2022-2023学年广东省中山市中港英文学校九年级（下）期中数学试卷（含解析）

2022-2023学年广东省中山市中港英文学校九年级（下）期中数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 反比例函数的比例系数是( )
A. B. C. D.
2. 下列说法中，正确的是( )
A. 任意两个直角三角形都相似 B. 任意两个矩形都相似
C. 任意两个菱形都相似 D. 任意两个位似三角形一定相似
3. 反比例函数的图象可能是( )
A. B.
C. D.
4. 若，则的值为( )
A. B. C. D.
5. 如图，已知，：：，那么下列结论中，正确的是( )
A. ：：
B. ：：
C. ：：
D. ：：
6. 若反比例函数图象经过点，则的值为( )
A. B. C. D.
7. 已知甲处看乙处为仰角，则乙处看甲处为( )
A. 仰角 B. 俯角 C. 仰角 D. 俯角
8. 如图，在平面直角坐标系中，点坐标为，那么的值是( )
A. B. C. D.
9. 对于反比例函数，下列说法不正确的是( )
A. 图象分布在第二、四象限
B. 当时，随的增大而增大
C. 图象经过点
D. 若点，都在图象上，且，则
10. 已知一次函数为常数，的图象如图所示，则正比例函数和反比例函数在同一坐标系中的图象大致是( )
A.
B.
C.
D.
二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）
11. 一批零件个，一个工人每小时做个，用关系式表示人数个与完成任务所需的时间小时之间的函数关系式为______ ．
12. 如图所示，、分别是的边、上的点，试添加一个条件：______ 使得∽．
13. 如图，的顶点都在正方形网格的格点上，则的值为______．
14. 某水库堤坝的横断面如图所示，迎水坡的坡度是：，堤坝高，则 ______
15. 如图，在平面直角坐标系中，点是第一象限内的一点，其纵坐标为，过点作轴于点，以为边向右侧作等边，若反比例函数的图象经过点和点，则的值为 ．
三、计算题（本大题共1小题，共8.0分）
16. 如图，是小明设计用手电来测量某古城墙高度的示意图，点处放一水平的平面镜，光线从点出发经平面镜反射后刚好射到古城墙的顶端处，已知，，且测得米，米，米，求该古城墙的高度．
四、解答题（本大题共7小题，共67.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. 本小题分
计算：．
18. 本小题分
如图，延长正方形的一边至，与相交于点，过作交于点，求证：．
19. 本小题分
如图，的顶点都在网格点上，点的坐标为．
以点为位似中心，把按：放大在轴的左侧，画出放大后的；
点的对应点的坐标是______ ；
： ______ ．
20. 本小题分
如图所示，一轮船由西向东航行，在处测得小岛在北偏东的方向上，轮船行驶海里后到达处，此时测得小岛在北偏东的方向上．
求的距离；
已知小岛周围海里内有暗礁，若轮船仍向前航行，有无触礁的危险．
21. 本小题分
如图，在中，，，垂足分别为，，与相交于点．
求证：∽；
当，时，求的长．
22. 本小题分
如图，直线与轴交于点，与轴交于点，与反比例函数的图象交于点．
求直线和反比例函数的表达式；
连接，在轴上找一点，使，请求出点的坐标．
23. 本小题分
如图，是平行四边形的对角线上的一点，射线与交于点，与的延长线交于点．
求证：∽；
若与的面积比为：，求：的值；
，求证：．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：反比例函数的比例系数是．
故选：．
根据反比例函数的定义得出答案即可．
本题考查了反比例函数的定义，掌握形如为常数，的函数，叫反比例函数，其中叫函数的系数是关键．
2.【答案】
【解析】解：任意两个直角三角形不一定相似，此选项不符合题意；
B.任意两个矩形也不一定相似，此选项不符合题意；
C.任意两个菱形不一定相似，此选项不符合题意；
D.任意两个位似三角形一定相似，此选项符合题意；
故选：．
根据相似图形的判定和菱形、矩形、直角三角形和位似三角形的性质逐一判断即可得．
本题主要考查相似图形，解题的关键是掌握相似图形的概念和菱形、矩形、直角三角形和位似三角形的性质．
3.【答案】
【解析】解：反比例函数，，
图象分布在第一、三象限，即．
故选：．
根据反比例函数的性质，当时，图象分布在第一、三象限，进而得出答案．
此题主要考查了反比例函数的图象，正确掌握反比例函数图象分布规律是解题关键．
4.【答案】
【解析】解：，
．
故选：．
利用内项之积等于外项之积进行判断．
本题考查了比例的性质：熟练掌握比例的性质内项之积等于外项之积、合比性质、分比性质、合分比性质、等比性质是解决问题的关键．
5.【答案】
【解析】解：，：：，
：：，故A选项正确；
：：，故B选项错误；
：：，故C选项错误；
：：，故D选项错误；
故选：．
三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例，据此可得结论．
本题考查了平行线分线段成比例：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．
6.【答案】
【解析】解：反比例函数的图象经过点，
，
故选：．
将点代入解析式可求出的值．
此题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征，掌握反比例函数图象上点的横纵坐标的积是定值是解题的关键．
7.【答案】
【解析】解：如图所示：甲处看乙处为仰角，
乙处看甲处为：俯角．
故选：．
根据仰角以及俯角的定义画出图形进而求出即可．
此题主要考查了仰角以及俯角的定义，正确把握定义画出图形是解题关键．
8.【答案】
【解析】解：由点的坐标为，
，
故选D．
由点的坐标为，根据锐角三角函数的定义即可求解．
本题考查了锐角三角函数的定义，属于基础题，关键是掌握锐角三角函数的定义．
9.【答案】
【解析】解：、，它的图象在第二、四象限，故本选项正确，不符合题意；
B、，当时，随的增大而增大，故本选项正确，不符合题意；
C、时，，点在它的图象上，故本选项正确，不符合题意；
D、，在每一个象限内，随的增大而增大，
当，则，故本选项错误，符合题意，
故选：．
根据反比例函数图象的性质对各选项分析判断后利用排除法求解．
本题考查了反比例函数的性质，对于反比例函数，，反比例函数图象在一、三象限，在每一个象限内，随的增大而减小；，反比例函数图象在第二、四象限内，在每一个象限内，随的增大而增大．
10.【答案】
【解析】解：一次函数为常数，的图象经过第一、三象限，且与轴交于负半轴，则，，
．
正比例函数的图象经过第二、四象限，的图象也经过第二、四象限，
观察选项，只有选项D符合题意．
故选：．
可先根据一次函数的图象判断，的符号，再判断正比例图象与实际是否相符，判断正误．
本题考查的是一次函数和正比例函数的图象，应该熟记一次函数在不同情况下所在的象限．
11.【答案】
【解析】解：由题意得：人数与完成任务所需的时间之间的函数关系式为．
故答案为：．
根据等量关系“个工人所需时间工作总量个工人工效”即可列出关系式．
此题考查了反比例函数在实际生活中的应用，找出等量关系是解决此题的关键．
12.【答案】或或
【解析】解：，
当或或时，∽．
故答案为或或．
由于和有一个公共角，所以利用两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似或有两组角对应相等的两个三角形相似进行添加条件．
本题考查了相似三角形的判定：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；有两组角对应相等的两个三角形相似．
13.【答案】
【解析】解：过作于，
，
故答案为：．
过作于，根据正切函数的定义求解可得．
本题主要考查解直角三角形，解题的关键是构建直角三角形并掌握正切函数的定义．
14.【答案】
【解析】解：由图可得，：：，
，
，
．
故答案为：．
根据坡比可得：：：，然后根据，求出的长度，最后利用勾股定理求出的长度．
本题考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键是根据坡度构造直角三角形，利用勾股定理求解．
15.【答案】
【解析】解：过点作轴于点，如图，
点在反比例函数的图象上，其纵坐标为，
点坐标表示为，，
是等边三角形，
，，
，
，，
，
，即，
解得：．
故答案为：．
作轴交于点，分别表示出、，利用值的几何意义列式即可求出结果．
本题主要考查反比例函数图象上点的坐标特征，等边三角形的性质、反比例函数中的几何意义、含度角的直角三角形，熟练掌握反比例函数中的几何意义是解题关键．
16.【答案】解：根据题意得，
，，
，
∽，
，即，
解得．
答：该古城墙的高度为米．
【解析】利用入射与反射得到，则可判断∽，于是根据相似三角形的性质得，然后利用比例性质求出即可．
本题考查了相似三角形的应用：利用入射与反射的原理构建相似三角形，然后利用相似三角形的性质即相似三角形的对应边的比相等解决．
17.【答案】解：原式
．
【解析】直接利用特殊角的三角函数值代入，结合零指数幂的性质化简得出答案．
此题主要考查了特殊角的三角函数值以及零指数幂的性质，正确记忆相关数据是解题关键．
18.【答案】证明：四边形为正方形，
，
，
，
，
，
，且，
．
【解析】结合条件可得到，则有，由可得到，又因为，可得到．
本题主要考查平行线分线段成比例及正方形的性质，掌握平行线分线段中的线段对应成比例是解题的关键，注意利用比例相等也可以证明线段相等．
19.【答案】 ：
【解析】解：如图所示，即为所求；
点的对应点的坐标是，
故答案为：；
由题可得，，
∽，
又位似比为：，
：：，
：：．
故答案为：：．
依据点为位似中心，把按：放大，在轴的左侧，即可画出放大后的；
依据点的位置，即可得到点的对应点的坐标；
依据相似三角形的面积之比等于位似比的平方，即可得到：：，进而得出：：．
本题主要考查了位似作图，画位似图形的一般步骤为：确定位似中心；分别连接并延长位似中心和能代表原图的关键点；根据位似比，确定能代表所作的位似图形的关键点；顺次连接上述各点，得到放大或缩小的图形．
20.【答案】解：，，
又，
，
海里，
作于点，
在直角中，，
答：若轮船仍向前航行有触礁的危险．
【解析】通过计算得到，得到，从而得解；
作于点，解得，进而判定即可；
本题考查了解直角三角形的应用方位角问题，掌握直角三角形中的锐角所对的直角边等于斜边的一半是解决本题的关键．
21.【答案】证明：，，
，
，，
，
∽．
，
，
，
∽，
，
．
【解析】由，，推出，由此即可证明．
先证明，由∽，得，即可解决问题．
本题考查相似三角形的判定和性质、三角函数等知识，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定和性质，属于中考常考题型．
22.【答案】解：将代入得：，
解得：，
直线的表达式为：，
点在直线上，
，
反比例函数的表达式为：．
设点坐标为：，
，
，
，
，
点坐标为或．
【解析】用待定系数法直接求表达式即可．
先求出的面积，再求出，根据三角形的面积公式求解即可．
本题考查反比例函数与一次函数的综合应用．正确的求出一次函数与反比例函数的表达式是解题的关键．
23.【答案】证明：四边形是平行四边形，
，，
，
∽；
解：∽，
，
与的面积比为：，
，
，
，
，
，
．
证明：四边形是平行四边形，
，
又，
，
，
又，
∽，
，
，
，
，
．
【解析】由平行四边形的性质得出，，由平行线的性质得出，则可得出结论；
由相似三角形的性质得出，则可得出答案．
由∽，推出，由，推出，由，可得．
本题是相似形综合题，考查了相似三角形的判定和性质，平行四边形的性质，平行线的性质，掌握相似三角形的性质是本题的关键．
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