2022-2023学年广东省广州市七区高二（下）期末数学试卷（含解析）

2022-2023学年广东省广州市七区高二（下）期末数学试卷
一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 从甲地到乙地，若一天中有火车班、汽车班、飞机班、轮船班，则一天中乘坐这些交通工具从甲地到乙地，共有不同走法的种数是( )
A. B. C. D.
2. 某质点沿直线运动，位移单位：与时间单位：之间的关系为，则质点在时的瞬时速度为( )
A. B. C. D.
3. 数列，则是这个数列的( )
A. 第项 B. 第项 C. 第项 D. 第项
4. 现有个节目准备参加比赛，其中个舞蹈类节目，个语言类节目如果不放回地依次抽取个节目，则在第次抽到舞蹈节目的条件下，第次抽到语言节目的概率为( )
A. B. C. D.
5. 在等差数列中，，，直线过点，，则直线的斜率为( )
A. B. C. D.
6. 在下列求导数的运算中正确的是( )
A. B.
C. D.
7. 在送课下乡支教活动中，某学校安排甲、乙、丙、丁、戊五名教师到三所薄弱学校支教，每所学校至少安排一名教师，且甲、乙两名教师安排在同一学校支教，丙、丁两名教师不安排在同一学校支教，则不同的安排方法总数为( )
A. B. C. D.
8. 设，则，，的大小关系为( )
A. B. C. D.
二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）
9. 下列有关回归分析的结论中，正确的有( )
A. 在经验回归方程中，当解释变量每增加个单位时，响应变量增加个单位
B. 决定系数的值越接近于，回归模型的拟合效果越好
C. 样本相关系数的绝对值越小，成对样本数据的线性相关程度越弱
D. 在一元线性回归模型的残差图中，残差分布的带状区域的宽度越宽，说明模型拟合效果越好
10. 已知随机变量的分布列为，，，则( )
A. B.
C. D.
11. 如图，等边的边长为，取等边各边的中点，，，作第个等边，然后再取等边各边的中点，，，作第个等边，依此方法一直继续下去设等边的面积为，后继各等边三角形的面积依次为，，，，，则下列选项正确的是( )
A.
B. 是和的等比中项
C. 从等边开始，连续个等边三角形的面积之和为
D. 如果这个作图过程一直继续下去，那么所有这些等边三角形的面积之和将趋近于
12. 我国南宋数学家杨辉在详解九章算法中，给出了表示二项式系数规律的三角形数阵，现称为“杨辉三角”如图所示，下列选项正确的是( )
A. 若用表示三角形数阵的第行第个数，则
B. 该数阵第行各数之和为
C. 该数阵第行中存在三个相邻的数，它们依次所成的比为：：
D. 在该数阵中去掉所有为的项，依次构成数列，，，，，，，，，，，则此数列的前项和为
三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13. 的展开式中的系数是______ 用数字作答
14. 设随机变量服从正态分布，若，则 ______ ．
15. 某机构近期对某种二手车的使用年数与再销售价格单位：万元台进行数据收集，得到如下统计表：
使用年数
再销售价格
根据上表数据该种二手车的使用年数与再销售价格之间的经验回归方程为：，现有一台该种二手车使用了年，估计这台手车的再销售价格为______ 万元．
16. 已知为正实数，若对恒成立，则的取值范围是______ ．
四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. 本小题分
已知函数，．
求函数的单调区间；
求函数的最大值与最小值．
18. 本小题分
已知等差数列的首项，公差，在中每相邻两项之间都插入个数，使它们和原数列的数一起构成一个新的等差数列
求数列的通项公式；
若，求数列的前项和．
19. 本小题分
某校开设跳绳特色课程，为了解学生对该课程的爱好情况，采用问卷调查得到如下列联表：
跳绳 性别 合计
男生 女生
爱好
不爱好
合计
依据小概率值的独立性检验，能否认为该校学生爱好跳绳与性别有关？
现采用比例分配的分层抽样方法，从爱好跳绳的学生中抽取人组成集训队若从集训队中抽取人组成校队，参与区里举办的跳绳比赛，记抽到的男生人数为，求随机变量的分布列和期望．
附：，其中．
20. 本小题分
已知数列的前项和为，，且
求数列的通项公式；
若数列满足，求数列的前项和．
21. 本小题分
某公司通过游戏获得积分以激励员工游戏规则如下：甲袋和乙袋中各装有形状和大小完全相同的个球，其中甲袋中有个红球和个白球，乙袋中有个红球和个白球，获得积分有两种方案．
方案一：从甲袋中有放回地摸球次，每次摸出个球，摸出红球获得分，摸出白球得分；
方案二：掷一枚质地均匀的骰子，如果点数为或，从甲袋中随机摸出个球；如果点数为，，，，从乙袋中随机摸出一个球，若摸出的是红球，则获得积分分，否则得分．
某员工获得次游戏机会，若以积分的均值为依据，请判断该员工应该选择方案一还是方案二？
若某员工获得次游戏机会，全部选择方案一，记该员工摸出红球的次数为，当取得最大值时，求的值．
22. 本小题分
已知函数，．
若函数与的图象有一条斜率为的公切线，求的值；
设函数，证明：当时，有且仅有两个零点．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：由分类加法计数原理知有种不同走法．
故选：．
按照分类加法计数原理计算可得．
本题考查排列组合的应用，属于中档题．
2.【答案】
【解析】解：位移单位：与时间单位：之间的关系为，
则，
当时，．
故选：．
根据已知条件，结合导数的几何意义，即可求解．
本题主要考查导数的几何意义，属于基础题．
3.【答案】
【解析】解：由数列的项为，，，，，
可得数列的通项公式为，
令，解得，
即是这个数列的第项．
故选：．
由已知数列的项归纳出数列的通项公式，列方程解出值，可得答案．
本题考查数列的通项公式的应用，考查学生计算能力，属于基础题．
4.【答案】
【解析】解：由题意，共有个舞蹈类节目，个语言类节目．不放回地依次抽取，
则在第次抽到舞蹈节目的条件下，还剩下个舞蹈节目，个语言节目，
则第次抽到语言节目的概率为．
故选：．
在第一次抽到舞蹈节目的条件下，还有个舞蹈节目，个语言节目，由此可得第二次抽到语言节目的概率．
本题考查条件概率，属基础题．
5.【答案】
【解析】解：直线过点，，
则直线的斜率为．
故选：．
根据已知条件，结合直线的斜率公式，即可求解．
本题主要考查直线的斜率公式，属于基础题．
6.【答案】
【解析】解：对于，，故A错误；
对于，，故B错误；
对于，，故C错误；
对于，，故D正确．
故选：．
根据已知条件，结合导数的求导法则，即可求解．
本题主要考查导数的求导法则，属于基础题．
7.【答案】
【解析】解：根据题意，分步进行分析：
将人分为组，要求甲乙在同一组，丙丁不在同一组，
若组的人数为、、，有种分组方法，
若组的人数为、、，有种分组方法，
则有种分组方法；
将分好的组安排到个学校，有种情况，
则有种不同的安排方法．
故选：．
根据题意，分步进行分析：将人分为组，将分好的组安排到个学校，由分步计数原理计算可得答案．
本题考查排列组合的应用，涉及分步、分类计数原理的应用，属于基础题．
8.【答案】
【解析】解：不妨设，函数定义域为，
可得，
当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
所以，
即，
整理得，
则；
不妨设，函数定义域为，
可得，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减，
所以，
即，
整理得，
则，
综上得．
故选：．
由题意，构造函数，，对函数进行求导，利用导数得到两函数的单调性，进而可比较，，的大小关系．
本题考查利用导数研究函数的单调性，考查了逻辑推理和运算能力．
9.【答案】
【解析】解：在经验回归方程中，当解释变量每增加个单位时，响应变量减少个单位，故A错误；
决定系数的值越接近于，回归模型的拟合效果越好，故B正确；
样本相关系数的绝对值越小，成对样本数据的线性相关程度越弱，故C正确；
在一元线性回归模型的残差图中，残差分布的带状区域的宽度越宽，说明模型拟合效果越差，故D错误．
故选：．
由经验回归方程的性质判断；由决定系数与拟合效果间的关系判断；由残差图与拟合效果间的关系判断．
本题考查经验回归方程与决定系数的应用，是基础题．
10.【答案】
【解析】解：因为随机变量的分布列为，，，所以，
所以，A正确；
所以，B正确；
，C错误；
由方差的定义可得，
所以，D正确；
故选：．
根据分布列的性质求，结合期望和方差的定义求，，再由期望的性质求，方差的性质求，由此可判断结论．
本题考查了分布列的性质和期望、方差的定义与性质，属于中档题．
11.【答案】
【解析】解：由题意可得，设边长分别为，则为等比数列，公比，，
所以面积为等比数列，且公比，又因为，
所以，
中，，所以不正确；
中，因为，
而
，
显然，所以不正确；
中，由题意可得，所以C正确；
中，，所以D正确；
故选：．
由题意可知，这些三角形的边长成等比数列，求出边长的通项公式，进而求出三角形面积也成等比数列，求出面积的通项公式，分别求出所给命题的结果，判断它门的真假．
本题考查等比数列的性质的应用，属于基础题．
12.【答案】
【解析】解：根据题意，归纳可得：数阵中，第行的第个数为，第行中，所有数的和为，
依次分析选项：
对于，第行第个数为，故，A错误；
对于，该数阵中，第行数依次为、、，则第行各数之和为，B正确；
对于，由于：：：：，故在第行中，存在第、、三个数，它们依次所成的比为：：，C正确；
对于，该数阵中，第行中，有个数，其所有数的和为，
在该数阵中去掉所有为的项，由图可得：第行中，有个数，其所有数的和为，
新数阵的前行有个数，第行后面个数为、、、、，
则所得数列的前项和为，D错误．
故选：．
根据题意，由组合数公式的性质依次分析选项是否正确，综合可得答案．
本题考查数列的应用，涉及归纳推理的应用，属于中档题．
13.【答案】
【解析】解：二项式的展开式中含的项为，
所以的系数为，
故答案为：．
根据二项式定理求出展开式中含的项，由此即可求解．
本题考查了二项式定理的应用，考查了学生的运算能力，属于基础题．
14.【答案】
【解析】解：随机变量服从正态分布，若，
正态分布曲线的对称轴为．
故答案为：．
由已知直接利用正态分布曲线的对称性列式求得的值．
本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，考查正态分布中两个量和的应用，考查曲线的对称性，属于基础题．
15.【答案】
【解析】解：，，
样本点的中心的坐标为，
代入，得，可得．
与之间的经验回归方程为．
取，可得．
一台该种二手车使用了年，估计这台二手车的再销售价格为万元．
故答案为：．
由已知求得样本点的中心的坐标，代入线性回归方程求解，可得线性回归方程，取求解值即可．
本题考查线性回归方程，考查运算求解能力，是基础题．
16.【答案】
【解析】解：设，则，
若，即，，函数在区间单调递增，故，满足条件；
若，即，当时，，函数单调递减，则，矛盾，不符合题意．
综上，的取值范围是．
故答案为：．
设，结合导数，根据不等式对恒成立求出的取值范围即可．
本题考查了利用导数研究函数的单调性，不等式恒成立问题，考查了转化思想和分类讨论思想，属中档题．
17.【答案】解：由，可得，
令，解得，或舍去，
由，解得，函数在上是递增函数，
由，解得，函数在上是递减函数，
所以函数的递增区间为，递减区间为．
由知函数在上是递增函数，在上是递减函数，
所以当时，函数的取得最大值为，
又因为，，
所以函数的最小值为，最大值为．
【解析】根据函数，，求导得到，然后分和求解即得；
由先求得极大值和极小值，然后结合，得到最值．
本题主要考查利用导数研究函数的单调性与最值，考查运算求解能力，属于中档题．
18.【答案】解：由题意，可知，
，
在与之间插入个数，
即为，，，，，，
设新的等差数列的公差为，
则，
，．
由可得，
，
则
．
【解析】先根据题意计算出，进一步推导出，，再设新的等差数列的公差为，根据等差数列的通项公式推导出公差的值，即可计算出数列的通项公式；
先根据第题的结果计算出数列的通项公式，再运用裂项相消法即可计算出前项和．
本题主要考查数列求通项公式，以及数列求和问题．考查了方程思想，转化与化归思想，裂项相消法，等差数列的通项公式的运用，以及逻辑推理能力和数学运算能力，属中档题．
19.【答案】解：零假设为：爱好跳绳与性别之间无关联．
根据，其中，
，
根据小概率值的独立性检验，没有充分证据推断不成立，
因此可以认为成立，即认为爱好跳绳与性别之间无关联．
在分层抽样中，爱好跳绳的男生有人，女生有人，
则的可能取值为，，，
且，，，
则的分布列为：
则．
【解析】计算出卡方，与比较后得到结论；
得到的可能取值和对应的概率，写出分布列，得到数学期望．
本题考查离散型随机变量的应用，属于中档题．
20.【答案】解：，，
当时，，
当时，，
两式相减得，
又，则数列是首项为，公比为的等比数列，
；
由得，则，
则，
数列的前项和．
【解析】由题意得当时，，当时，，可得数列是首项为，公比为的等比数列，即可得出答案；
由得，则，，即可得出答案．
本题考查等比数列的性质和数列的求和，考查转化思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
21.【答案】解：若选择方案一：由题意可得，设抽中红球的次数为，积分为，
因为，所以，
因为，所以；
若选择方案二：设事件“从甲袋摸球”，则事件“从乙袋摸球”，事件“摸出的是红球”，
设方案二的积分为，
则，
则，
因为，所以选择方案一；
由题意得，则，
解得，又，即时，最大．
【解析】选择方案一：设抽中红球的次数为，积分为，则，利用二项分布求解期望值；选择方案二：利用条件概率求出最终摸出红球的概率，进而得到积分的期望值，比较后得到结论；
由题意得到，列出不等式组，求出答案．
本题考查了二项分布的期望和条件概率的计算，属于中档题．
22.【答案】解：设公切线与，的切点分别为，，
，得，
所以，
所以公切线方程为，，
又因为，
所以，且，
由解得．
证明：，
所以，
当时，，
所以得，
所以在上，单调递减，
在上，单调递增，
因为，
所以，
所以，
当时，取．
则有，
设，
则有，
所以在上单调递增，
所以，
所以在有且仅有一个零点，
当时，，
因为，
所以，
所以，
取，则有，
所以在上有且仅有一个零点，
综上所述，当时，有且仅有个零点．
【解析】设公切线与，的切点分别为，，分别写出各自的切线方程，即可得出答案．
根据题意可得，求导分析的符号，的单调性，推出，当时，取，分析的符号，当时，，则，推出取，则有，即可得出答案．
本题考查导数的综合应用，解题中需要理清思路，属于中档题．
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