2022-2023学年上海市青浦区八年级（下）期末数学试卷（含解析）

2022-2023学年上海市青浦区八年级（下）期末数学试卷
一、选择题（本大题共6小题，共24.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 直线的图象经过( )
A. 第一、二、三象限 B. 第一、二、四象限 C. 第一、三、四象限 D. 第二、三、四象限
2. 下列方程中，有实数根的方程是( )
A. B. C. D.
3. 下列事件中是必然事件的是( )
A. 投掷一枚质地均匀的硬币次，正面朝上的次数为次
B. 任取一个实数，它的平方大于零
C. 两位同学玩“石头、剪刀、布”的游戏，一个回合定出胜负
D. 某兴趣小组由名同学组成，其中至少有两名同学的生日在同一个月．
4. 已知平行四边形，下列说法中错误的是( )
A. B. C. D.
5. 如图，函数的图象与轴、轴分别相交于点和点，则关于的不等式的解集为( )
A. B. C. D.
6. 已知平行四边形的对角线、相交于点下列补充条件中，能判定这个平行四边形是菱形的是( )
A. B.
C. D.
二、填空题（本大题共12小题，共48.0分）
7. 一次函数的截距为______ ．
8. 函数的定义域为______ ．
9. 如果关于的方程有实数解，那么的取值范围是______ ．
10. 用换元法解分式方程时，如果设，那么原方程可以化为关于的整式方程是______ ．
11. 直线向右平移个单位后的解析式是___________．
12. 一辆汽车，新车购买价为万元，第一年使用后折旧，以后该车的年折旧率有所变化，但它在第二、三年的年折旧率相同已知在第三年年末，这辆车折旧后价值万元，设这辆车在第二、三年的年折旧率为，则可列方程为______ ．
13. 在平行四边形中，，则 ______ ．
14. 如果一个多边形的每个内角都等于，那么它的边数等于______ ．
15. 若菱形的边长为，一条对角线长为，则另一条对角线长为______ ．
16. 从，，，四个关系中，任选两个作为条件，那么选到能够判定四边形是平行四边形的概率是______ ．
17. 在等腰梯形中，，，，，则该等腰梯形的高的长度是______ ．
18. 如图，在矩形中，，，点为边中点，将沿翻折，点落到点处，延长交边于点，则线段的长度为______ ．
三、计算题（本大题共1小题，共10.0分）
19. 解方程：．
四、解答题（本大题共6小题，共68.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
20. 本小题分
解方程组：
21. 本小题分
如图，在菱形中，点为边中点，联结，．
求的度数；
联结，如果，求菱形的面积．
22. 本小题分
已知甲、乙两车分别从、两地同时出发，沿同一条公路相向而行，甲车先以千米时的速度匀速行驶千米后与乙车相遇，再以另一速度继续匀速行驶小时到达地；乙车匀速行驶至地，两车到达各自的目的地后停止甲、乙两车各自距地的路程与行驶时间之间的函数关系如图所示．
求两车相遇后，甲车距地的路程与行驶时间之间的函数关系式；
当乙车到达地时，求甲车距地的路程．
23. 本小题分
如图，在三角形中，，、分别是与它的邻补角的平分线，于点．
求证：四边形是矩形；
联结交于点，若，求证：四边形是正方形．
24. 本小题分
如图，直线：与双曲线交于点，与轴交于点．
求的值；
点其中为双曲线上一点，当的面积与的面积相等时，求点的坐标．
点在轴上，点在双曲线上，且以点、、、为顶点的四边形是平行四边形，求点的坐标．
25. 本小题分
如图，在梯形中，，平分，．
求证：；
作，垂足为点，．
设，请用含的代数式表示梯形的面积；
点为中点，联结并延长，交边于点，请你想一想，能否成为直角三角形，如果能，请求出此时线段的长，如果不能，请说明理由．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：直线与轴交于点，
且，随的增大而减小，
直线的图象经过第二、三、四象限．
故选：．
由可知直线与轴交于点，且随的增大而减小，可判断直线所经过的象限．
本题考查了一次函数的性质．关键是根据图象与轴的交点位置，函数的增减性判断图象经过的象限．
2.【答案】
【解析】解：，
，
，即方程有实数根，故本选项符合题意；
B.，
，
的值不能为负数，即方程无实数根，故本选项不符合题意；
C.，
这里，，，
，
所以方程无实数根，故本选项不符合题意；
D.，
去分母得：，
解得：，
经检验是增根，即方程无实数根，故本选项不符合题意；
故选：．
根据立方根定义求出，即可判断选项A；求出，根据算术平方根的非负性即可判断选项B；根据根的判别式即可判断选项C；去分母后求出，进行检验后即可判断选项D．
本题考查了解无理方程，解分式方程，解一元二次方程，根的判别式等知识点，能选择适当的方法求解是解此题的关键．
3.【答案】
【解析】解：、投掷一枚质地均匀的硬币次，正面朝上的次数为次，是随机事件，不符合题意；
B、任取一个实数，它的平方大于零，是随机事件，不符合题意；
C、两位同学玩“石头、剪刀、布”的游戏，一个回合定出胜负，是不可能事件，不符合题意；
D、某兴趣小组由名同学组成，其中至少有两名同学的生日在同一个月，是必然事件，符合题意．
故选：．
根据随机事件的定义进行解答即可．
本题考查的是随机事件，熟知在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，称为随机事件是解题的关键．
4.【答案】
【解析】解：四边形是平行四边形，
，，，
，，，
故A、、D正确，
与方向不同，
，
故B错误，
故选：．
根据平行四边形的性质即可推出结论．
本题考查了平面向量，平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键．
5.【答案】
【解析】解：直线和轴的交点是，
不等式的解集是，
故选：．
根据图象和的坐标得出即可．
此题主要考查了一次函数的图象解一元一次不等式，解题时应结合函数和不等式的关系找出正确的答案．
6.【答案】
【解析】解：能判定这个平行四边形是菱形的是，理由如下：
如图，
四边形是平行四边形，
，
，
，
，
，
平行四边形是菱形，
故选：．
证，得，再由菱形的判定即可得出结论．
本题考查了菱形的判定、平行四边形的性质以及等腰三角形的判定等知识；熟练掌握菱形的判定是解题的关键．
7.【答案】
【解析】解：由，知：当，，
即一次函数与轴交点为，
一次函数在轴上的截距为：．
故答案为：．
把代入一次函数的解析式求出即可．
本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，属于基础题，关键是令求出函数与轴的交点坐标．
8.【答案】
【解析】解：由题意可得，
的定义域为，
故答案为：．
根据分式有意义的条件即可求得答案．
本题考查函数自变量的取值范围，根据分式有意义的条件得出是解题的关键．
9.【答案】
【解析】解：关于的方程有实数解，
，即，
故答案为：．
由方程有实数根确定出的范围即可．
此题考查了一元一次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值．
10.【答案】
【解析】解：，
设，则原方程化为：，
方程两边乘得：，
即，
故答案为：．
由已知，则原方程化为，方程两边乘即可得答案．
本题考查了解分式方程，能正确换元是解此题的关键．
11.【答案】
【解析】解：由“左加右减”的原则可知：直线向右平移个单位，得到直线的解析式为：，即．
故答案为：．
根据“左加右减”的原则进行解答即可．
本题考查的是一次函数的图象与几何变换，熟知“左加右减”的原则是解答此题的关键．
12.【答案】
【解析】解：设这辆车第二、三年的年折旧率为，由题意，得
．
故答案为：．
设这辆车第二、三年的年折旧率为，则第二年这就后的价格为元，第三年折旧后的而价格为元，与第三年折旧后的价格为万元建立方程．
本题考查了列一元二次方程解实际问题的运用，解答本题时设出折旧率，表示出第三年的折旧后价格并运用价格为万元建立方程是关键．
13.【答案】
【解析】解：在中，，则．
在平行四边形中，，，则．
故答案为：．
在中，利用三角形法则求得；然后由平行四边形的对边平行且相等的性质推知．
本题主要考查了平面向量和平行四边形，注意：向量既有大小又有方向．
14.【答案】
【解析】解：多边形的每一个内角都等于，
多边形的每一个外角都等于，
边数．
故答案为：．
先求出这个多边形的每一个外角的度数，再用除即可得到边数．
本题主要考查了多边形的内角与外角的关系，求出每一个外角的度数是关键．
15.【答案】
【解析】解：设菱形的两条对角线交于点，如图所示：
四边形是菱形，边长是，
，，，，
，
；
故答案为．
由菱形的性质得，，，，在中，由勾股定理求出，即可得出答案．
本题考查了菱形的性质以及勾股定理，熟练掌握菱形的对角线互相垂直平分是解题的关键．
16.【答案】
【解析】解：画树状图得：
共有种等可能的结果，选到能够判定四边形是平行四边形的有种，
选到能够判定四边形是平行四边形的概率是：．
故答案为：．
首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与选到能够判定四边形是平行四边形的情况，再利用概率公式即可求得答案．
此题考查了树状图法与列表法求概率．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
17.【答案】
【解析】解：过点作交的延长线于点，过点作于点，
四边形为等腰梯形，且，，
，，
又，
四边形为平行四边形，
，
，
，，
，
为等腰直角三角形，
为斜边上的中线，
．
该等腰梯形的高的长度是．
故答案为：．
过点作交的延长线于点，过点作于点，先证四边形为平行四边形，再证为等腰直角三角形得为斜边上的中线，据此可求出的长．
此题主要考查了等腰梯形的性质，平行四边形的判定及性质，等腰直角三角形的判定及性质，解答此题的关键是理解等腰梯形的对角线相等，等腰三角形底边上的高、中线和顶角的平分线重合；难点是过点作交的延长线于点，构造平行四边形，这也是解决等腰梯形问题常见的辅助线的作法．
18.【答案】
【解析】解：四边形为矩形，，，
，，，
，
点为的中点，
，
设，
由翻折的性质得：，，，，
，
，
，
，
在中，，，，
由勾股定理得：，
即：，
解得：，
．
故答案为：．
首先根据，点为的中点得，，设，由翻折的性质得，，，，据此可得，于是可得出，然后在中由勾股定理求出即可．
此题主要考查了图形的折叠变换及性质，矩形的性质，等腰三角形的判定及性质，勾股定理等，解答此题的关键是熟练掌握图形的折叠变换，理解两个角相等的三角形是等腰三角形等角对等边．
19.【答案】解：方程的两边同乘，得
，
解得，．
检验：把代入，
所以是原方程的增根．
把代入，
原方程的解为．
【解析】观察可得最简公分母是，方程两边乘最简公分母，可以把分式方程转化为整式方程求解．
本题考查了分式方程的解法，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．
解分式方程一定注意要验根．
20.【答案】解：由得，
将代入得：，
整理得：，
解得：，，
分别将，代入得：，，
原方程组的解为：，．
【解析】先由得，再将代入消去得到关于的方程，解这个方程求出，进而再将的值代入求出即可得到原方程组的解．
此题主要考查了解二元二次方程组，解答此题的关键是熟练掌握利用代入消元法解二元二次方程组．
21.【答案】解：如图，连接，
，点为边中点，
，
是等腰三角形，
，
四边形是菱形，
，
，
是等边三角形
；
，
，
，
．
【解析】先证明是等腰三角形，再根据菱形的性质可得到，，从而可推出是等边三角形，从而求得的度数；
先求得的长，再根据菱形的面积公式即可求得菱形的面积．
本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定与性质，解决本题的关键是掌握并熟练运用菱形的性质．
22.【答案】解：甲车先以千米时的速度匀速行驶千米后与乙车相遇，
甲车行驶千米与乙车相遇，此时的时间为：，
点的坐标为，
又甲车在与乙车相遇后以另一速度继续匀速行驶小时到达地；
点的坐标为，
设甲车行驶段的函数关系式为：，
将点代入得：，
甲车行驶段的函数关系式为：，
设甲车从地到地行驶段的函数关系式为：，
将点，代入，
得：，解得：，
甲车从地到地行驶段的函数关系式为：，
甲车距地的路程与行驶时间之间的函数关系为：；
设乙车甲车距地的路程与行驶时间之间的函数关系为：，
将点，代入，
得：，解得：，
乙车甲车距地的路程与行驶时间之间的函数关系为：，
对于，当时，，
即乙车到达地所用的时间为，
对于，当时，
当乙车到达地时，甲车距地的路程为．
【解析】先依题意求出点，的坐标，然后利用待定系数法可分别求出甲、乙两车各自距地的路程与行驶时间之间的函数关系式；
先根据的函数关系式求出乙车到达地的时间，进而可求出甲车距地的路程．
此题主要考查了一次函数、正比例函数的实际应用，解答此题的关键是理解题意，从函数的图象中提取正确的相关的解题信息，熟练掌握待定系数法求函数的解析式．
23.【答案】证明：，是的平分线，
，
是的平分线，是的外角平分线，
，即，
为等腰三角形，
为高，
又，
，
四边形为矩形；
证明：如图，
四边形为矩形，
，，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
四边形为矩形，
四边形是正方形．
【解析】由，是的平分线，可得，于点，所以可得出四边形为矩形；
证出，由正方形的判定可得出结论．
本题考查了正方形的判定，矩形的判定和性质，等腰三角形的性质，灵活运用这些性质进行推理是本题的关键．
24.【答案】解：直线：与双曲线交于点，
，
，
，
，
，
故的值为；
如图，过作轴于，过作轴于，
在中，令，则，
，
的面积，
点其中为双曲线上一点，
点在点的下方，
的面积与的面积相等，
，
解得或不合题意舍去，
；
如图，直线与轴交于，
当点在第一象限时，四边形是平行四边形，
，，
过作轴于，过作轴于，
，
，
≌，
，
，
当点在第三象限时，四边形是平行四边形，
，，
过作轴于，过作轴于，
，
，
≌，
，
，
综上所述，点的坐标为或．
【解析】根据待定系数法即可得到结论；
如图，过作轴于，过作轴于，解方程得到，根据三角形的面积公式解方程即可得到结论；
分两种情况：当点在第一象限时，四边形是平行四边形，当点在第三象限时，四边形是平行四边形，过作轴于，过作轴于，根据全等三角形的性质和平行四边形的性质即可得到结论．
本题是反比例函数的综合题，考查了待定系数法求函数的解析式，全等三角形 的判定和性质，平行四边形的性质，正确地作出辅助线是解题的关键．
25.【答案】证明：过点作，交于，
四边形是平行四边形，，
，
平分，
，
，
，
四边形是菱形，
，
，
，
，
，
，
，
，
解：由可知四边形是菱形，
设，则，
在中，，
，
，，
，
，
，
梯形的面积是，
能成为直角三角形，理由如下：
，
，
第一种情况，当时，
是中点，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
第二种情况，当时，
是中点，，
，
，
垂直平分，
，
，
平分，
，
又，
，
，
即，
四边形是矩形，
，
四边形是正方形，
，
又，
，
即点，重合时，能成为直角三角形，
综上所述，的长是或，
【解析】通过作平行，利用平行线的性质，推出四边形是平行四边形，进而可得四边形是菱形，再由直角三角形的性质易得，进而得证；
利用上面的结论与思路，通过勾股定理列出方程，表示出线段的长，然后代入梯形面积关系式化简求解即可；
由条件画出图形，再分类讨论，通过角的和差关系得出，或四边形是正方形，进而利用直角三角形，正方形的性质推导出边的关系，即得的长．
此题考查了梯形的性质，矩形的性质和判定，正方形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握以上知识点．
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