题意；
，故选项符合题意；
，
，
，
，
平分，
，
，
，
内错角相等，两直线平行，
故选项符合题意；
根据已知条件无法证明，故选项不符合题意．
故选：．
利用证明≌可得，，可判断，选项正确；由全等三角形的性质，三角形的内角和定理及等腰三角形的性质可求解的度数，利用角平分线的定义求得，即可得，进而可证明，即可判断选项正确，进而可求解．
本题主要考查全等三角形的判定与性质，平行线的判定，角平分线的定义，三角形的内角和定理，证明≌是解题的关键．
11.【答案】
【解析】
【分析】
此题主要考查了同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：底数必须相同；按照运算性质，只有相乘时才是底数不变，指数相加．根据同底数幂的乘法法则，求出的值是多少即可．
【解答】
解：，，
．
故答案为：．
12.【答案】
【解析】解：总面积为，其中阴影部分面积为，
任意投掷飞镖一次，击中阴影部分的概率是．
故答案为：．
根据几何概率的求法：飞镖落在阴影部分的概率就是阴影区域的面积与总面积的比值．
本题考查几何概率的求法：首先根据题意将代数关系用面积表示出来，一般用阴影区域表示所求事件；然后计算阴影区域的面积在总面积中占的比例，这个比例即事件发生的概率．
13.【答案】
【解析】解：由某工程队承建千米的管道铺设工程，预计工期为天，可知工程队每天铺设米，
所以，
故填
工作量工作效率工作时间，由千米的管道铺设工程，工期为天，可知一天工作了千米，问题得解．
本题考查了，工作量，式作时间，工作效率三者的关系，明确工作量工作效率工作时间是解题的关键．
14.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了平行线的性质、翻折变换问题，找着重合的角，利用平角定义列出方程是解题的关键．由于纸片的两边平行，可得，由折叠可得重合的角相等，利用平角可求得的度数．
【解答】
解：如图所示标记角：
因为纸片两边平行，，
所以，
由折叠的性质得：，
所以，
解得：．
故答案为：．
15.【答案】
【解析】解：如图：
由图象分析可得：，，当时，最小，且，
此时，．
故答案为：．
把图形和图象结合理解得到线段长度，再用三角形面积公式求值即可，
本题为动点问题的函数图象探究题，把图形和图象结合理解得到线段长度是解决本题的关键．
16.【答案】
【解析】解：如图，连接，，
因为，为的中点，
所以
因为，
所以，
因为垂直平分线段，
所以，
所以，
所以的最小值为，
故答案为：．
如图，连接，，则，利用三角形的面积公式求出，再根据垂线段最短，线段的垂直平分线的性质判断即可．
本题考查线段的垂直平分线的作法及性质，三角形的面积，垂线段最短等知识，解题的关键是学会利用垂线段最短解决最值问题．
17.【答案】解：原式
；
原式
．
【解析】根据有理数的乘方，零指数幂，绝对值以及负整数指数幂的运算方法进行计算即可；
利用完全平方公式，平方差公式进行计算即可．
本题考查完全平方公式、平方差公式，零指数幂，绝对值以及负整数指数幂，掌握平方差公式、完全平方公式的结构特征，掌握零指数幂，绝对值以及负整数指数幂的运算方法是正确解答的前提．
18.【答案】解：原式
；
，
，，
，，
原式
．
【解析】先算括号内的，再做除法，化简后由非负数性质求出、的值代入即可．
本题考查整式化简求值，解题的关键式掌握完全平方、平方差公式等整式运算的法则，将所求式子化简．
19.【答案】解：如图，即为所求作．
如图，点即为所求作．
如图，点即为所求作．
【解析】本题考查作图轴对称变换，角平分线的性质，轴对称最短问题等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
分别作出，，的对应点，，，然后顺次连接即可；
连接交直线于点，点即为所求作；
的平分线与直线的交点即为所求作．
20.【答案】证明：平分，
．
在和中，
，
≌，
．
解：由得：≌，
，，
，
，
．
【解析】由角平分线的定义可得，利用可判定≌，从而得；
结合与四边形的内角和为可求得的度数，从而可求解．
本题主要考查全等三角形的判定与性质，解答的关键是明确图中的隐含条件公共边．
21.【答案】解：，理由如下：
平分，
，
，
，
，
；
，，
，
，，
，
．
【解析】由角平分线的定义可得，由等腰三角形的性质可得，即可求得，进而可求解；
由直角三角形的性质可求解，由平行线的性质可求解的度数，进而可求解．
本题主要考查角平分线的定义，平行线的判定，等腰三角形的性质，求解是解题的关键．
22.【答案】解：根据题意得：
，
答：红球有个．
设白球有个，则黄球有个，
根据题意得
解得．
所以摸出一个球是白球的概率；
因为取走个球后，还剩个球，其中红球的个数没有变化，
所以从剩余的球中摸出一个球是红球的概率；
【解析】根据红、黄、白三种颜色球共有的个数乘以红球的概率即可；
设白球有个，得出黄球有个，根据题意列出方程，求出白球的个数，再除以总的球数即可；
先求出取走个球后，还剩的球数，再根据红球的个数，除以还剩的球数即可．
此题考查了概率公式：如果一个事件有种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件出现种结果，那么事件的概率．
23.【答案】时间
【解析】解：由图象可知，图中自变量是时间；
故答案为：时间；
由图象可知，甲在小时，开始出发，乙在小时，开始出发，
，
甲出发小时后，乙才开始出发，
故答案为：；
，，
甲在段路程中的平均速度是千米小时；乙的平均速度是千米小时，
故答案为：；；
设乙出发后经过小时就追上甲，
依题意得，，
解得，
乙出发后经过小时就追上甲，
故答案为：．
根据坐标系中轴表示的量是自变量，轴表示的量是因变量进行作答即可；
观察图象即可；
根据甲在段小时的路程为千米，乙小时的路程为千米，进行计算求解即可；
设乙出发后经过小时就追上甲，依题意得，，计算求解即可．
本题考查了函数图象，一元一次方程的应用．从图象中获取正确的信息是解题的关键．
24.【答案】
【解析】解：根据图形可知，图中的阴影部分的正方形的边长等于，
故答案为：；
由图知，阴影部分正方形的面积为，
故答案为：；
，
，
，
，
得：，
；
设正方形的边长为，正方形的边长为，
，，
，
，
，
．
根据图形可知，图中的阴影部分的正方形的边长等于长为，宽为的长方形的长与宽之差，即；
根据图中的阴影部分的正方形的面积个长为大正方形的面积宽为的矩形面积得出结论；
由可知，，再把，代入求值即可；
设正方形的边长为，正方形的边长为，根据，，由结论求出的值，再由三角形的面积公式求出面积即可．
本题主要考查完全平方公式的几何背景，能利用几何图形之间的面积关系得到完全平方公式是解答此题的关键．
25.【答案】证明：平分，平分，
，，
，
；
，，
，
，，
，
，
是中点，
，
在和中，
，
≌，
≌，
，
，
四边形是平行四边形，
．
【解析】由角平分线的性质和平角的性质可求结论；
由“”可证≌；
通过证明四边形是平行四边形，可得．
本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，角平分线的定义等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
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