2022-2023学年湖南省长沙市浏阳市高二（下）期末数学试卷（含解析）

2022-2023学年湖南省长沙市浏阳市高二（下）期末数学试卷
一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 已知集合，，则等于( )
A. B. C. D.
2. 已知复数，其中为虚数单位，则复数的实部与虚部之和为( )
A. B. C. D.
3. 若向量，满足，，则向量在向量上的投影向量为( )
A. B. C. D.
4. 若不等式对任意实数均成立，则实数的取值范围是( )
A. B.
C. ， D.
5. 今天是星期四，经过天后是星期( )
A. 二 B. 三 C. 四 D. 五
6. 的展开式中的系数为( )
A. B. C. D.
7. 设随机变量，若，则( )
A. B. C. D.
8. 数学对于一个国家的发展至关重要，发达国家常常把保持数学领先地位作为他们的战略需求现某大学为提高数学系学生的数学素养，特开设了“古今数学思想”，“世界数学通史”，“几何原本”，“什么是数学”四门选修课程，要求数学系每位同学每学年至多选门，大一到大三三学年必须将四门选修课程选完，则每位同学的不同选修方式有( )
A. 种 B. 种 C. 种 D. 种
二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）
9. 特值法就是选取一个恰当的特殊值代替一般的情况，将复杂或抽象的问题简单化具体化的方法，例如：若是定义域为的奇函数，且是偶函数，，则可以选择，由此计算出结果已知函数是定义域为的偶函数，且，是奇函数，则( )
A. B. C. D.
10. 双曲线的离心率为，双曲线的离心率为，则的值不可能是( )
A. B. C. D.
11. 若，则下列结论正确的是( )
A. B. C. D.
12. 有台车床加工同一型号的零件，第台加工的次品率为，第，台加工的次品率均为，加工出来的零件混放在一起．已知第，，台车床的零件数分别占总数的，，，则下列选项正确的有( )
A. 任取一个零件是第台生产出来的次品概率为
B. 任取一个零件是次品的概率为
C. 如果取到的零件是次品，且是第台车床加工的概率为
D. 如果取到的零件是次品，且是第台车床加工的概率为
三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13. 计算______．
14. 已知，若，则 ______ ．
15. 为了学习宣传党的二十大精神，某校学生理论宣讲团赴社区宣讲，已知有名男生，名女生，从人中任选人，则恰有名男生名女生的概率为______ ．
16. 埃及金字塔是地球上的古文明之一，随着科技的进步，有人幻想将其中一座金字塔整体搬运到月球上去，为了便于运输，某人设计的方案是将它放入一个金属球壳中，已知某座金字塔是棱长均为的正四棱锥，那么设计的金属球壳的表面积最小值为______ 注：球壳厚度不计．
四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. 本小题分
已知的内角、，所对的边分别为、、，且．
Ⅰ求角的值．
Ⅱ若的面积为，且，求的值．
18. 本小题分
列式并计算数值．
从，，等人中选出人排成一排．
必须在内，有多少种排法？
，，三人不全在内，有多少种排法？
，，都在内，且，必须都邻，与，都不相邻，都多少种排法？
不允许站排头和排尾，不允许站在中间第三位，有多少种排法？
19. 本小题分
如图，正三棱柱中，，分别是棱，上的点，．
证明：平面平面；
若，求二面角的余弦值．
20. 本小题分
设函数．
若不等式的解集为，求，的值；
若，求不等式的解集．
21. 本小题分
某芯片公司为制订下一年的研发投入计划，需了解年研发资金投入量单位：亿元对年销售额单位：亿元的影响，该公司对历史数据进行对比分析，建立了两个函数模型：，，其中，，，均为常数，为自然对数的底数现该公司对收集的近年的年研发资金投入量和年销售额的数据作了初步处理，令，，经计算得到如下数据：
设和的样本相关系数为，和的样本相关系数为，请从样本相关系数精确到的角度判断，哪个模型拟合效果更好；
根据的选择及表中数据，建立关于的非线性经验回归方程；
(ⅱ)若下一年销售额需达到亿元，预测下一年的研发资金投入量约为多少亿元？
参考数据为，，．
相关系数．
22. 本小题分
某中学对学生钻研理工课程的情况进行调查，将每周独立钻研理工课程超过小时的学生称为“理工迷”，否则称为“非理工迷”，从调查结果中随机抽取人进行分析，得到数据如表所示：
理工迷 非理工迷 总计
男
女
总计
根据的独立性检验，能否认为“理工迷”与性别有关联？
在人工智能中常用表示在事件发生的条件下事件发生的优势，在统计中称为似然比现从该校学生中任选一人，表示“选到的学生是非理工迷”，表示“选到的学生是男生”请利用样本数据，估计的值．
现从“理工迷”的样本中，按分层抽样的方法选出人组成一个小组，从抽取的人里再随机抽取人参加理工科知识竞赛，求这人中，男生人数的概率分布列及数学期望．
参考数据与公式：
，其中．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：，，
，
故选：．
由与，求出与的交集即可．
本题主要考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键，属于基础题．
2.【答案】
【解析】解：由题意得，，
所以实部为，虚部为，实部与虚部之和为．
故选：．
利用复数的四则运算法则计算出，得到实部和虚部，得到答案．
本题主要考查复数的四则运算，属于基础题．
3.【答案】
【解析】解：设向量与的夹角为，
则，
则在上的投影向量为．
故选：．
由向量的数量积公式求得向量夹角的余弦值，再代入投影向量公式即可求得向量在向量上的投影向量．
本题主要考查投影向量的公式，属于基础题．
4.【答案】
【解析】
【分析】
即，分，两种情况讨论，时易验证成立；当时，有，解出可得．
本题考查一元二次不等式的解法，不等式的恒成立问题，属基础题．
【解答】
解：即，
当，即时，不等式为成立；
当时，有，解得；
综上，的取值范围是，
故选B．

5.【答案】
【解析】解：因为
，
所以展开式的前项都可以被整除，被整除余，
则经过天后星期三．
故选：．
将已知化为，然后利用二项式定理展开，利用整除的性质以及周期的性质即可求解．
本题考查了二项式定理的应用，涉及到整除以及周期的性质，考查了学生的运算能力，属于基础题．
6.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，属于中档题．
把和，按照二项式定理展开，可得的系数．
【解答】
解： ，
故它的展开式中的系数为，
故选：．

7.【答案】
【解析】解：随机变量，
是该正态分布密度曲线的对称轴，
．
故选：．
利用正态分布密度曲线关于对称的特点，可知与关于对称，即可求出所求的概率．
本题考查正态分布密度曲线的性质，要注意密度曲线对称性的应用．属于基础题．
8.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查排列组合的应用，涉及分步分类计数原理的应用．
根据题意，分步进行分析：将四门选修课程为组，将分好的三组安排在三年内选修，由分步乘法计数原理计算可得答案．
【解答】
解：根据题意，分步进行分析：
将四门选修课程分为组，
若分为、、的三组，有种分组方法，
若分为、、的三组，有种分组方法，
若分为、、的三组，有种分组方法
则一共有种分组方法，
将分好的三组安排在三年内选修，有种情况，
则有种选修方式，
故选B．

9.【答案】
【解析】解：因为函数是定义域为的偶函数，且，是奇函数，
可选择，
则，A正确；
，B错误；
，C正确；
，D正确．
故选：．
由已知结合常见三角函数的性质检验各选项即可判断．
本题主要考查了三角函数性质的应用，属于基础题．
10.【答案】
【解析】解：
，
当且仅当即时取等号，
．
故选：．
根据双曲线的离心率表示，利用基本不等式即可得出范围，求得所求范围．
本题主要考查双曲线的性质，考查运算求解能力，属于中档题．
11.【答案】
【解析】解：由，变形得到，
令，显然在上为增函数，
所以，显然B正确；
选项，若或时，不满足要求，舍去；
选项，，故，C正确；
选项，不妨设，，则，
即，D错误．
故选：．
将不等式变形后得到，构造函数，根据函数的单调性得到，从而可举出反例，可根据函数单调性得到．
本题考查构造函数，利用单调性比大小，属于基础题．
12.【答案】
【解析】解：记事件：车床加工的零件为次品，记事件：第台车床加工的零件，
则，，，，，
对于，任取一个零件是第台生产出来的次品概率为，故A错误；
对于，任取一个零件是次品的概率为，故B正确；
对于，如果取到的零件是次品，且是第台车床加工的概率为，故C正确；
对于，如果取到的零件是次品，且是第台车床加工的概率为，故D正确；
故选：．
记事件：车床加工的零件为次品，记事件：第台车床加工的零件，则，，，，，再依次求选项中的概率即可．
本题考查条件概率公式，属于基础题．
13.【答案】
【解析】解：由题意可得，，解得，
再由可得，
，
故答案为．
由题意可得，，结合可得，从而求得 的值．
本题主要考查组合数及组合数的计算公式的应用，属于基础题．
14.【答案】
【解析】解：，
，解得．
故答案为：．
由题意，根据二项式展开式的通项公式求出的值．
本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，属于基础题．
15.【答案】
【解析】解：从人中任选人的事件个数为，
恰有名男生名女生的事件个数为，
则恰有名男生名女生的概率为．
故答案为：．
根据古典概型求解即可．
略
16.【答案】
【解析】解：由题意，要使金属球壳的表面积最小，则金属球是正四棱锥的外接球．
如图所示，在正四棱锥中，，，
为其外接球的球心，连接与相交点于，连接，
为顶点在底面上的投影，即为正方形的中心，

设球的半径为，表面积为，则在正方形中，
，
在中，，
则，在中，，，，
因为，所以，
化简得，则，
所以外接球的表面积为．
故答案为：．
由已知分析需求正四棱锥的外接球的半径，根据正四棱锥的性质和外接球的性质，构造直角三角形，利用勾股定理，求得外接球的半径，从而求出金属球壳的表面积的最小值．
本题考查空间几何体的外接球的表面积的求法，属中档题．
17.【答案】解：Ⅰ由，得，即，
，
，
又，
，故．
Ⅱ由面积，得，
又，
，，
由余弦定理，
．
【解析】Ⅰ由三角形内角和为去掉，二倍角公式化简可得，从而求出；
Ⅱ代入三角形面积公式可得，结合条件解出，，余弦定理求．
本题主要考查了三角形的面积公式，余弦定理，三角函数恒等变换在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于基础题．
18.【答案】解：根据题意，先在除之外的人中选出人，再与一起进行全排列，有种排法，
根据题意，先在人中任选人，要求，，三人不全在内，有种选法，
再将选出的人排成一排，有种顺序，
则有种排法，
根据题意，分步进行分析：
先在除，，之外的人中任选人，排成一排，有种情况，
人排好后，有个空位，将看成一个整体，按排其中一个空位，有种情况，
在剩下的个空位中任选个安排，有种情况，
有种不同的排法，
根据题意，分种情况讨论：
将安排在排头或排尾，在除之外的其余人中选出人，与安排在排头和排尾，再从剩下的人中选出人，安排在中间个位置，
有种排法，
没有将将安排在排头或排尾，在除之外的其余人中选出人，安排在排头和排尾，中间有种安排方法，再从剩下的人中选出人，安排在其他个位置，
有种排法，
则有种不同的排法．
【解析】根据题意，先在除之外的人中选出人，再与一起进行全排列，由分步计数原理计算可得答案，
根据题意，先在人中任选人，要求，，三人不全在内，再将选出的人排成一排，由分步计数原理计算可得答案，
根据题意，分步进行分析：先在除，，之外的人中任选人，排成一排，人排好后，有个空位，将看成一个整体，按排其中一个空位，在剩下的个空位中任选个安排，由分步计数原理计算可得答案，
根据题意，分种情况讨论：将安排在排头或排尾，没有将将安排在排头或排尾，求出每种情况的安排方法数目，由加法原理计算可得答案．
本题考查排列组合的应用，涉及分步、分类计数原理的应用，属于基础题．
19.【答案】证明：取的中点，连接，
在正三棱柱中，不妨设，；
以为原点，分别为轴和轴正方向，建立空间直角坐标系，如图所示，
则，，
；
设平面的一个法向量为，则，
即，取得．
设平面的一个法向量为，则，，
取，则，即；
因为，所以平面平面；
解：因为，由可得，即，
易知平面的一个法向量为，
；
二面角的余弦值为．
【解析】建立空间直角坐标系，求解两个平面的法向量，利用法向量证明面面垂直；
求出两个平面的法向量，利用法向量的夹角求出二面角的余弦值．
本题主要考查二面角的平面角及其求法，考查转化能力，属于中档题．
20.【答案】解：函数，
由不等式的解集为，得，
且和是方程的两根；
则，
解得，；
时，不等式为，
可化为，则
当时，不等式为，解得；
当时，不等式化为，
令，得，
当时，，解不等式得或；
当时，不等式为，解得；
当时，，解不等式得或；
当时，不等式化为，且，
解不等式得；
综上知：当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为．
【解析】由题意知和是方程的两根，利用根与系数的关系列方程组求出、的值；
时不等式可化为，讨论和、时，分别求出不等式的解集即可．
本题考查了含有字母系数的一元二次不等式解法与应用问题，也考查了分类讨论思想，是中档题．
21.【答案】解：该公司对历史数据进行对比分析，建立了两个函数模型：，，其中，，，均为常数，为自然对数的底数，
设和的样本相关系数为，和的样本相关系数为，
，
，
因为，所以从样本相关系数的角度判断，模型的拟合效果更好；
先建立关于的经验回归方程，
由，得，即，
，
，
所以关于的经验回归方程为，
所以，关于的非线性经验回归方程为；
若下一年销售额需达到亿元，则由，得，
又，所以，所以，
所以预测下一年的研发资金投入量约为亿元．
【解析】根据已知条件及上表中的数据，计算相关系数，再比较它们的大小即可求解；
先建立关于的线性回归方程，再转化为关于的回归方程；
利用回归方程计算时的值即可．
本题考查了样本相关系数和回归方程的计算，属于中档题．
22.【答案】解：提出假设：“理工迷”与性别无关．
则，而，
根据的独立性检验，可以推断成立，所以认为理工迷与性别无关．
因为，
所以估计的值为．
按照分层抽样，男生抽取人，女生抽取人，
随机变量的所有可能取值为，，，
所以，，，
所以的分布列为：
则．
【解析】计算出卡方，即可判断；
根据条件概率公式计算可得；
首先利用分层抽样求出男生、女生抽取的人数，则的所有可能取值为，，，求出所对应的概率，从而得到分布列与数学期望．
本题考查离散型随机变量的分布列以及数学期望相关知识，属于中档题．
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