2022-2023学年河北省邯郸市高二（下）期末数学试卷（含解析）

2022-2023学年河北省邯郸市高二（下）期末数学试卷
一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2. 已知复数，且，其中，为实数，则( )
A. ， B. ，
C. ， D. ，
3. 已知向量满足，则( )
A. B. C. D.
4. 开普勒第一定律也称椭圆定律、轨道定律，其内容如下：每一行星沿各自的椭圆轨道环绕太阳，而太阳则处在椭圆的一个焦点上将某行星看作一个质点，绕太阳的运动轨迹近似成曲线，行星在运动过程中距离太阳最近的距离称为近日点距离，距离太阳最远的距离称为远日点距离若行星的近日点距离和远日点距离之和是距离单位：亿千米，近日点距离和远日点距离之积是，则( )
A. B. C. D.
5. 如图，在四棱台中，正方形和的中心分别为和，平面，，，，则直线与直线所成角的正切值为( )
A. B. C. D.
6. 已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则不等式的解集是( )
A. B.
C. D.
7. 在一个宫格中，有如图所示的初始数阵，若从中随机选择个宫格，将其相应的数字变成相反数，得到新的数阵，则新的数阵中所有数字之和为的概率为( )
A. B. C. D.
8. 已知，，则( )
A. B. C. D.
二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）
9. 函数的部分图象如图所示，则( )
A.
B.
C.
D.
10. 某校为了了解学生的身体素质，对届初三年级所有学生仰卧起坐一分钟的个数情况进行了数据统计，结果如图所示该校届初三学生人数较届初三学生人数上升了，届初三学生仰卧起坐一分钟的个数分布条形图如图所示，则( )
A. 该校届初三年级学生仰卧起坐一分钟的个数在内的学生人数占
B. 该校届初三学生仰卧起坐一分钟的个数在内的学生人数比届初三学生仰卧起坐一分钟个数同个数段的学生人数的倍还多
C. 该校届初三学生仰卧起坐一分钟的个数和届初三学生仰卧起坐一分钟个数的中位数均在内
D. 相比届初三学生仰卧起坐一分钟个数不小于的人数，届初三学生仰卧起坐一分钟个数不小于的人数占比增加
11. 已知函数，若过点恰能作条曲线的切线，则的值可以为( )
A. B. C. D.
12. 如图，卢卡帕乔利肖像是意大利画师的作品图中左上方悬着的是一个水晶多面体，其表面由个全等的正方形和个全等的正三角形构成，该水晶多面体的所有顶点都在同一个正方体的表面上，如图若，则( )
A.
B. 该水晶多面体外接球的表面积为
C. 直线与平面所成角的正弦值为
D. 点到平面的距离为
三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13. 已知圆的圆心为点，且经过原点，则圆的标准方程为______ ．
14. 已知，，则的取值可以是______ 写出一个即可
15. 已知，，且，则的最小值为______ ．
16. 已知抛物线：的准线与轴交于点，过的直线与交于，两点若，则直线的斜率为______ ．
四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. 本小题分
在中，角，，的对边分别为，，，已知，，且．
求；
求的面积．
18. 本小题分
在数列中，，，且．
求数列的通项公式；
在数列中，满足为正整数的项有项，求数列的前项和．
19. 本小题分
如图，在四棱锥中，平面，底面为直角梯形，，，，，分别为棱，的中点，．
证明：，，，四点共面．
求平面与平面的夹角的大小．
20. 本小题分
世界卫生组织建议成人每周进行至小时的中等强度运动已知社区有的居民每周运动总时间超过小时，社区有的居民每周运动总时间超过小时，社区有的居民每周运动总时间超过小时，且，，三个社区的居民人数之比为：：．
从这三个社区中随机各选取名居民，求至少有名居民每周运动总时间超过小时的概率；
从这三个社区中随机抽取名居民，求该居民每周运动总时间超过小时的概率；
假设这三个社区每名居民每周运动总时间为随机变量单位：小时，且，现从这三个社区中随机选取名居民，求该居民每周运动总时间为至小时的概率．
21. 本小题分
已知双曲线：经过点，双曲线的右焦点到其渐近线的距离为．
求双曲线的方程；
已知，为的中点，作的平行线与双曲线交于不同的两点，，直线与双曲线交于另一点，直线与双曲线交于另一点，证明：，，三点共线．
22. 本小题分
已知函数．
若是增函数，求的取值范围；
若在上恒成立，求的取值范围．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：集合，，
则．
故选：．
求出集合，利用并集定义能求出．
本题考查集合的运算，考查并集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
2.【答案】
【解析】解：因为，所以，
由，得，即．
故选：．
根据复数加减法运算规则和复数相等的定义求解．
本题主要考查共轭复数的定义，属于基础题．
3.【答案】
【解析】解：已知向量满足，
则，
即，
则．
故选：．
由平面向量数量积的运算，结合平面向量的模的运算求解即可．
本题考查了平面向量数量积的运算，重点考查了平面向量的模的运算，属基础题．
4.【答案】
【解析】解：设椭圆的方程：，，设为半焦距，由题意，，
由椭圆的性质可得，可得，，
所有．
故选：．
设椭圆的标准方程，由题意可得，的值，进而求出的大小．
本题考查椭圆的性质的应用，属于基础题．
5.【答案】
【解析】解：连接，，作，垂足为，
即直线与直线所成的角，
．
故选：．
作出直线与直线所成角，解直角三角形求得其正切值．
本题考查了异面直线所成的角的求解，属于基础题．
6.【答案】
【解析】解：当时，，则，
，，即在上单调递增，
又函数是定义在上的奇函数，则在上单调递增，且，
则，，
作出草图，如图所示：
不等式，则或，
由图象得或，即原不等式的解集为．
故选：．
由题意得在上单调递增，结合题意可得在上单调递增，且，，，作出草图，即可得出答案．
本题考查利用导数研究函数的单调性，考查转化思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
7.【答案】
【解析】解：初始数阵中所有数字之和为，
设选择的个宫格的数字为，，
则，
所以，
所以选择的个宫格的数字有，，，，共种情况，
所以新的数阵中所有数字之和为的概率为．
故选：．
设选择的个宫格的数字为，，由题意可知，所以选择的个宫格的数字有，，，，共种情况，再利用古典概型的概率公式求解即可．
本题主要考查了古典概型的概率公式，属于基础题．
8.【答案】
【解析】解：已知，，
因为，
所以，
则，
又，
则，
所以，
不妨设，函数定义域为，
可得，
当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
因为，
所以，
此时，
则，
整理得，
所以，
综上，．
故选：．
根据，，得到，构造函数，对函数进行求导，得到函数的单调性，由，得到，结合函数单调性得到，此时，再求解即可．
本题考查利用导数研究函数单调性以及对数值的大小比较，考查了逻辑推理、转化思想和运算能力．
9.【答案】
【解析】解：根据函数的部分图象，可得，
，．
再跟五点法作图，可得，可得，
．
故选：．
由图象的顶点坐标求出，由周期求出值，根据五点法作图求出，可得函数的解析式．
本题主要考查根据函数的部分图象求函数的解析式，由图象的顶点坐标求出，由周期求出值，根据五点法作图求出，可得函数的解析式，属于基础题．
10.【答案】
【解析】解：选项，由图可知，届初三年级学生仰卧起坐一分钟的个数在内的学生人数频率为，A正确；
选项，设届初三学生人数为，由图可知，届初三学生仰卧起坐一分钟的个数在内的学生人数为，
届初三学生仰卧起坐一分钟的个数在内的学生人数为，，B正确；
选项，届初三学生仰卧起坐一分钟个数的中位数在内，届初三学生仰卧起坐一分钟个数的中位数在内，C错误；
选项，届初三学生仰卧起坐一分钟个数不小于的人数占，届初三学生仰卧起坐一分钟个数不小于的人数占，D正确．
故选：．
根据统计图逐项判断即可得出结论．
本题考查由频数分布表、直方图求频数、频率，考查频率公式，属于基础题．
11.【答案】
【解析】解：由，得，
设切点为，则过切点的切线方程为，
把点代入，可得，
整理得：．
令，则，
则当时，，当时，，
可得的增区间为，，减区间为．
的极大值为，极小值为，
又当时，，时，，
要使过点恰能作条曲线的切线，则的值可以为或．
故选：．
设切点坐标，利用导数求出过切点的切线方程，代入点坐标，可得关于切点横坐标的关系式，再由导数求极值得答案．
本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，训练了利用导数求极值，考查运算求解能力，是中档题．
12.【答案】
【解析】解：由水晶多面体的结构特征可得，
进而可得，故A错误；
在水晶多面体在大正方体的对面的两个正方形构成的长方体的外接球，
即为该水晶多面体外接球，
设外接球的半径为，由题意可得，
，故该水晶多面体外接球的表面积为，故B正确；
，到平面的距离即为点到平面的距离，
设点到平面的距离为，
由，，
解得，点到平面的距离为，故D正确；
直线与平面所成角的正弦值为，故C正确．
故选：．
根据空间几何体的特征，根据每个选项的条件进行计算可判断其正确性．
本题考查空间几何体的性质，考查转化思想，属中档题．
13.【答案】
【解析】解：圆的圆心为点，且经过原点，故圆的半径为；
故圆的方程为．
故答案为：．
直接利用圆的定义求出圆的方程．
本题考查的知识要点：圆的方程的求法，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于基础题．
14.【答案】或或或
【解析】解：因为，
所以，
即，
则或，
所以或，，
因为，
所以的取值可以是或或或．
故答案为：或或或
利用二倍角公式化简已知等式可得或，可求或，，结合，即可得解．
本题考查了二倍角公式在三角函数求值中的应用，属于基础题．
15.【答案】
【解析】解：因为，，设，
所以，，
，，
，
当且仅当，即，，时取“”，
即，
所以的最小值为．
故答案为：．
设，利用换底公式求出，，再求，利用基本不等式即可求出的最小值．
本题考查了对数的运算性质应用问题，也考查了推理与运算能力，是中档题．
16.【答案】
【解析】解：设直线的方程为，，，
联立，得．
，解得或．
由韦达定理得，
又，，即为中点，
所以，解得，．
故直线的斜率为．
故答案为：．
设直线的方程为，，，联立，利用韦达定理可得，再结合向量坐标关系即可求解．
本题主要考查抛物线的性质，直线与抛物线的综合，考查运算求解能力，属于中档题．
17.【答案】解：因为，由正弦定理可得，
因为，所以，即，
因为，所以．
因为，，
所以由余弦定理，可得，
解得，
所以的面积．
【解析】由正弦定理可得，从而可得，进而可得的值；
由余弦定理可求得，再由面积公式求解即可．
本题主要考查正余弦定理在解三角形中的应用，考查运算求解能力，属于中档题．
18.【答案】解：由，得，所以数列是等差数列，
所以，即，
所以数列的公差为，
所以；
结合可知，
所以．
【解析】由，得，所以数列是等差数列，而后根据其他条件求出公差，再求出数列通项公式即可；
结合求出的通项公式，而后求出数列的前项和．
本题主要考查等差和等比数列相关性质，属中档题．
19.【答案】解：证明：因为平面，，平面，
所以，，
又底面为直角梯形，，
故以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，
则，，，
设，
则，
解得，
所以，
故A，，，四点共面．
设是平面的法向量，
则，
则可取，
取的中点，则，连接，
又因为，
所以，
又由可知，，，
且，平面，平面，
所以平面，
又，
所以平面，
又平面，
所以，
又，平面，平面，
所以平面，即平面的一个法向量为，
所以．
故平面与平面的夹角的大小为．
【解析】建立空间直角坐标系，只需证明存在，，使，即可得到，，，四点共面；
分别求出平面与平面的法向量，从而根据夹角公式即可得解．
本题考查利用空间向量证明四点共面以及求解二面角的大小，考查空间想象能力，推理论证能力和运算求解能力，考查直观想象和数学运算等核心素养，属于中档题．
20.【答案】解：设从，，三个社区中各选取的名居民的每周运动总时间超过小时分别为事件，，，
则．
设选取的名居民中至少有名居民每周运动总时间超过小时为事件，
则事件的对立事件为选取的名居民每周运动总时间都没有超过小时，
所以，
故选取的名居民中至少有名居民每周运动总时间超过小时的概率为．
设，，三个社区的居民人数分别为，，，
则社区每周运动总时间超过小时的人数为，
社区每周运动总时间超过小时的人数为，
社区每周运动总时间超过小时的人数为，
所以，
故从这个社区中随机抽取名居民且每周运动总时间超过小时的概率．
因为，所以．
因为，所以，
所以．
【解析】根据概率公式，先算出该居民是各社区且每周运动时间没有超过小时的概率，由对立事件的概率公式求解即可；
由于，，三个社区的居民人数之比为：：，设出三个社区的居民人数，计算出各社区每周运动总时间超过小时的人数，然后由频率估计概率即可；
由正态分布的性质结合条件求解即可．
本题考查离散型随机变量的应用，属于中档题．
21.【答案】解：因为双曲线的渐近线方程为，
所以双曲线的右焦点到其渐近线的距离为，
因为双曲线经过点，所以，解得，
故双曲线的方程为．
证明：因为，，为的中点，所以，，
设直线的方程为，，，，，
所以，，
直线的方程为，
直线的方程为，
联立，
可得，
所以，
又因为，所以，
则，，
同理可得，．
，
，
所以，故，，三点共线．
【解析】根据双曲线的渐近线方程和点到直线的距离公式求解；
利用韦达定理以及斜率公式证明三点共线．
本题主要考查双曲线的性质及标准方程，直线与双曲线的综合，考查运算求解能力，属于难题．
22.【答案】解：已知，函数定义域为，
可得，
若是增函数，
此时在定义域上恒成立，
即在上恒成立，
不妨设，函数定义域为，
可得，单调递增，
此时，
则，
故的取值范围为；
若在上恒成立，
即在上恒成立，
不妨设，函数定义域为，
可得，
当时，，，，，
所以，单调递增，
此时，符合题意；
当时，
不妨设，函数定义域为，
可得，
所以在定义域上单调递增，
此时，
当，即时，在上恒成立；
所以在上单调递增，
则，符合题意；
当，即时，存在，使得当时，，
即在上单调递减，
此时，不符合题意，
综上，满足条件的的取值范围为．
【解析】由题意，对函数进行求导，将是增函数转化成在上恒成立，构造函数，对进行求导，利用导数得到的单调性和最值，进而即可求解；
将问题转化成在上恒成立，构造函数，对函数进行求导，分别讨论当和这两种情况，利用零点存在性定理进行求解即可．
本题考查利用导数研究函数单调性以及函数恒成立问题，考查了逻辑推理、转化思想、分类讨论和运算能力．
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