资阳市2022-2023学年高二下学期期末质量监测
文科数学
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考号填写在答题卡上。并将条形码贴在答题卡上对应的虚线框内，
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.复数
A. B. C. D.
2.双曲线的离心率为
A. B. C. D.
3.函数的单调递减区间为
A. B. C. D. ，
4.若复数满足，则
A. B. C. D.
5.研究变量，得到一组样本数据，进行回归分析，以下说法正确的是
A.两个变量的相关系数的绝对值越接近于1，它们的相关性越弱
B.两个变量与的回归模型中，分别选择了甲、乙两个模型，其回归系数分别为，，则模型甲比模拟乙的拟合效果好
C.在经验回归方程中，当解释变量每增加1个单位时，相应观测值增加0.5个单位
D.经验回归直线经过样本中心点
6.抛物线：过点，则的焦点到准线的距离为
A. B. C. D.1
7.已知双曲线：的左、右焦点分别为，，直线经过且与的右支相交于，两点，若，则的周长为
A.6 B.8 C.10 D.12
8.已知函数的导函数为
A. B.
C. D.
9.曲线的参数方程为（为参数），则的普通方程为
A. B.
C. D.
10.已知双曲线：的离心率为，则的两条渐近线的夹角为
A. B. C. D.
11.已知点，在抛物线：上，为坐标原点，为等边三角形，则的面积为
A. B. C. D.
12.过坐标原点可以作曲线两条切线，则的取值范围是
A. B.
C. D.
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。
13.函数在区间上的极大值点是____________.
14.已知直线的极坐标方程为，则的倾斜角为_____________.
15.已知抛物线：的焦点为，过点作的一条切线，切点为，则的面积为____________
16.已知，分别为双曲线：的左、右焦点，点是双曲线的一条渐近线上一点，且.若的面积为，则双曲线的离心率为_____________
三、解答题：本大题共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17.（10分）
在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数）.以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.
（1）求的直角坐标方程；
（2）设点的直角坐标为，与的交点为，，求的值.
18.（12分）
中国茶文化源远流长，历久弥新，生生不息.某学校高中一年级某社团为了解人们喝茶习惯，利用课余时间随机对400个人进行了调查了解，得到如下列联表：
不经常喝茶 经常喝茶 合计
男 50 200 250
女 50 100 150
合计 100 300 400
（1）通过计算判断，有没有99%的把握认为是否“经常喝茶”与性别有关系
（2）根据样本数据，在“经常喝茶”的人中按性别用分层抽样的方法抽取了6人.若从这6人中随机选择2人进行访谈，求所抽取的2人中至少有1名女性的概率.
附表及公式
0.15 0.10 0.05 0.010 0.005 0.001
2.072 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
其中，.
19.（12分）
已知函数.
（1）求曲线在处的切线方程；
（2）若时，单调递增，求的取值范围
20.（12分）
已知双曲线：实轴长为2，左、右两顶点分别为，，上的一点分别与，连线的斜率之积为3.
（1）求的方程；
（2）经过点的直线分别与的左、右支交于，两点，为坐标原点，的面积为，求的方程.
21.（12分）
已知抛物线：焦点为，为上的动点，位于的上方区域，且的最小值为3.
（1）求的方程；
（2）过点作两条互相垂直的直线和，交于，两点，交于，两点，且，分别为线段和的中点.直线是否恒过一个定点 若是，求出该定点坐标；若不是，说明理由.
22.（12分）
已知函数.
（1）若，求的极值；
（2）若，，求的取值范围.资阳市 2022- 2023学年度高中二年级第二学期期末质量监测
文科数学参考答案和评分意见
注意事项：
1．本解答给出了一种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考
查内容比照评分参考制定相应的评分细则。
2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内
容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分
数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分。
3． 解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数。
4． 只给整数分。选择题和填空题不给中间分。
一、选择题：本题共 12小题，每小题 5分，共 60分。
1- 5：CAADD；6- 10：BBADC；11- 12：AD
二、填空题：本大题共 4小题，每小题 5分，共 20分。
13． π6 ； 14．
π
3 ； 15．
5
2； 16． 2
三、解答题：本大题共 70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17． (10分)
(1)由 ρ= 4cosθ，得 ρ2= 4ρcosθ．
x= ρcosθ,
将 = 代入得，x
2+y2= 4x， 2分
y ρsinθ
即C的直角坐标方程为 (x- 2)2+y2= 4． 4分
(2)设A，B所对应的参数分别为 t1，t2，
x= 2
因为 l的参数方程为 2 t, (t为参数)，y=-1+ 22 t
把 l的参数方程代入 x2-4x+ y2= 0可得 t2-3 2t+ 1= 0， 6分
所以Δ= (3 2)2-4> 0，t1+t2= 3 2> 0，t1t2= 1> 0，则 t1> 0，t2> 0，
1 + 1 = |MA| +|MB| = |t1| +|t2| = t1+t所以 2| | | | | || | t t = 3 2． 10分 MA MB MA MB t1 t2 1 2
18． (12分)
(1)由题，
2= 400× (50× 100- 50× 200)
2
得K 80100× 300× 150× 250 = 9 ≈ 8.89> 6.635， 4分
文科数学答案 第 1页（共 4页）
{#{QQABaAYQYCAAogggCCAAAAABAIAABQBBCUEwUHgyCkAEGQQkkghGEACCCCAggGGgREFAAccssEEIACAQCBFAFABBCCA=A}=#}}#}
因此，有 99%的把握认为“经常喝茶”与性别有关系． 6分
(2)这 6人中男性 4人，记为A1，A2，A3，A4，女性 2人，记为B1，B2，
从这 6人中选取 2人所有基本事件有：(A1，A2)，(A1，A3)，(A1，A4)，(A1，B1)，(A1，B2)，
(A2，A3)，(A2，A4)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A3，A4)，(A3，B1)，(A3，B2)，(A4，B1)，(A4，B2)，(B1，
B2)，共 15个．其中至少有一名女性的基本事件有 9个．
所求概率P= 9 315 = 5． 12分
19． (12分)
(1)由 f(x) = ex-ax2+1，得 f (x) = ex-2ax，
则 f (0) = 1，又 f(0) = 2， 2分
所以曲线 y= f(x)在 (0,f(0))处的切线方程为 y= x+ 2. 4分
(2)因为 x∈ (0,+∞)时，f(x)单调递增，
所以 x∈ (0,+∞)时，f (x) = ex-2ax≥ 0恒成立， 6分
x
即 2a≤ ex 在 x∈ (0,+∞)时恒成立，
x x
设 g(x) = ex ，则 g
( ) = (x- 1)ex 2 ，x
则 0< x< 1时，g (x)< 0，x> 1时，g (x)> 0，
可知 x= 1时，g(x)取极小值 g(1) = e，该极小值也即为 (0,+∞)上的最小值， 10分
所以 2a≤ e，即 a≤ e2，
所以 x∈ (0,+∞)，f(x)单调递增时，a的取值范围是 (-∞, e2 ]． 12分
20． (12分)
y2
（1）由题 a= 1，不妨设点A1(-1,0)，A2(1,0)，C的方程为 x2- 2 = 1． 2分b
y2
因为P(x0，y0)在C上，则 x2- 00 2 = 1，即有 y
2 2 2
0= b (x0-1)， 3分b
则P(x0，y0)分别与A1，A2连线的斜率之积为
y y y2 2 20 0 = 0 = b (x0-1) = b2x 2 = 3,0+1 x0-1 x0-1 x20-1
y2
所以C的方程为 x2- 3 = 1． 5分
（2）由题知，直线 l的斜率存在，设为 k，则 l的方程为 y= kx+ 1，
y= kx+ 1，联立方程组 y2 消去 y，得 (3- k
2)x2-2kx- 4= 0， 6分
x2- 3 = 1，
令M (x1,y1)，N (x2,y2),则 x1+x2= 2k ，x x = -43- k2 1 2 3- k2
，
因为直线 l分别交C的左、右支于M，N两点，
文科数学答案 第 2页（共 4页）
{#{QQABAaYQYCAAogggCCAAAAABAIAABQBBCUEwUHgyCkAEGQQkkghGEACCCCAggGGgREFAAccssEEIACAQCFBAFABBCCA=A}=#}}#}
则△= 4k2+16(3- k2)> 0，x -41x2= 2 < 0，则- 3< k< 3， 8分3- k
△OMN的面积S= 12 x1-x2 = 6, 9分
则 x1-x 2= (x +x )2-4x x = ( 2k )2+ 162 1 2 1 2 = 24，3- k2 3- k2
解得 k2= 2或 72（舍去），则 k=± 2， 11分
所以 l的方程为 y=± 2x+ 1． 12分
21． (12分)
(1) p抛物线G的准线方程为 l:x=- 2，设R到 l的距离为 d，
由于K(1,2)位于G的上方区域，根据抛物线定义，
则 |RK | +|RF| = |RK | +d≥ 2+ p2， 3分
所以 |RK | +|RF| + p p的最小值为 2 2，则 2+ 2 = 3，
解得 p= 2，
所以轨迹G的方程为 x2= 4y． 5分
(2)由题意可知，直线 l1和 l2斜率都存在且均不为 0，
设直线 l1的方程为 y= kx+ 2，则直线 l2的方程为 y=- 1 x+ 2，k
y= kx+ 2，
联立方程组 2 2 消去 y并整理得，x -4kx- 8= 0， 6分x = 4y
则Δ= (-4k)2+32= 16k2+32> 0，
设A(x1,y1)，B(x2,y2)，则 x1+x2= 4k，x1 x2=-8， 7分
所以，y +y = k(x +x ) + 4= 4k21 2 1 2 +4，
因为M为AB中点，所以M (2k,2k2+2)， 8分
同理，N - 2 , 22 + 2 ， 9分k k
所以，直线MN的方程为
2k2+2- 22 + 2
y- (2k2
k +2) = 2 x- 2k = k- 1 x- 2k ，2k+ kk
整理得 y= k- 1 x+ 4，k
所以，直线MN恒过定点 (0,4)． 12分
22． (12分)
(1)a=-e时，由 f(x) = (x- 1)ex-ex+ 1，得 f (x) = xex-e， 1分
令 g(x) = xex-e，g(1) = 0，则 g (x) = (x+ 1)ex，
知 x<-1时，g (x)< 0，g(x)单调递减，且 g(x)< 0；x>-1时，g (x)> 0，g(x)单调递增，
3分
由于 g(1) = 0，所以 x< 1时，g(x)< 0，即 f (x)< 0；x> 1时，g(x)> 0，即 f (x)> 0，
文科数学答案 第 3页（共 4页）
{#{QQABaAYQYCAAogggCCAAAAABAIAABQBBCUEwUHgyCkAEGQQkkghGEACCCCAggGGgREFAAccssEEIACAQCFBAFABCBCAA=}=#}}#}
所以 x= 1时，f(x)取得极小值 f(1) = 1- e，无极大值． 5分
(2)令 h(x) = (x- 1)ex+ax- 2sinx+ 1，原不等式即为 h(x)≥ 0，
可得 h(0) = 0，h (x) = xex+a- 2cosx，h (0) = a- 2， 6分
令 u(x) = h (x) = xex+a- 2cosx，则 u (x) = (x+ 1)ex+2sinx，
又设 t(x) = (x+ 1)ex，则 t (x) = (x+ 2)ex，则 x≥ 0，t (x)> 0，可知 t(x)单调递增，
若 x∈ [0，π)，有 (x+ 1)ex> 0，sinx> 0，则 u (x)> 0；
若 x∈ [π，+∞)，有 (x+ 1)ex>(π+ 1)eπ> 2，则 u (x)> 0，
所以，x≥ 0，u (x)> 0，则 u(x)即 h (x)单调递增，
ⅰ)当 a- 2≥ 0即 a≥ 2时，h (x)≥ h (0)≥ 0，则 h(x)单调递增，
所以，h(x)≥ h(0) = 0恒成立，则 a≥ 2符合题意． 9分
ⅱ)当 a- 2< 0即 a< 2时，
h (0)< 0，h (3- a) = (3- a)e(3-a)+a- 2cos(3- a)≥ 3- a+ a- 2cos(2- a)> 0，
存在 x0∈ (0，3- a)，使得 h (x0) = 0，
当 0< x< x0时，h (x)< 0，则 h(x)单调递减，所以 h(x)< h(0) = 0，与题意不符．
综上所述，a的取值范围是 [2，+∞)． 12分
文科数学答案 第 4页（共 4页）
{#{QQABAaYQYCAAogggCCAAAAABAIAABQBBCUEwUHgyCkAEGQQkkghGEACCCCAggGGgREFAAccssEEIACAQCBFAFABCBCAA=}=#}}#}
