2022-2023学年广东省广州市天河区高二（下）期末数学试卷（含解析）

2022-2023学年广东省广州市天河区高二（下）期末数学试卷
一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 在某项测试中，测量结果服从正态分布，若，则( )
A. B. C. D.
2. 已知随机变量，则的值为( )
A. B. C. D.
3. 已知数列满足，，则( )
A. B. C. D.
4. 已知抛物线上的点到其焦点的距离为，则点的横坐标是( )
A. B. C. D.
5. 古希腊时期，人们把宽与长之比为的矩形称为黄金矩形，把这个比值称为黄金分割比例，其中如下图为希腊的一古建筑，其中图中的矩形，，，，，均为黄金矩形，若与之间的距离超过，与之间的距离小于，则该古建筑中与之间的距离可能是( )
参考数据：，，，，，
A. B. C. D.
6. 甲、乙、丙三人相互做传球训练，第次由甲将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外两个人中的任何一人，则次传球后球在乙手中的概率为( )
A. B. C. D.
7. 某校高二年级羽毛球社团为了解喜欢羽毛球运动是否与性别有关，随机在高二年级抽取了若干人进行调查已知抽取的女生人数是男生人数的倍，其中女生喜爱羽毛球运动的人数占女生人数的，男生喜爱羽毛球运动的人数占男生人数的若本次调查得出“在犯错误的概率不超过的前提下，认为喜爱羽毛球运动与性别有关”的结论，则被调查的男生至少有( )
参考公式及数据：
A. 人 B. 人 C. 人 D. 人
8. 已知函数，若对任意正数，，都有恒成立，则实数的取值范围为( )
A. B. C. D.
二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）
9. 已知，则( )
A. B.
C. D. 展开式中所有项的二项式系数的和为
10. 设离散型随机变量的概率分布列如表，若，，则下列各式正确的是( )
A. B. C. D.
11. 已知函数，，则下列结论中正确的有( )
A. 必有唯一极值点
B. 若，则在上有极小值
C. 若，对有恒成立，则
D. 若存在，使得成立，则
12. 已知双曲线：的左、右焦点分别为、，左、右顶点分别为、，为双曲线右支上的一点，且直线与的斜率之积等于，则下列说法正确的是( )
A. 双曲线的渐近线方程为
B. 若，且，则
C. 分别以线段，为直径的两个圆内切
D.
三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13. 椭圆的离心率为______ ．
14. 有名同学和位老师排成一排合影，其中位老师必须相邻，则不同的排法有______ 种用数字作答
15. 要做一个无盖的长方体箱子，其体积为，底面长方形长与宽的比为：，则当它的宽为______ 时，可使其表面积最小，最小表面积为______ ．
16. 已知等比数列满足：，数列满足，其前项和为，若恒成立，则的最小值为______ ．
四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. 本小题分
已知函数，其图象在点处的切线方程为．
求函数的解析式；
求函数在区间上的最值．
18. 本小题分
已知椭圆：的焦点坐标为、，点为椭圆上一点．
求椭圆的标准方程；
经过点且倾斜角为的直线与椭圆相交于，两点，为坐标原点，求的面积．
19. 本小题分
月日是全国大、中学生心理健康日，“”的谐音即为“我爱我”，意在提醒孩子们“珍惜生命、关爱自己”学校将举行心理健康知识竞赛，第一轮选拔共设有，，三个问题，每位参加者按问题，，顺序作答，规则如下：每位参加者计分器的初始分均为分，答对问题，，分别加分、分、分，答错任一题减分；每回答一题，计分器显示累计分数，当累计分数小于分时，答题结束，淘汰出局；当累计分数大于或等于分时，答题结束，进入下一轮；当答完三题，若累计分数大于或等于分，则答题结束，进入下一轮；否则，答题结束，淘汰出局假设甲同学对问题，，回答正确的概率依次为，，，且各题回答正确与否相互之间没有影响．
求甲同学进入下一轮的概率；
用表示甲同学本轮答题结束时答对的个数，求的分布列和数学期望．
20. 本小题分
已知正项数列的前项和为，数列是公比为的等比数列，且．
求数列和的通项公式；
数列，的所有项按照“当为奇数时，放在前面；当为偶数时，放在前面”的要求进行“交叉排列”，得到一个新数列：，，，，，，，，，求数列的前项的和．
21. 本小题分
某医疗团队为研究市的一种疾病发病情况与该市居民的年龄关系，从该市疾控中心得到以下数据：
年龄段岁
发病率
若将每个区间的中点数据记为，对应的发病率记为，根据这些数据可以建立发病率关于年龄岁的经验回归方程，求；
医学研究表明，化验结果有可能出现误差现有市某一居民年龄在，表示事件“该居民化验结果呈阳性”，表示事件“该居民患有这种疾病”用频率估计概率，已知，，求．
参考公式及数据：，，
22. 本小题分
已知函数，．
讨论的单调性；
当时，证明：；
求证：对任意的且，都有：其中为自然对数的底数
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：服从正态分布，，
则，，
．
故选：．
根据正态分布的对称性计算即可．
本题考查正态分布的应用，属于基础题．
2.【答案】
【解析】解：随机变量，
则的可能取值为，，，，，
，
则．
故选：．
根据二项分布计算概率，求解即可．
本题考查二项分布的应用，属于基础题．
3.【答案】
【解析】解：数列满足，，
则，，，，．
．
故选：．
由已知分别求得，，，，的值，则答案可求．
本题考查数列递推式，是基础题．
4.【答案】
【解析】解：抛物线的标准方程为：，
所以准线方程为，设点的横坐标为，
由到焦点的距离为及抛物线的性质可得，
解得，
故选：．
由抛物线的方程可得准线方程，设点的横坐标，由题意及抛物线的性质可得的横坐标的值．
本题考查抛物线的性质的应用，属于基础题．
5.【答案】
【解析】解：设米，，
因为矩形，，，，，均为黄金矩形，
所以，，，，，，
又因为与间的距离超过米，与间的距离小于米，
所以，解得，所以，
则，
比较各选项可知该古建筑中与间的距离可能是米．
故选：．
根据题意设米，，从而表示出与间的距离、与间的距离，列出不等式求解后比较各选项即可．
本题考查了函数模型的实际应用，属于中档题．
6.【答案】
【解析】解：画出树状图，如图所示：
所以次传球后球在乙手中的概率为．
故选：．
画出树状图，再利用古典概型的概率公式求解即可．
本题主要考查了古典概型的概率公式，属于基础题．
7.【答案】
【解析】解：设抽取的男生人数为，由题意可得列联表如下表：
男性 女性 合计
喜爱足球
不喜爱足球
合计
，
因为本次调查得出“在犯错误的概率不超过的前提下认为喜爱足球与性别有关”的结论，
所以有，即，解得，
又因为上述列联表中的所有数字均为整数，最小为．
故选：．
设抽取的男生人数为，由题意可得列联表，直接代入公式计算即可．
本题考查独立性检验，属于基础题．
8.【答案】
【解析】解：因为对任意两个不等的正数，，都有恒成立，
设，则，
即恒成立，
令函数，
问题等价于在上为增函数，
所以在上恒成立，
即在上恒成立，
所以，
即实数的取值范围是．
故选：．
问题等价于在上为增函数，求出函数的导数，问题转化为在上恒成立，求出的范围即可．
本题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及函数恒成立问题，是中档题．
9.【答案】
【解析】解：，
令，则，故A正确；
的展开式的通项公式为，
令，则，故B错误；
令，则，
所以，故C错误；
展开式中所有项的二项式系数的和为，故D正确．
故选：．
根据赋值法即可判断，根据通项公式即可判断，根据二项式系数的和的公式即可判断．
本题考查二项式定理的应用，属于基础题．
10.【答案】
【解析】解：，；
又，
联立，解得，故B正确；
，故A正确；
，故C正确；
，
，故D正确．
故选：．
利用期望公式和分布列的性质得到，可以判断，利用期望和方差公式可以判断．
本题考查了离散型随机变量的期望与方差计算，属于中档题．
11.【答案】
【解析】解：已知，，函数定义域为，
由题意得，
当时，，单调递增，无极值点，故选项A错误；
当时，，，
当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
当时，取得极小值，极小值，
则在上有极小值，故选项B正确；
若对有恒成立，
此时，
不妨设，
可得，
当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
所以当时，取得极小值也是最小值，最小值
则，故选项C正确；
若存在，使得成立，
即当时，，
不妨设，函数定义域为，
可得，
当时，，单调递增，
所以，
即，
解得，故选项D错误．
故选：．
由题意，先对函数进行求导，根据的范围即可判断选项A，将代入函数的解析式中，得到函数的导数，利用导数得到函数的单调性，进而可判断选项B；将有恒成立，转化成使得恒成立，构造函数，对进行求导，利用导数得到函数的单调性，进而判断选项C；将存在，使得成立，转化成当时，，构造函数，对进行求导，利用导数得到的单调性和最值，进而即可判断选项D．
本题考查利用导数研究函数的单调性和极值，考查了逻辑推理、转化思想和运算能力．
12.【答案】
【解析】解：对于，设，则，
因为，，直线与的斜率率之积等于，
所以，得，
所以双曲线的渐近线方程为，故A正确；
对于：由可得，所以，
而为双曲线的右支上一点，根据双曲线的定义可得，
又，且，则，
由，可得，
即，解得，故B错误；
对于：设的中点为，为坐标原点，则为的中位线，
所以，
则以线段为直径的圆，圆心为，半径，
以线段为直径的圆，圆心为，半径，
所以，故两个圆内切，故C正确；
对于：设，则，不妨取，，，，
则渐近线方程为，，，
又，，
．
，，故D正确．
故选：．
设，则，根据两点坐标求得，可得，可判断；可得，可得，根据双曲线的定义得，结合条件求出的值，可判断；设 的中点为，为坐标原点，则为的中位线，所以，根据两个圆的位置关系可判断；结合二倍角的正切公式来判断的正确性．
本题考查双曲线的几何性质，考查分析问题与解决问题的能力，考查运算求解能力，是中档题．
13.【答案】
【解析】解：椭圆，可得，，所以，
所以椭圆的离心率为：．
故答案为：．
利用椭圆方程，求解，，，然后求解离心率即可．
本题考查椭圆的简单性质的应用，考查转化思想以及计算能力，属于基础题．
14.【答案】
【解析】解：将位老师看作是一个整体，与另外个人全排列，即．
故答案为：．
根据相邻问题捆绑法即可求解．
本题考查排列组合的应用，属于基础题．
15.【答案】
【解析】解：设长方体中底面长方形的宽为，则长方体中底面长方形的长为，
由于长方体的体积为，则其高为，
则其表面积
．
当且仅当，即时等号成立．
当它的宽为时，可使其表面积最小，最小表面积为．
故答案为：，．
设长方体中底面长方形的宽为，则长方体中底面长方形的长为，高为，写出其表面积，再由基本不等式求最值得答案．
本题考查长方体的体积、表面积计算，训练了利用基本不等式求最值，是中档题．
16.【答案】
【解析】解：设数列的公比为，则，
因为，所以，
所以，
所以，，
所以，
由对勾函数的性质知，当时，取得最小值为，
此时取得最大值为，
所以，即的最小值为．
故答案为：．
先求得数列的公比与首项，从而知，和，再结合对勾函数的性质，得解．
本题考查数列的通项公式与前项和的求法，熟练掌握等差、等比数列的通项公式或前项和公式，对勾函数的性质是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
17.【答案】解：，
所以在点处切线的斜率为，
因为切线方程为，
所以切线的斜率为，且，
所以，
解得，，
所以．
由知．
，
令得或，
所以在上，单调递增，
在上，单调递减，
在上，单调递增，
所以处取得极大值，
处取得极小值，
又，
，
所以在上的最大值为，最小值为．
【解析】求导得，由导数的几何意义可得在点处切线的斜率为，又切线方程为，则，解得，，即可得出答案．
由知求导分析单调性和极值，端点处函数值，即可得出答案．
本题考查导数的综合应用，解题中需要理清思路，属于中档题．
18.【答案】解：由题意可得，解得，，
所以椭圆的标准方程为：；
由题意设直线的方程为，设，，
联立，整理可得：，
显然，，，
所以．
即的面积为．
【解析】由题意可得，的值，进而求出椭圆的方程；
由题意设直线的方程，与椭圆的方程联立，求出两根之和及两根之积，进而求出，的纵坐标之差的绝对值，进而求出三角形的面积．
本题考查椭圆的方程的求法及直线与椭圆的综合应用，属于中档题．
19.【答案】解：记答对，，分别为事件，，，
甲同学进入下一轮为事件，
则；
由题意知的可能取值为，，，
，
，
，
所以的分布列为：


数学期望．
【解析】记甲同学进入下一轮为事件，结合题意，求出即可求解；
由题意先求出的可能取值，然后分别计算每一个值对应的概率，列出分布列，代入期望的计算公式即可求解．
本题考查了离散型随机变量的分布列与期望，属于中档题．
20.【答案】解：由，知，
两式相减得，，整理得，
因为，所以，所以，
在中，令，则，
所以数列是首项为，公差为的等差数列，
所以，
因为数列是公比为的等比数列，且，
所以．
．
【解析】根据，可得数列是首项为，公差为的等差数列，再由等差数列的通项公式得，由等比数列的通项公式得；
，再利用分组求和法，得解．
本题考查数列的通项公式与前项和的求法，熟练掌握利用求通项公式的方法，等差、等比数列的通项公式与前项和公式，分组求和法等是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
21.【答案】解：由题意，，，
，
；
由题意得，所以，
由贝叶斯公式得．
【解析】求出，的平均值，而后求出，；
利用贝叶斯公式求出即可．
本题主要考查线性拟合以及条件概率，属中档题．
22.【答案】解：函数的定义域为，
，
当时，在上，，单调递增，
当时，令，得或舍，
所以在上，，单调递增，
在上，单调递减，
综上所述，当时，在上单调递增，
当时，在上单调递增，在上单调递减．
证明：当时，，
要证明，
即证，
需证，
令，，
，
令得，
所以在上，单调递增，
在上，单调递减，
所以，
所以，得证．
证明：由可得当且仅当时等号成立，
令，，，，，
则，
故
，
即，
故．
【解析】求得，对参数进行分类讨论，即可求得不同情况下函数的单调性；
构造函数，利用导数研究函数单调性和最值，即可证；
根据中所求结合放缩法得，利用累加法即可证明．
本题主要考查利用导数研究函数的单调性与最值，不等式的证明，考查运算求解能力与逻辑推理能力，属于难题．
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