2022-2023学年湖南省益阳市桃江县高二（下）期末数学试卷（含解析）

2022-2023学年湖南省益阳市桃江县高二（下）期末数学试卷
一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 设全集，集合，，则( )
A. B. C. D.
2. 复数对应的点位于直线上，则的值为( )
A. B. C. D.
3. 若，则“”是“”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
4. 下列说法正确的是( )
A. 数据，，，，，，，，的百分位数为
B. 样本数据的相关系数越大，成对数据的相关程度也越强
C. 随机变量，则方差
D. 随机变量，则当变化时，为定值
5. 已知向量，满足，，，则下列结论正确的是( )
A. B.
C. 与的夹角为 D.
6. 气候变暖、干旱给蝗灾的发生创造了机会已知蝗虫的产卵量与温度的关系可以用函数来拟合其中，为常数，设，得到一组数据如下表：
由上表可得线性回归方程：，则( )
A. B. C. D.
7. 若椭圆上存在点，使得到椭圆两个焦点的距离之比为：，则称该椭圆为“倍径椭圆”则“倍径椭圆”的离心率的取值范围是( )
A. B. C. D.
8. 已知，，，其中为自然对数的底数，则( )
A. B. C. D.
二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）
9. 在三棱锥中，已知平面，，根据下列各组中测得的数据，能计算出长度的是( )
A. ，， B. ，，
C. ，， D. ，，
10. 已知等差数列的首项为，公差为，前项和为，若，则( )
A. B.
C. D. 当时，取到最大值
11. 如图，“杨辉三角”是二项式系数在三角形中的一种几何排列，在南宋数学家杨辉年所著的详解九章算法中就有论述在如图所示的“杨辉三角”中，除每行两边的数都是外，其余每个数都是“肩上”两个数之和，例如第行的为第行中的两个的和下列命题中正确的是( )
A.
B. 第行中，第个数最大
C. 记“杨辉三角”第行第个数为，则
D. 第行中，第个数与第个数的比为：
12. 已知抛物线：的焦点为，动直线与曲线交于，两点，下列说法正确的是( )
A. 抛物线的准线方程为
B. 若点为，则周长的最小值为
C. 若点为，则的最小值为
D. 设为坐标原点，作于点，则点到的准线的距离的最大值为
三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13. 已知，则 ______ ．
14. 将名男同学和名女同学全部分配到，，，个岗位参加志愿者工作，每个岗位至少有一人参加工作，则男同学甲与女同学乙不去同一个岗位的分配方法数为______ 用数字作答
15. 设等比数列满足，，则的最大值为 ．
16. 一批步枪中有支已校准过，支未校准一名射手用校准过的枪射击时，中靶的概率为；用未校准的枪射击时，中靶的概率为现从支枪中任取一支用于射击，结果中靶，则所用的枪是校准过的概率为______ ．
四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. 本小题分
已知内角，，的对边分别为，，，满足．
求的值；
若的面积为，求的值．
18. 本小题分
设数列的前项和为已知，，．
求证：数列是等差数列；
令，求数列的前项和．
19. 本小题分
如图，在四棱锥中，底面，，，，直线与平面所成的角为．
证明：；
求二面角的余弦值．
20. 本小题分
甲、乙两人进行猜灯谜游戏，每次猜同一个灯谜，若一人猜对另一人猜错，则猜对的人得分，猜错的人得分，若两人都猜对或都猜错，则为平局，两人均记分，已知游戏中，每次甲猜对的概率都为，每次乙猜对的概率都为，且甲、乙猜对与否互不影响，每次猜灯谜的结果也互不影响．
求在次游戏中，甲的得分的分布列和期望；
求在次游戏中至少有一局为乙赢的条件下甲得分之和为正的概率．
21. 本小题分
已知双曲线：的焦点到渐近线的距离为，渐近线的斜率为．
求双曲线的方程；
设过点的直线与曲线交于，两点，问在轴上是否存在定点，使得为常数？若存在，求出点的坐标及此常数的值；若不存在，说明理由．
22. 本小题分
已知函数．
讨论的单调性；
函数有两个不同的极值点，，证明：．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：全集，集合，
或，
，
．
故选：．
求出的补集，从而求出即可．
本题考查了交集，补集的运算，是基础题．
2.【答案】
【解析】解：，
由题意可知，，解得．
故选：．
根据已知条件，结合复数的四则运算，以及复数的几何意义，即可求解．
本题主要考查复数的四则运算，以及复数的几何意义，属于基础题．
3.【答案】
【解析】解：当时， 成立，充分性成立，
当时， 成立，但不成立，必要性不成立，
是 的充分不必要条件，
故选：．
利用不等式的性质，充要条件的定义判定即可．
本题考查了不等式的性质，充要条件的判定，属于基础题．
4.【答案】
【解析】解：选项A，由于，已知数据是从小到大顺序排列的，
第个数是，因此百分位数为，错；
选项B，样本数据的相关系数的绝对值越大，成对数据的相关程度也越强，
例如的数据比的数据的相关程度强，错；
选项C，，则，，错；
选项D，，则，为定值，D正确．
故选：．
计算出百分位数判断，根据相关系数的性质判断，由二项分布的方差公式及随机变量方差的性质计算后判断，由正态分布的对称性判断．
本题考查百分位数，相关系数，二项分布，正态分布的应用，属于中档题．
5.【答案】
【解析】解：因为，，，
所以，
所以，故A错误，
与的夹角的余弦值为，故C错误，
，
故，所以B错误，
，故D正确．
故选：．
根据已知先求出，然后对应各个选项根据向量的数量积运算性质以及向量夹角公式分别求解即可判断．
本题考查了向量的数量积的运算性质，涉及到向量垂直以及向量夹角的概念，考查了学生的运算能力，属于基础题．
6.【答案】
【解析】解：，，
则样本点的中心的坐标为，代入，
可得．
，，
由，得，
则，，可得．
故选：．
由已知求得样本点的中心的坐标，代入经验回归方程求得值，结合对数的运算性质求解．
本题考查经验回归方程的求法，考查对数的运算性质，是基础题．
7.【答案】
【解析】解：假设，在椭圆中，，
即，；
椭圆上存在点，使得点到椭圆的两个焦点的距离之比为：，则称该椭圆为“倍径椭圆”，
等价于满足，即，
，又椭圆离心率，
“倍径椭圆”的离心率的取值范围是．
故选：．
假设，依据题意可得，，进而可得，求解即可．
本题考查新定义，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．
8.【答案】
【解析】解：不妨设，，
可得，
不妨设，函数定义域为，
可得，
所以在定义域上单调递减，
则，
所以函数在定义域上单调递减，
则，
当时，，
即，
则，
不妨设，函数定义域为，
可得，
所以在定义域上单调递增，
此时，
则，
即，
可得，
则，
故．
故选：．
由题意，构造函数，对函数进行求导，利用导数得到函数的单调性和极值，进而可比较与的大小，构造函数，对函数进行求导，利用导数得到函数的单调性和极值，进而可比较与的大小，从而得到答案．
本题考查利用导数研究函数的单调性和极值，考查了逻辑推理和运算能力．
9.【答案】
【解析】解：根据题意，依次分析选项：
对于，中，已知，以及，由正弦定理可得的长，
又由的大小，由于，可以计算可求出的值；
对于，中，已知，以及，由正弦定理可得的长，
又由的大小，由于，可以计算可求出的值；
对于，已知，，，有恒成立，
不能求出的长；
对于，设，由和的值，可以用表示、的值，
在中，由余弦定理可得关于的方程，解可得的值，即可以求出的长；
故选：．
根据题意，结合正弦定理、余弦定理的知识依次分析选项，综合可得答案．
本题考查解三角形的应用，涉及三棱锥的几何结构，属于基础题．
10.【答案】
【解析】解：因为，所以，
得到，，所以，，选项A正确；
选项B，又，，，
所以，故选项B错误；
选项C，，故选项C正确；
选项D，因为，，，，所以当时，取到最大值，故选项 D正确．
故选：．
利用条件，得到，，从而得出，，可判断出选项A正确；再逐一对选项BCD分析判断即可得出结果．
本题考查等差数列的性质，属于中档题．
11.【答案】
【解析】解：根据题意，由数表归纳可得：第行的第个数为，
依次分析选项：
对于，由组合数的性质，，A正确；
对于，第行中，共个数，依次为、、、、、，其中最大的为第个数，B错误；
对于，数表中，第行的第个数为，则，C正确；
对于，第行中，第个数与第个数分别为和，其比为：：，D正确．
故选：．
根据题意，归纳可得：第行的第个数为，由组合数的性质依次分析选项是否正确，综合可得答案．
本题考查合情推理的应用，涉及组合数的性质，属于基础题．
12.【答案】
【解析】解：选项A，因为抛物线，即，所以准线方程为，故选项A错误；
选项B，如图，过作准线的垂线，交准线于点，
则周长，
易知，当在处时取到等号，又，，
所以周长的最小值为，故选项B正确；
选项C，设，则．
当时取等号，故选项C正确；
选项D，易知，设过且与动直线垂直的直线方程为，
由，解得，，
所以点到的准线的距离，故选项D错误．
故选：．
对于选项A，将抛物线方程转化成标准方程即可判断出结果的正误；对于选项B，利用抛物线的定义，将周长转化成，从而判断出结果的正误；对于选项C，直接求出，进而可求出的最小值，从而判断出结果正确；对于选项D，直接求出的坐标，从而求出点到的准线的距离，从而判断出结果的正误．
本题考查抛物线的几何性质，考查运算求解能力，属中档题．
13.【答案】
【解析】解：因为，
所以．
故答案为：．
由已知利用二倍角公式以及同角三角函数基本关系式化简所求即可求解．
本题考查了二倍角公式以及同角三角函数基本关系式在三角函数求值中的应用，考查了转化思想，属于基础题．
14.【答案】
【解析】解：因为男同学甲与女同学乙不去同一个岗位，故将人分成组，共有种，
所以同学甲与女同学乙不去同一个岗位的分配方法数为．
故答案为：．
分二步：先将人分成组，再分面到，，，，个岗位，利用分步计数原理即可求出结果．
本题考查排列组合的应用，属于基础题．
15.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查等比数列的通项公式、数列与函数相结合，属于中档题．
求出数列的公比与首项，化简，然后求解最值．
【解答】
解：等比数列满足，，设公比为，
可得，解得，
，解得，
则
，
根据二次函数的性质可得当或时，最大，
此时取得最大值：，
故答案为．

16.【答案】
【解析】解：设表示使用的枪校准过，表示使用的枪未校准过，表示射击时中靶，
则，，，，
所以．
故答案为：．
设表示使用的枪校准过，表示使用的枪未校准过，表示射击时中靶，则，，，，而，代入即可求解．
本题主要考查了条件概率公式的应用，属于基础题．
17.【答案】解：因为，
由正弦定理得：，
因为，所以，
又因为，，
所以；
由及余弦定理知，
整理得：，
由面积公式：，整理得：，
由得：，
所以．
【解析】利用正弦定理边化角，再结合，可求出．
利用余弦定理，结合面积公式，得出．
本题考查了正余弦定理在解三角形中的应用，属于中档题．
18.【答案】证明：因为，
所以，
两式相减可得，
整理得，
所以，，
所以数列是以为首项，为公差的等差数列，
所以；
解：由题意得，
所以，
，
减可得，，
所以，
所以．
【解析】利用，的关系即可证明；
利用错位相减法求和．
本题主要考查了数列的和与项的递推关系，还考查了错位相减求和方法的应用，属于中档题．
19.【答案】解：证明：作于点，于点，
则，，所以，
，利用余弦定理可求得，
所以，所以，且底面，
所以，又因为，，平面，
所以平面，因为平面，
所以；
以点为坐标原点，，，所在直线为坐标轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
因为平面，所以与平面所成的角就是，
所以，为等腰直角三角形，所以，
，，，，，
设平面的一个法向量，则，
令，则，，
所以平面的一个法向量为，
又平面的一个法向量为，
设二面角的平面角为，由图可知是锐角，
，
即二面角的余弦值为．
【解析】作于点，于点，由余弦定理可得得，进而可得，由已知可得，可证平面，可证；
以点为坐标原点，，，所在直线为坐标轴，建立如图所示的空间直角坐标系，求得平面的一个法向量与平面的一个法向量，利用向量法可求二面角的余弦值．
本题考查线线垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，属中档题．
20.【答案】解：根据题意可知，可能的取值为，，，
对应概率为：
，
，
，
的分布列如下表：
；
设事件：至少有一局为乙赢，事件：甲的得分之和为正，
某一局为乙赢的概率为：，
则，
甲的得分之和要为正，包括以下几种情况：
甲三局都赢；甲赢两局平一局；甲赢两局输一局；甲赢一局平两局．
要使事件，同时发生，就是情况，
故，
所以．
故在次游戏中至少有一局为乙赢的条件下甲得分之和为正的概率为．
【解析】求出的可能值及各个值对应的概率，列出分布列并求出期望作答；
求出至少有一局为乙赢的事件的概率，再利用条件概率公式求解作答．
本题考查离散型随机变量的应用，属于中档题．
21.【答案】解：由题意可知，双曲线的渐近线方程为，双曲线焦点，，
则到渐近线的距离为，所以，
又渐近线的斜率为，即，所以，
所以双曲线的方程为；
由已知可得，直线的斜率存在，设斜率为，则：，
联立方程，消去得：，
设，，．
当，即时，此时直线与双曲线的渐近线平行，不满足题意，
所以，，解得，且，
由韦达定理可得，，且，，
又，，
则，
因为，，
所以，
要使为常数，则，解得，
此时是个常数，这样的点存在，
所以在轴上存在定点的坐标为，使得为常数．
【解析】根据已知可求出，，即可求出双曲线的方程；
设，，设出直线方程，与双曲线方程联立得到，根据韦达定理求出，用点的坐标表示出，整理得到，因为该式为常数，所以有，求出，代入即可求出常数．
本题考查双曲线的标准方程与性质，考查直线与双曲线位置关系的应用，考查双曲线中的定点问题，属难题．
22.【答案】解：，
当时，，则在为增函数，
当时，令得，
当时，当时，，
在为减函数，在为增函数，
综上：当时，在为增函数；
当时，在为减函数，在为增函数．
证明：，，
则，，
，
要证，只要证，即证，
，，
只要证，只要证，
设，则只要证，只要证，
设，则，，
为减函数，，为增函数，
，成立，原式得证．
【解析】对求导，再对分类讨论，由导数与单调性的关系求解即可；
根据极值点的概念整理原不等式可得，构建新函数，求导，利用导数证明即可．
本题主要考查利用导数研究函数的单调性与最值，考查分类讨论思想与运算求解能力，属于中档题．
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